Условие
Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что для всех точек M величина (AM² + CM²) − (BM² + DM²) имеет одно и то же значение.
Разбор задания
Номер 1008 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 11. Соотношения между сторонами и углами · страница 57
Решение
- Введём координаты: A(0; 0), B(a; 0), D(b; c), C(a + b; c), M(x; y).
- AM² + CM² = x² + y² + (x − a − b)² + (y − c)²; BM² + DM² = (x − a)² + y² + (x − b)² + (y − c)².
- Разность: x² + (x − a − b)² − (x − a)² − (x − b)² = x² + x² − 2(a + b)x + (a + b)² − x² + 2ax − a² − x² + 2bx − b² = 2ab.
- Значение 2ab не зависит от x и y, то есть одинаково для всех точек M.
Ответ
Доказано (величина равна 2ab, где a и b — координаты, определяемые параллелограммом).
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →