Номер 818 — Геометрия 9 класс

Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают его на четыре треугольника, периметры которых равны. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.

1. Пусть диагонали ABCD пересекаются в точке O. Переобозначив при необходимости вершины (A ↔ C и/или B ↔ D), считаем OA ≥ OC и OB ≥ OD. Отметим на отрезке OA точку C₁ с OC₁ = OC, а на отрезке OB — точку D₁ с OD₁ = OD.
2. Треугольники C₁OD₁ и COD равны по двум сторонам и углу между ними (углы при O вертикальные), поэтому их периметры равны, и P(C₁OD₁) = P(COD) = P(AOB).
3. Сравним периметры треугольников C₁OD₁ и AOD₁ (если C₁ ≠ A): P(AOD₁) − P(C₁OD₁) = (OA − OC₁) + AD₁ − C₁D₁ = AC₁ + AD₁ − C₁D₁ > 0 по неравенству треугольника для AC₁D₁. Так же, если D₁ ≠ B, то P(AOB) > P(AOD₁). Итак, P(AOB) ≥ P(C₁OD₁), причём равенство возможно только при C₁ = A и D₁ = B.
4. Периметры равны, значит OA = OC и OB = OD: диагонали делятся точкой пересечения пополам, ABCD — параллелограмм. Наконец, из P(AOB) = P(BOC): AB + AO = BC + CO, а AO = CO, поэтому AB = BC. Параллелограмм с равными смежными сторонами — ромб.