Условие
На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты BCDE, ACTM, BAHK, а затем параллелограммы TCDQ и EBKP. Докажите, что треугольник APQ прямоугольный и равнобедренный.
Разбор задания
Номер 826 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 22
Решение
- В параллелограмме TCDQ: TQ = CD = CB, CT = CA, ∠CTQ = 180° − ∠TCD = 180° − (360° − 90° − 90° − ∠ACB) = ∠ACB. Треугольники TCQ и CAB равны по двум сторонам и углу между ними (TC = CA, TQ = CB, ∠CTQ = ∠ACB): CQ = AB и ∠TCQ = ∠CAB.
- Аналогично в параллелограмме EBKP: EB = BC, EP = BK = BA, ∠BEP = 180° − ∠EBK = ∠ABC, значит треугольники EBP и BCA равны: BP = CA и ∠EPB = ∠BAC. Так как EP ∥ BK, то ∠PBK = ∠EPB = ∠BAC (накрест лежащие).
- Сравним треугольники ACQ и PBA. AC = PB, CQ = BA. ∠ACQ = ∠ACT + ∠TCQ = 90° + ∠CAB; ∠PBA = ∠PBK + ∠KBA = ∠BAC + 90°. Углы равны, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними: AQ = PA и ∠CAQ = ∠BPA.
- ∠PAQ = ∠PAB + ∠BAC + ∠CAQ = ∠PAB + ∠BAC + ∠BPA = ∠BAC + (180° − ∠PBA) = ∠BAC + 180° − 90° − ∠BAC = 90°.
- Треугольник APQ имеет прямой угол при вершине A и равные стороны AP = AQ — прямоугольный равнобедренный.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →