Условие
Докажите, что если треугольник имеет: а) ось симметрии, то он равнобедренный; б) более чем одну ось симметрии, то он равносторонний.
Разбор задания
Номер 828 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 22
Решение
- а) Осевая симметрия переводит треугольник в себя, значит переставляет его вершины. Три вершины не могут разбиться на пары, поэтому хотя бы одна вершина, скажем A, переходит в себя, то есть лежит на оси. Две другие вершины либо тоже неподвижны (тогда все три точки на оси — невозможно), либо меняются местами: B ↔ C. Тогда AB = AC (симметрия сохраняет расстояния) — треугольник равнобедренный.
- б) Каждая ось даёт пару равных сторон. Две различные оси проходят через разные вершины (если бы обе проходили через A, обе были бы серединным перпендикуляром к BC, то есть совпадали). Ось через A даёт AB = AC, ось через B даёт BA = BC. Значит, AB = BC = CA — треугольник равносторонний.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →