Условие
Биссектрисы внешних углов треугольника ABC при вершинах A, B и C пересекают прямые BC, CA и AB соответственно в точках A₁, B₁ и C₁. Используя векторы, докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.
Разбор задания
Номер 909 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 38
Решение
- Обозначим a = BC, b = CA, c = AB (треугольник разносторонний, иначе одна из внешних биссектрис параллельна стороне). По свойству биссектрисы внешнего угла (задача 619) A₁B/A₁C = c/b, причём A₁ лежит вне отрезка BC: BA₁⃗ = (c/b)·CA₁⃗.
- Для произвольной точки O из BA₁⃗ = (c/b)CA₁⃗ получаем OA₁⃗ − OB⃗ = (c/b)(OA₁⃗ − OC⃗), откуда (b − c)OA₁⃗ = b·OB⃗ − c·OC⃗. Аналогично (c − a)OB₁⃗ = c·OC⃗ − a·OA⃗ и (a − b)OC₁⃗ = a·OA⃗ − b·OB⃗.
- Сложим три равенства: (b − c)OA₁⃗ + (c − a)OB₁⃗ + (a − b)OC₁⃗ = 0⃗. Коэффициенты b − c, c − a, a − b не все равны нулю, а их сумма равна нулю.
- По задаче 907 точки A₁, B₁, C₁ лежат на одной прямой.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →