Условие
Правильный восьмиугольник A₁A₂…A₈ вписан в окружность радиуса R. Докажите, что четырёхугольник A₃A₄A₇A₈ является прямоугольником, и выразите его площадь через R.
Разбор задания
Номер 1099 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · Повторение · страница 74
Решение
- Вершины A₃ и A₇, а также A₄ и A₈ диаметрально противоположны (отличаются на 4 шага из 8), поэтому диагонали A₃A₇ и A₄A₈ четырёхугольника — диаметры: они равны и делятся точкой пересечения (центром O) пополам. Четырёхугольник с такими диагоналями — прямоугольник.
- Стороны: A₃A₄ — сторона восьмиугольника, стягивает дугу 45°: A₃A₄ = 2R·sin 22,5°; A₄A₇ стягивает дугу 135°: A₄A₇ = 2R·sin 67,5° = 2R·cos 22,5°.
- S = A₃A₄·A₄A₇ = 4R²·sin 22,5°·cos 22,5° = 2R²·sin 45° = R²√2.
Ответ
Прямоугольник; S = R²√2.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →