Условие
Используя векторы, докажите, что середины диагоналей четырёхугольника и точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, лежат на одной прямой.
Разбор задания
Номер 908 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 38
Решение
- Пусть P и Q — середины диагоналей AC и BD, K, L, M, N — середины сторон AB, BC, CD, DA, R — точка пересечения KM и LN. По задаче 791 KLMN — параллелограмм, и R — середина KM.
- Для произвольной точки O: OP⃗ = ½(OA⃗ + OC⃗), OQ⃗ = ½(OB⃗ + OD⃗), OK⃗ = ½(OA⃗ + OB⃗), OM⃗ = ½(OC⃗ + OD⃗), OR⃗ = ½(OK⃗ + OM⃗) = ¼(OA⃗ + OB⃗ + OC⃗ + OD⃗).
- Тогда ½(OP⃗ + OQ⃗) = ¼(OA⃗ + OB⃗ + OC⃗ + OD⃗) = OR⃗, то есть R — середина отрезка PQ. Значит, P, R, Q лежат на одной прямой.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →