Условие
Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
Разбор задания
Номер 820 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 9. Векторы · страница 21
Решение
- Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC, M — середина AD, N — середина BC. Треугольники ABM и DCM равны по двум сторонам и углу между ними (AB = DC, AM = MD, ∠A = ∠D), поэтому MB = MC.
- Точка M равноудалена от B и C, значит лежит на серединном перпендикуляре к BC, который проходит через N. Прямая MN — серединный перпендикуляр к BC, MN ⟂ BC и MN ⟂ AD.
- Обратное утверждение: если прямая, проходящая через середины оснований трапеции, перпендикулярна к основаниям, то трапеция равнобедренная. Доказательство: MN ⟂ BC и N — середина BC, значит MN — серединный перпендикуляр к BC и MB = MC; при этом MN — биссектриса угла BMC, поэтому ∠AMB = 90° − ∠BMN = 90° − ∠CMN = ∠DMC. Треугольники AMB и DMC равны по двум сторонам (AM = MD, MB = MC) и углу между ними, откуда AB = DC.
Ответ
Доказано; обратное: если прямая через середины оснований перпендикулярна им, трапеция равнобедренная.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →