Олимпиада по физике 11 класс — региональный этап ВсОШ 2023/2024: задания и ответы

Решения — прак.

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

29 января 2024 г.

11 класс Задача №11-E1. Надувательство Подключим к трубке шприц. Погрузим свободный конец трубки в воду. Двигая поршень шприца, наберем в трубку V0 = (7,0 ± 0,2) мл воды. Измерим длину столба воды в трубке h0 = (97,1 ± 0,2) см (трубка при измерениях должна быть расположена горизонтально). Рассчитаем площадь поперечного сечения трубки: V0 = (0,072 ± 0,002) см2 . h0 Погрешность измерения оценим, сложив относительные погрешности измерения объема и площади. Заметим при этом, что относительная погрешность измерения длины много меньше относительной погрешности измерения объема. σ σh  V0 + 0 σS0 = S0 V0 h0 Заполнять трубку можно и другим способом: набрать в шприц 10 мл воды, подключить к шприцу пустую трубку и, нажимая на поршень шприца, заполнить трубку водой. Такой способ не является ошибочным. Однако опытным путем можно установить, что при таком способе заполнения в столбике воды в трубке чаще образуются пузыри воздуха, особенно в случае загрязненной внутренней поверхности трубки. Опустошим трубку. Вновь погрузим свободный конец трубки в воду. Двигая поршень шприца, наберем в трубку приблизительно 4 мл воды. Вытащим свободный конец трубки из воды и переместим с помощью шприца столбик воды ближе к шприцу так, чтобы расстояние от края столбика воды до свободного конца трубки было приблизительно равно длине столбика воды. Вставим в открытый конец трубки пробку. Отключим шприц от трубки. Измерим длину столба воздуха l0 = (40,2 ± 0,1) см в трубке, заключенного между местом пережатия трубки и краем столбика воды. Приклеим на поверхность стола мерную ленту, к которой сверху приклеим исследуемую трубку в распрямленном состоянии (см. рис. 2). Подсоединим шприц к оставшемуся открытым концу трубки. S0 =

Рис. 2 Установка для измерений.

Обозначим координату ближнего к шприцу края столба жидкости в трубке за x1 , а дальнего — x2 . Будем надавливать на поршень шприца и измерять величины: x1 и x2 .

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

29 января 2024 г.

x1 , см

x2 , см

∆p,105 Па

σ∆p ,105 Па

∆S −2 S0 , 10

4,8

60,2

0,000

0,000

0,00

9,2

64,1

0,117

0,003

0,90

13,2

67,6

0,248

0,005

1,81

16,6

70,5

0,381

0,006

2,71

20,8

74,0

0,583

0,008

3,97

24,4

76,8

0,796

0,011

5,42

29,3

80,5

1,173

0,016

7,58

Объем воды в трубке в течение эксперимента не меняется. (x20 − x10 )S0 = (x2 − x1 )(S0 + ∆S), где x10 , x20 - координаты столба жидкости при атмосферном давлении. Тогда через изменения длины столбика воды в трубке легко вычислить относительное изменение ее сечения: ∆S x20 − x10 = −1 S0 x2 − x1 Изменение давления в системе можно определить по изменению объема воздуха в трубке, ограниченного столбом воды и местом пережатия трубки. Воспользуемся для этого законом Менделеева-Клапейрона: p0 l0 S0 = p(l0 − (x2 − x20 ))(S0 + ∆S). Тогда для избыточного давления внутри шприца имеем:  l0 S0 −1 . l0 − (x2 − x20 ) S0 + ∆S Подставляя выражение для отношения площадей получаем: ∆p = p − p0 = p0

 x2 − x1 l0 −1 . l0 − (x2 − x20 ) x20 − x10 Рассчитаем величины относительного изменения сечения трубки и изменения давления в ней. Погрешность относительного изменения сечения трубки рассчитаем, просуммировав относительные погрешности начальной и текущей длин столбика воды в трубке.  ∆S  2σ 2σx  x σ ∆S = +1 + S0 S0 x10 − x20 x2 − x1 ∆p = p − p0 = p0

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

29 января 2024 г.

где σx = 0,5 мм - половина цены деления шкалы мерной ленты. С учетом того, что ∆S S0 ≪ 1 и x2 − x1 ≈ x10 − x20 можно сказать, что погрешность относительного изменения сечения практически не меняется и может быть вычислена как: 4σx = 0,4 · 10−2 x10 − x20 Погрешность изменения давления рассчитаем по следующей формуле: σ ∆S = S0

σ∆p = (p0 + ∆p)

2σx + l0 x2 − x20  4σx + x2 −x20x2 −x20l0 . x10 − x20 l0 1 − l0

Построим график зависимости ∆S S0 (∆p). Видно, что график можно описать прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом: α = (6,8 ± 0,3) · 10−7 Па−1 . Относительная ошибка измерения α составляет εα ≈ 4,4%. Можно предположить, что учет изменения сечения трубки для подсчета давления в системе, мало повлияет на расчетную величину α. То есть провести расчет избыточных давлений по формуле: ∆p = p − p0 = p0

 l0 −1 . l0 − (x2 − x20 )

Однако величина α, полученная при таком способе расчета, будет отличаться от результата, полученного с учетом изменения площади сечения, на ≈ 15%, что существенно превышает рассчитанную относительную ошибку измерения. Заметим, что измерение давления в системе можно проводить, наблюдая за количеством воздуха в шприце. Для этого необходимо часть шприца заполнить водой, а в части шприца оставить воздух. Далее создавать давление в системе необходимо будет, держа шприц вертикально и надавливая на его поршень. Часть воды из шприца будет поступать в трубку, а воздух в верхней части шприца будет сжиматься под действием давления. Измеряя отношение объема воздуха в шприце под давлением к начальному объему воздуха в нем, можно рассчитать давление в системе. Длина столба воздуха в таких измерениях существенно меньше возможной длины столба воздуха в трубке. Поэтому этот способ измерения давления обладает гораздо меньшей точностью. Также заметим, что стенки шприца достаточно жесткие, однако, если заполнить его водой полностью и попробовать сдвинуть поршень при заткнутом носике, то поршень все же немного сдвинется. Это происходит из-за деформации резиновой прокладки между поршнем и резервуарной частью шприца. Этот эффект меньше цены деления шприца, поэтому им можно пренебречь.

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

29 января 2024 г.

График зависимости относительного изменения площади поперечного сечения трубки от избыточного давления в ней.

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

29 января 2024 г.

11 класс Задача №11-E2. Источник и конденсатор Подключаем последовательно источник, конденсатор и вольтметр, замыкаем цепь и фиксируем время изменения напряжения вольтметра от значения U1 до U2 . В качестве значения U1 нельзя выбирать показания прибора в первые две – три секунды после включения, так как из-за инерции цифрового прибора они недостоверны. Аналогичные измерения повторяем несколько раз, каждый раз отключая конденсатор и замыкая его выводы для полного разряда. Для заряда конденсатора dq q (2r + RV ) = U0 − , dt C   q = CU0 1 − e−t/τ1 , где U0 ,r – ЭДС и внутреннее сопротивление источника, RV – сопротивление вольтметра, τ1 = C(2r + RV ) – характерное время заряда конденсатора. Напряжение на вольтметре при этом UV =

U0 RV −t/τ1 dq (2r + RV ) = e dt r + RV

Для отношения напряжений, измеренных вольтметром с разницей по времени ∆t U1 = e∆t/τ1 , U2 Отсюда τ1 =

∆t . U1 ln U2

Экспериментальные результаты, полученные для разных пар значений U1 и U2 , и пересчитанные на основании этих результатов значения τ1 представлены в таблице 1. Усреднённое по сериям экспериментов характерное время заряда конденсатора составляет τ1 = 18,83 с.

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике U1 , В

U2 , В

∆t, с

1,5

0,5

1,6

0,8

1,6

0,4

20,62 20,94 21,00 20,66 20,72 13,03 13,06 13,09 13,28 13,18 13,09 25,91 25,72 25,94 25,78 25,75

29 января 2024 г.

∆t среднее, с 20,79

τ1 , с

13,12

18,93

25,82

18,63

18,92

Подключаем конденсатор к источнику, держим его подключенным в течение одной-двух минут, затем отключаем. Подключаем к заряженному конденсатору вольтметр и фиксируем время, в течение которого конденсатор разряжается от напряжения U3 до U4 . Для заряда на конденсаторе в этом процессе q dq =− , dt (RV + r)C q = CU0 e−t/τ2 , где τ2 – характерное время разряда конденсатора через вольтметр, τ2 = (RV + r)C. Для напряжения вольтметра справедливо UV = CU0 e−t/τ2 Для отношения напряжений, измеренных вольтметром с разницей по времени ∆t U3 = e∆t/τ2 U4 Отсюда ∆t τ2 = . U3 ln U4 По-прежнему, в качестве значения U3 нельзя выбирать показания прибора в первые две – три секунды после включения. Экспериментальные результаты, полученные для разных пар значений U3 и U4 , и пересчитанные на основании этих результатов значения τ2 представлены в таблице 2.

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

29 января 2024 г.

Усреднённое по сериям экспериментов характерное время заряда конденсатора составило τ2 = 11,30 с. U3 , В

U4 , В

∆t, с

1,5

0,5

2,0

1,0

2,0

0,5

12,34 12,38 12,34 12,40 12,43 7,88 7,82 7,81 7,81 7,94 15,78 15,59 15,72 15,65 15,63

∆t среднее, с 12,38

τ2 среднее, с 11,27

7,85

11,33

15,67

11,31

Определим внутреннее сопротивление источника. Используя результаты измерений τ1 и τ2 , можно определить отношение τ1 2r + RV = = 1,67. τ2 r + RV Отсюда

r ≈ 2,0, RV

r ≈ 2,0 МОм.

Определим ЭДС источника. Подключаем вольтметр к источнику. Напряжение на вольтметре RV UV = U0 . RV + r Экспериментально измеренное значение UV = 3,24 В. Отсюда U0 = UV

RV + r ≈ 9,72 В. RV

Значение электрической емкости конденсатора C=

τ1 ≈ 3,75 мкФ. 2r + RV

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

29 января 2024 г.

Шифр 11-E1. Надувательство

Балл

1.1 1.2

1.3

2.1

2.2

Пункт разбалловки Предложен метод определения площади поперечного сечения трубки через объём воды из шприца. Экспериментально определена площадь сечения трубки. При этом полученное значение отличается от данных жюри не более, чем на 5%. Корректно оценена погрешность измерения площади поперечного сечения трубки при атмосферном давлении. Предложен метод определения изменения площади поперечного сечения трубки через изменение длины столбика воды в трубке. * Длина столба жидкости, выбранная для измерения изменения длины, составляет не менее 50 см; * — не менее 30 см; — менее 30 см.

2.3

2.4

Для измерения давления в трубке использовано изменение длины участка с воздухом между зажимом и столбиком воды. ** Начальная длина участка с воздухом, взятая для измерения давления в системе, составляет ** не менее 30 см; — не менее 15 см; — менее 15 см.

2.5

2.6

2.7

Учтено изменение площади поперечного сечения трубки при измерении объема воздуха в ней под давлением. ** Проведены измерения. Каждая экспериментальная точка (не включая исходное значение при ∆p = 0) оценивается в 0,5 балла, но не более 2,5 баллов за все точки. Экспериментальные точки равномерно покрывают весь диапазон от 0 до 105 Па.

0.5 0.5

0.5

2.0

1.0 0.5 0.0

2.0

1.0 0.5 0.0

1.0

5 точек по 0.5 1.0

Пр

Ап

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

2.8

2.9

2.10 2.11 2.12

2.13

Осуществлен пересчет прямых измерений в величины ∆S/S0 и ∆p. Пересчет каждой точки (не включая исходное значение при ∆p = 0) оценивается в 0,5 балла, но не более 2,5 баллов за все точки. Построен график зависимости ∆S/S0 (∆p) или аналогичный, позволяющий с помощью дальнейших вычислений определить величину α. Оси графика подписаны в соответствии с требованиями; размеры графика и область, в которой располагаются экспериментальные точки, соответствует требованиям. Масштаб осей и их оцифровка соответствуют требованиям. Правильно нанесены все экспериментальные точки. Пункт оценивается даже без нанесения крестов ошибок для экспериментальных точек. Проведена прямая, описывающая зависимость ∆S/S0 (∆p). На основании экспериментальных результатов с помощью графика определено значение α *. При этом: значение α отличается от данных жюри не более, чем на 15%; — значение α отличается от данных жюри не более, чем на 25%; — значение α отличается от данных жюри не более, чем на 35% .

2.14

2.15

Корректно оценена погрешность измерения относительного изменения площади сечения. Корректно оценена погрешность измерения избыточного давления. На график нанесены кресты погрешностей. Пункт ставится только при выполненном предыдущем пункте.

29 января 2024 г.

5 точек по 0.5

0.5

0.5 0.5 0.5

2.0

1.0 0.5

0.5

0.5

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

2.16

Корректно оценена погрешность определения α. Пункт может быть оценен даже, если не оценены пункт о нахождении погрешностей изменения сечения и изменения давления в системе, а также пункт о нанесении крестов погрешностей на график. Пункт не оценивается, если не получены баллы за результат измерений α. Примечания: * - если изменение площади сечения трубки предложено определять через объём жидкости, закачиваемой из шприца под давлением, без учёта изменения длины самой трубки, баллы за пп. 2.1, 2.2, 2.13 не ставятся. Остальные пункты могу быть оценены в соответствии с разбалловкой. ** - если избыточное давление в трубке определяется по изменению длины воздушного столба в шприце, то: за пункт №2.3 может быть выставлен полный балл; в пункте №2.4 может быть выставлено 0 баллов или 0,5 баллов. 0,5 баллов выставляется в случае, если объем измеряемого воздушного столба при атмосферном давлении составляет не менее половины объема шприца; за пункт №2.5 может быть выставлен 1 балл только в случае, если участник оценил изменение объема шприца, возникающее за счет сжатия уплотнителя поршня шприца.

29 января 2024 г.

0.5

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

30 января 2024 г.

Шифр 11-E2. Источник и конденсатор

Балл

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

Пункт разбалловки Решение содержит идею определения характерных времён заряда-разряда конденсатора при различных сопротивлениях. Получено или используется при решении выражение для зависимости от времени напряжения на вольтметре при разряде конденсатора через вольтметр UV = CU0 e−t/τ2 , либо эквивалентное ему. Получено или используется при решении выражение для зависимости от времени напряжения на вольтметре при заряде конденсатора через вольтU0 RV −t/τ1 dq (r + RV ) = e , либо экметр UV = dt r + RV вивалентное ему выражение. Получено или используется при решении выражение напряжения на вольтметре, учитывающее внутреннее сопротивление источника UV = RV U0 . RV + r Проведены экспериментальные измерения, необходимые для определения τ1 . Общее количество измеренных пар значения U1 и U2 от 11 до 15 — Общее количество измеренных пар значения U1 и U2 от 6 до 10 — Общее количество измеренных пар значения U1 и U2 от 3 до 5 — Общее количество измеренных пар значения U1 и U2 менее 3

1.6

Примечание: если все измерения выполнены для одной пары значений U1 и U2 общая оценка за пункт снижается на 0,5 балла

1.0

1.0

1.0

1.0

3.0

2.0 1.5 1.0

-0.5

Пр

Ап

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

1.7

2.1

На основании данных предыдущего пункта определено значение τ1 для каждой пары значений U1 и U2 , результаты усреднены, либо проведено усреднение значений ∆t для одинаковых U1 и U2 , на их основании определено значение τ1 . Допускается усреднение рассчитанных для каждой пары значений τ1 . Примечание: если для определения τ1 используется графический метод, либо τ1 определяется при использовании метода наименьших квадратов с помощью калькулятора при верном определении τ1 ставится полный балл. Проведены экспериментальные измерения, необходимые для определения τ2 . Общее количество измеренных пар значения U3 и U4 от 11 до 15 — Общее количество измеренных пар значения U3 и U4 от 6 до 10 — Общее количество измеренных пар значения U3 и U4 от 3 до 5 — Общее количество измеренных пар значения U3 и U4 менее 3

2.2

2.3

2.4

Примечание: если все измерения выполнены для одной пары значений U1 иU2 общаяоценказапунктснижаетсяна0,5балла На основании данных предыдущего пункта определено значение τ2 для каждой пары значений U3 и U4 , результаты усреднены, либо проведено усреднение значений ∆t для одинаковых U3 и U4 , на их основании определено значение τ2 . Допускается усреднение рассчитанных для каждой пары значений τ2 . Примечание: если для определения τ2 используется графический метод, либо τ2 определяется при использовании метода наименьших квадратов с помощью калькулятора при верном определении τ2 ставится полный балл. Экспериментально определено значение UV при непосредственном подключении вольтметра к источнику.

30 января 2024 г.

2.0

3.0

2.0 1.5 1.0

-0.5

2.0

1.0

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

2.5

2.6

2.7 2.8 2.9

На основании результатов п.8 определено значение ёмкости конденсатора C = τ2 /RV r + RV τ1 Получены формулы = , r = ττ21 − 1, RV τ2 RV   r = RV ττ12 − 1 , позволяющие определить r через τ1 отношение . τ2 На основании экспериментальных данных пп. 6 и 8 определено значение r. Для определения U0 предложено использовать соV отношение (п.4) U0 = UV r+R RV . На основании экспериментальных данных определено значение U0 .

30 января 2024 г.

1.0

1.0

1.0 1.0 1.0

Решения — теор.

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

30 января 2024 г.

11 класс Задача №11-T1. Вспоминая 90-е Пусть v0 - скорость досок a и b до соударения с доской c, а m - масса каждой из досок. Поскольку трения между досками a и b нет, а доски b и c при ударе скрепляются - сразу после удара скорость доски a равна v0 , а скорость досок b и c равна v0 /2 из закона сохранения импульса. Введём ось x по направлению скорости v0 . Поскольку горизонтальная поверхность гладкая - центр масс системы движется с постоянной скоростью, равной vцм = 2v0 /3. В момент удара центр масс системы опережает центр доски a на величину l/3, а к моменту, когда доска a целиком оказалась на доске c, центр масс системы отстаёт от центра доски на ту же величину l/3. Тогда для перемещения доски a получим: 2l 2(v0 τ + l) = 3 3 где τ - время движения доски a относительно досок b и c. Далее объединим доски b и c в одно тело массой 2m и будем характеризовать его индексом 2. Доску a будем характеризовать индексом 1. Пусть F⃗ - сила трения, действующая на первое тело со стороны второго, а x - их относительное перемещение после удара. Отметим, что трение происходит только в области перекрытия досок a и c. Величина силы трения скольжения прямо пропорциональна силе нормальной реакции шероховатой части поверхности опоры, и поэтому Fx = −µmgx/l. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел: ∆x = ∆xцм +

m⃗a1 = F⃗

2m⃗a2 = −F⃗

откуда: F⃗ F⃗ 2F⃗ + = m 2m 3m Тогда получим уравнение движения для переменной x: ⃗a1 − ⃗a2 = ⃗aотн =

ẍ = −

2µgx 3L

Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой ω0 = Его общее решение: x(t) = A sin(ωt + φ0 ) Определим A и φ0 из начальных условий:  x(0) = A sin φ0 = 0 ẋ(0) = v0 = ωA cos φ0 2

 φ0 = 0 ⇒  A = v0 2ω

p 2µg/3L.

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

30 января 2024 г.

Величина A имеет смысл амплитуды колебаний, которая также равна L, поскольку относительное движение досок прекращается, когда доска a целиком оказывается на доске c. Таким образом, имеем связь: v0 =L 2ω Время движения τ является четвертью периода гармонических колебаний с циклической частотой ω0 , откуда: π τ= 2ω Тогда для перемещения центра масс имеем: ∆xцм =

2v0 τ 2πL = 3 3

и окончательно находим: ∆x = ∆xцм +

2L 2(π + 1)L = 3 3

Задача №11-T2. Нагревание насосом Пусть V – объём сосуда, ν0 – начальное количества вещества в сосуде, а ∆ν – количество вещества, переместившееся в сосуд из атмосферы. Запишем уравнения состояния газа в сосуде до и после закачивания: p0 V = ν0 RT0

p1 V = (ν0 + ∆ν)RT1 .

Пусть давление воздуха внутри насоса равняется pв , а dVв – объём, занимаемый порцией воздуха в количестве вещества dν внутри насоса. При закачивании указанной порции воздуха в сосуд насос совершает механическую работу δAн , равную: δAн = pв dVв . Но из уравнения Менделеева–Клапейрона pв dVв = RT0 dν, поэтому: δAн = RT0 dν. Таким образом, полная механическая работа насоса Aн составляет: Aн = ∆νRT0 . Запишем первое начало термодинамики для системы, состоящей из изначального находившегося в сосуде газа и закаченного в него насосом: Aн + U 0 + U 1 = U к .

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

30 января 2024 г.

Здесь U0 = ν0 CV T0 – начальная внутренняя энергия воздуха, изначально находившегося в сосуде, U1 = ∆νCV T0 – сумма внутренних энергий закачиваемого воздуха на этапе закачивания в сосуд, а Uк = (ν0 + ∆ν)CV T1 – конечная внутренняя энергия рассматриваемой системы. Молярная теплоёмкость воздуха при постоянном объёме равна CV = 5R/2. Отсюда: ∆νRT0 +

5ν0 RT0 5∆νRT0 5(ν0 + ∆ν)RT1 + = . 2 2 2

Таким образом: T1 p1 ν0 ∆ν 5ν0 + 7∆ν 5 = ⇒ = = T0 5(ν0 + ∆ν) p0 (ν0 + ∆ν) ν0 7

! p1 −1 . p0

Для отношения количеств вещества воздуха в сосуде после завершения процессов с насосом и до их начала имеем: ∆ν νк =1+ , ν0 ν0 откуда: νк 2 5p1 = + . ν0 7 7p0 Для отношения температур T1 /T0 имеем: p1 ν0 T1 = . T0 p0 νк Таким образом: T1 =

T0 2p0 5 + 7p1 7

Задача №11-T3. Равновесие в полях Пусть T⃗ – сила, действующая на нить в точке её крепления, равная по модулю силе натяжения нити в данной точке. Тогда, поскольку система расположена в равновесии: ⃗ = 0. T⃗ + m⃗g + λLE

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

30 января 2024 г.

Введём систему координат xy, где ось x направлена вправо, а ось y – вертикально вверх. Тогда из условия равновесия: Ey =

mg λL

Ex =

T . λL

Свяжем силы натяжения нити T0 = mg в точке крепления груза и T в точке крепления нити. Приведём два способа получения данной связи. Первый способ: Воспользуемся методом виртуальных перемещений. Мысленно поместим нить в гладкую трубку, повторяющую форму нити. Это не изменит силу натяжения, потому что нить с трубкой не взаимодействует. Сдвинем нить вдоль трубки на величину dl в направлении от точки крепления груза к точке крепления нити. Тогда изменение формы нити эквивалентно перемещению участка нити длиной dl из точки крепления груза в точку крепления нити, поскольку форма остальной части нити не изменится. Поскольку сила натяжения невесомой нити направлена вдоль нити, работа сил, приложенных к концам нити, на указанном виртуальном перемещении равна: δA = T dl − T0 dl = T dl − mgdl. Совершаемая силами натяжения работа равна изменению потенциальной энергии нити в электростатическом поле: δA = dWp . Поскольку перемещение нити эквивалентно перемещению её участка длиной dl из точки крепления груза в точку крепления нити – изменение потенциальной энергии нити в электростатическом поле равно изменению потенциальной энергии соответствующего участка нити: dWp = λdl(φ − φ0 ) = λdl∆φ, где φ и φ0 – потенциалы электростатического поля в точках крепления нити и груза соответственно. Для изменения потенциала ∆φ имеем: ∆φ = −Ex (x − x0 ) − Ey (y − y0 ). Поскольку x − x0 = −S, а y − y0 = H, для изменения потенциала ∆φ находим: ∆φ = Ex S − Ey H. Таким образом: T − mg = λ(Ex S − Ey H).

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

30 января 2024 г.

Второй способ: Рассмотрим бесконечно малый элемент нити длиной dl. Условие его равновесия записывается следующим образом:
⃗ T⃗ + dT⃗ − T⃗ + Eλdl = 0. Проецируя на направление касательной к нити, получим: dT + λE∥ dl = 0. Пусть касательная к нити образует угол φ с вертикалью. Тогда для E∥ имеем: E∥ = E cos φ − E sin φ, откуда: dT + Ey λdl cos φ − Ex λdl sin φ = 0. Но при этом dl cos φ = dy, а dl sin φ = −dx, откуда: dT + Ey λdy + Ex λdx = 0. Суммируя, получим: T − T0 = T − mg = −Ey λ(y − y0 ) − Ex λ(x − x0 ). Поскольку y − y0 = H, а x − x0 = −S, получим: T − mg = λ(Ex S − Ey H). Но поскольку T = λLEx : λLEx − mg = λ(SEx − HEy ) = λSEx − λH ·

mg L − H mg ⇒ Ex = . λL λL L − S

Для напряжённости электростатического поля имеем: q E = Ex2 + Ey2 , откуда: v u mg u t1 + E= λL

L−H L−S

!2 .

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

30 января 2024 г.

Задача №11-T4. Полный улёт

Постоянное магнитное поле не совершает работы над заряженной частицей, и поэтому, если пренебречь излучением, модуль скорости частицы не изменяется. Поэтому величина скорости частицы равна величине скорости при t = 0. Отметим, что при конечных ускорениях всегда существует такой "малый"интервал времени после начала движения, на котором скорость удаления частицы от начального положения примерно равна начальной скорости, то есть можно считать, что r ≈ vt. Поэтому для нахождения скорости частицы проведём касательную к графику функции в начале координат (верхняя прямая на графике). Величина скорости при этом численно равна тангенсу угла наклона этой прямой: v=

9,8 см ≈ 7 км/с. 14 мкс

Направим ось z вдоль вектора индукции магнитного поля, выбирая для простоты начало координат так, чтобы z = 0 при t = 0. Обозначим v|| проекцию вектора скорости частицы на ось z, а v⊥ — величину перпендикулярной этой оси составляющей. Так как сила Лоренца, действующая на частицу, не имеет составляющей вдоль оси z, z(t) = v|| t. В сечении, перпендикулярном оси z, движение частицы происходит по окружности с постоянной скоростью v⊥ . Радиус этой окружности равен R=

mv⊥ , qB

где B — модуль вектора магнитной индукции, а время одного оборота T =

2πR 2πm = . v⊥ qB

Таким образом, траектория частицы представляет собой винтовую линию с шагом h = v|| T и радиусом R = v⊥ T /(2π). Выбирая оставшиеся оси координат максимально удобным способом, можно записать, что x(t) = R cos(2πt/T ),

y(t) = R sin(2πt/T ),

откуда, учитывая, что в момент t = 0 частица находилась в точке с координатами x = R, y = z = 0, получим формулу зависимости модуля её перемещения от времени: q p r(t) = (x(t) − R)2 + y(t)2 + z(t)2 = v||2 t2 + 4R2 sin2 (πt/T ).

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

30 января 2024 г.

Возьмём теперь выражение для r(t) и поделим его на t: s 2  r(t) sin(πt/T ) 2 2 = v|| + 4R · . t t Второе слагаемое в подкоренном выражении при любом t не может быть меньше нуля, следовательно r(t)/t ⩾ v|| . Это значит, что прямая, идущая в координатах r-t из начала, имеющая общие точки с приведённым в условии графиком и обладающая наименьшим угловым коэффициентом, является прямой r = |v|| |t. Соответственно, для того чтобы определить v|| , проведём касательную из начала координат к нижней части графика (нижняя прямая на рисунке). Точки касания соответствуют ситуации, когда частица находится на прямой, проходящей через

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

30 января 2024 г.

начальную точку и параллельной линиям магнитного поля. Тангенс наклона такой прямой численно равен |v|| |: |v|| | =

7,6 см = 1,9 км/с. 40 мкс

Отсюда находим, что cos α =

v|| 1,9 =± ≈ ±0,271 v 7

α ≈ 74◦

или α ≈ 106◦ .

Точки касания нижней прямой располагаются через равные промежутки времени, равные времени T прохода частицей одного витка винтовой линии. Для увеличения точности возьмем крайнюю (третью) точку касания и определим значение T : T = 34 мкс/3 ≈ 11,3 мкс. Отсюда получим, что B=

2πm 2 · 3,14 · 10−26 кг = ≈ 35 мТл. qT 1,6 · 10−19 Кл · 11,3 · 10−6 с

Между положениями A и B прошло время, равное tAB = 39 мкс − 14 мкс = 25 мкс. За это время частица сместилась вдоль линий магнитного поля на расстояние ∆z = |v|| |tAB = 4,75 см. В проекции на перпендикулярную магнитному полю плоскость частица движется по окружности с радиусом q R = (v⊥ T )/2π = T /2π · v 2 − v||2 ≈ 1,21 см. Её смещение в этой плоскости равно ∆l = 2R sin(πtAB /T ) ≈ 1,50 см. Отсюда получим значение расстояния AB: p LAB = ∆l2 + ∆z 2 ≈ 5,0 см.

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

30 января 2024 г.

Задача №11-T5. Троеточие Если линза рассеивающая, то, независимо от положения источника, его изображение будет мнимым, расположенным между источником и оптическим центром линзы. После перемещения источника в точку, где ранее было расположено его изображение, новое изображение окажется снова между источником и оптическим центром линзы. Получится бесконечная цепочка изображений. Таким образом, три точки с указанным свойством в случае рассеивающей линзы существовать не могут. Линза может быть только собирающей. Мнимое изображение в собирающей линзе всегда расположено дальше от линзы, чем источник, поэтому не может быть, что точки A, B и C являются мнимыми изображениями друг друга. Но, в соответствии с принципом обратимости хода световых лучей, при помещении источника в точку действительного изображения, его новое изображение совпадает с предыдущим положением источника. Поэтому описанным в условии свойством три точки могут обладать только в том случае, если две из них являются действительными изображениями друг друга, а при помещении источника в третью он дает мнимое изображение в одной из точек этой пары. Пусть, например, собирающая линза расположена так, что точка A находится за её фокальной плоскостью. Тогда изображение A будет действительным и будет расположено по другую сторону от плоскости линзы. При перемещении источника в точку этого изображения, новое изображение вернется в точку A. Оставшееся, третье положение источника, должно давать мнимое изображение в одной из первых двух точек. Значит, оно должно располагаться между этой точкой (своим изображением) и оптическим центром линзы O ближе фокальной плоскости линзы. В этом случае линза могла быть расположена двумя способами (см. рисунок): а) оптический центр линзы находится между точками B и C, причём источник в точке B даёт мнимое изображение в точке A; б) оптический центр линзы находится между точками A и B, причём источник в точке B даёт мнимое изображение в точке C.

