Номер 910 — Геометрия 9 класс

Пусть H — точка пересечения прямых, содержащих высоты неравностороннего треугольника ABC, а O — центр описанной около этого треугольника окружности. Используя векторы, докажите, что точка G пересечения медиан треугольника принадлежит отрезку HO и делит этот отрезок в отношении 2 : 1, считая от точки H, то есть HG/GO = 2.

1. Докажем, что OH⃗ = OA⃗ + OB⃗ + OC⃗. Пусть H′ — точка с OH′⃗ = OA⃗ + OB⃗ + OC⃗, A₁ — середина BC. Тогда AH′⃗ = OH′⃗ − OA⃗ = OB⃗ + OC⃗ = 2OA₁⃗. Точка O лежит на серединном перпендикуляре к BC, поэтому OA₁ ⟂ BC (если O ≠ A₁; иначе OB⃗ + OC⃗ = 0⃗ и AH′⃗ = 0⃗, H′ = A — вершина прямого угла, всё верно). Значит, AH′ ⟂ BC, и H′ лежит на высоте из A. Аналогично H′ лежит на высотах из B и C, следовательно H′ = H.
2. Для точки пересечения медиан OG⃗ = ⅓(OA⃗ + OB⃗ + OC⃗) (задача 807 или свойство медиан). Значит, OH⃗ = 3·OG⃗.
3. Векторы OH⃗ и OG⃗ сонаправлены, OG = ⅓OH, поэтому G лежит на отрезке OH и HG = OH − OG = ⅔OH = 2·OG, то есть HG/GO = 2.