Условие
При пересечении биссектрис всех углов прямоугольника образовался четырёхугольник. Докажите, что этот четырёхугольник — квадрат.
Разбор задания
Номер 821 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 9. Векторы · страница 21
Решение
- Пусть ABCD — прямоугольник, AB < BC. Биссектрисы его углов образуют с сторонами углы 45°. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке P: треугольник ABP прямоугольный равнобедренный (углы при основании по 45°), ∠APB = 90°, AP = BP = AB/√2. Аналогично для точек Q, R, S — пересечений биссектрис углов B и C, C и D, D и A: ∠BQC = ∠CRD = ∠DSA = 90°, BQ = CQ = BC/√2, CR = DR = AB/√2, DS = AS = BC/√2.
- Все углы четырёхугольника PQRS прямые (они вертикальные или равны углам APB, BQC, CRD, DSA), значит PQRS — прямоугольник.
- PQ = BQ − BP = (BC − AB)/√2 (точки B, P, Q лежат на одной биссектрисе), QR = CQ − CR = (BC − AB)/√2, RS = DS − DR = (BC − AB)/√2, SP = AS − AP = (BC − AB)/√2. Все стороны равны — PQRS квадрат.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →