Номер 824 — Геометрия 9 класс

На рисунке 268 изображены три квадрата. Найдите сумму ∠BAE + ∠CAE + ∠DAE.

1. Три равных квадрата AGBF, FBCH, HCDE стоят в ряд; A — нижняя левая вершина первого, E — нижняя правая вершина третьего, B, C, D — верхние вершины. Примем сторону квадрата за 1. AE — общая нижняя сторона (длина 3).
2. ∠BAE = 45° (AB — диагональ квадрата, она делит прямой угол пополам).
3. Достроим ещё квадраты под отрезком AE (см. рисунок в решении: точки K и S). Возьмём точку K, симметричную C относительно прямой AE (на 2 клетки вправо и 1 вниз от A), и точку S на 1 клетку вправо и 3 вниз от A. AK = AC = √5, а треугольник AKS: KS = √5 = AK и KS ⟂ AK (векторы (2, −1) и (−1, −2) перпендикулярны), поэтому он прямоугольный равнобедренный и ∠KAS = 45°.
4. Отрезок AS образует с вертикалью AT (3 клетки вниз) такой же угол, как AD с AE: оба угла лежат в равных прямоугольных треугольниках с катетами 1 и 3, ∠TAS = ∠DAE. Тогда угол между AE и AS равен 90° − ∠DAE.
5. С другой стороны, этот же угол равен ∠EAK + ∠KAS = ∠CAE + 45° (K симметрична C относительно AE). Получаем ∠CAE + 45° = 90° − ∠DAE, то есть ∠CAE + ∠DAE = 45°.
6. ∠BAE + ∠CAE + ∠DAE = 45° + 45° = 90°.