Условие
Дан треугольник ABC. Докажите, что вектор AB⃗/|AB⃗| + AC⃗/|AC⃗| направлен вдоль биссектрисы угла A, а вектор AB⃗/|AB⃗| − AC⃗/|AC⃗| — вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине A.
Разбор задания
Номер 906 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 38
Решение
- Векторы e₁⃗ = AB⃗/|AB⃗| и e₂⃗ = AC⃗/|AC⃗| имеют длину 1 и направлены вдоль лучей AB и AC. Отложим AK⃗ = e₁⃗, AL⃗ = e₂⃗ и достроим до параллелограмма AKML.
- AK = AL = 1, значит AKML — ромб, а диагональ ромба AM⃗ = e₁⃗ + e₂⃗ является биссектрисой угла KAL, то есть угла A.
- Вектор e₁⃗ − e₂⃗ = LK⃗ — вторая диагональ ромба, она перпендикулярна первой. Биссектриса внешнего угла при A перпендикулярна биссектрисе внутреннего угла, поэтому LK⃗ направлен вдоль биссектрисы внешнего угла.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →