Номер 822 — Геометрия 9 класс

На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих квадратов являются вершинами квадрата.

1. Пусть ABCD — параллелограмм, O₁, O₂, O₃, O₄ — центры квадратов на сторонах AB, BC, CD, DA. Центр квадрата удалён от концов стороны на половину диагонали квадрата, и отрезки из центра к концам стороны образуют с ней углы 45°, а между собой — угол 90°.
2. Рассмотрим треугольники O₁BO₂ и O₃CO₂. O₁B = O₃C (половины диагоналей равных квадратов на AB и CD), O₂B = O₂C. Угол O₁BO₂ складывается из 45°, ∠ABC и 45°: он равен 90° + ∠B, если ∠B < 90°, и 270° − ∠B, если ∠B > 90° (в этом случае угол измеряется с другой стороны). Угол O₃CO₂ так же равен 90° + ∠C или 270° − ∠C, а ∠C = 180° − ∠B, поэтому в обоих случаях ∠O₁BO₂ = ∠O₃CO₂ (для прямоугольника оба угла развёрнутые, и рассуждение проходит для отрезков на одной прямой).
3. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними: O₂O₁ = O₂O₃ и ∠O₁O₂B = ∠O₃O₂C. Тогда ∠O₁O₂O₃ = ∠O₁O₂B + ∠BO₂O₃ = ∠O₃O₂C + ∠BO₂O₃ = ∠BO₂C = 90°.
4. Так же доказывается, что при каждой из вершин O₃, O₄, O₁ стороны равны и угол прямой: O₁O₂ = O₂O₃ = O₃O₄ = O₄O₁, все углы по 90° — четырёхугольник O₁O₂O₃O₄ квадрат.