Номер 907 — Геометрия 9 класс

Докажите следующее утверждение: три точки A, B и C лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют числа k, l и m, одновременно не равные нулю, такие, что k + l + m = 0 и для произвольной точки O выполняется равенство k·OA⃗ + l·OB⃗ + m·OC⃗ = 0⃗.

1. Необходимость. Пусть A, B, C на одной прямой. Если A = B, положим k = 1, l = −1, m = 0: OA⃗ − OB⃗ = 0⃗. Иначе AC⃗ = t·AB⃗ для некоторого числа t, то есть OC⃗ − OA⃗ = t(OB⃗ − OA⃗), откуда (t − 1)OA⃗ − t·OB⃗ + OC⃗ = 0⃗. Числа k = t − 1, l = −t, m = 1 не все нули и в сумме дают 0.
2. Достаточность. Пусть k + l + m = 0, не все нули, и k·OA⃗ + l·OB⃗ + m·OC⃗ = 0⃗. Хотя бы одно из чисел отлично от нуля; пусть m ≠ 0 (другие случаи аналогичны). Подставим k = −l − m: −(l + m)OA⃗ + l·OB⃗ + m·OC⃗ = 0⃗, то есть l(OB⃗ − OA⃗) + m(OC⃗ − OA⃗) = 0⃗, l·AB⃗ + m·AC⃗ = 0⃗.
3. Отсюда AC⃗ = −(l/m)·AB⃗ — векторы AC⃗ и AB⃗ коллинеарны, значит точки A, B, C лежат на одной прямой.