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

30 января 2024 г.

Таким образом, оптический центр линзы мог располагаться как справа так и слева от точки B. Если же источник сначала расположить между фокальной плоскостью и плоскостью линзы, то изображение будет получаться мнимым. При помещении источника в точку изображения новое изображение должно получиться действительным (по другую сторону плоскости линзы). И при перемещении источника в оставшуюся, третью точку, изображение окажется на месте, где источник располагался ранее. Этот вариант идентичен представленному ранее и отдельного рассмотрения не требует. Рассмотрим только способ а) размещения линзы, так как способ б) аналогичен. Источник, расположенный в точке B на расстоянии меньшем фокусного, даёт мнимое изображение в точке A. При помещении источника в точку A возникает действительное изображение в точке C, при помещении источника в точку

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

30 января 2024 г.

C – действительное изображение в точке A. Обозначим расстояние между оптическим центром линзы и источником, угол между главной оптической осью линзы и прямой и фокусное расстояние линзы за за d, α и F соответственно. Запишем формулу тонкой линзы для варианта расположения источника в точке B: 1 1 1 − = . d cos α (l + d) cos α F Запишем формулу тонкой линзы для варианта расположения источника в точке A: 1 1 1 + = . (l + d) cos α (l − d) cos α F Решая систему, находим d и α. Расстояние между оптическим центром линзы и точкой B равно d = 3l . 9F Решение системы уравнений дает: cos α = 9F 4l , откуда α = arccos 4l . Поскольку в условии сказано, что угол α является малым, то допустимо на любом 2 этапе вычислений использовать приближённое равенство cos α ≈ 1 − α2 . Тогда q 4l−9F приходим к формуле α ≈ 2l . Отметим, что малость угла означает, что с точностью до поправок порядка α2 параметры системы связаны соотношением l ≈ 49 F . Угол между главной оптической осью линзы и прямой M N равен α = arccos 9F 4l q или α ≈ 4l−9F . 2l

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

30 января 2024 г.

Шифр 11-T1. Вспоминая 90-е

Балл

3 4

Пункт разбалловки Записано, что поскольку поверхность по которой скользят доски – гладкая, то скорость центра масс трёх досок остается постоянной vцм = const Найдена скорость центра масс трёх досок vцм = 2v0 /3, где v0 – скорость движения досок a и b до удара Найдены начальное и конечное положения центра масс досок: на расстоянии L/3 сначала левее, а в конце правее точки сцепления досок Найдена начальная скорость доски a, относительно сцепившихся досок: vотн = v0 /2 Записано выражение для итогового перемещения доски a: ∆xb = 2L/3 + ∆xцм = 2(L + v0 τ )/3,

0.5

0.5 2 знач по 0.5 0.5

1.0

где τ – время относительного движения досок, начиная от момента столкновения Записан второй закон Ньютона для доски a (1) и для сцепившихся досок (2): 6

ma1 = −F, 2ma2 = F,

2 уравн по 0.5

где F – сила трения между досками Записано выражение для силы трения в зависимости от перекрытия досок: 7

F = µN = µmgx/L, где x = x1 − x2 – относительное смещение доски a и сцепившихся досок, начиная от момента столкновения

1.0

Пр

Ап

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

9 10 11 12

13

Получено уравнение гармонических колебаний вида: 2µgx ẍ = − 3L Записано выражение для частоты колебаний ω = r 2µg 3L Получено решение уравнения в виде x = A sin ωt Записана связь между амплитудой колебаний и максимальной скоростью (начальной относительной скоростью) v0 /2 = ωA Приведено или используется далее выражение для амплитуды колебаний A = L Из равенства x(τ ) = A sin ωτ = 0 или рассуждений о частях периода колебаний найдено время движения до остановки: π πA τ= = 2ω v0

30 января 2024 г.

1.0

1.0 1.0 1.0 0.5

1.0

Записан верный ответ на вопрос задачи 14

∆x =

2(π + 1)L 3

1.0

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

30 января 2024 г.

Шифр 11-T2. Нагревание насосом

Балл

Пункт разбалловки Записано уравнение состояния газа в сосуде до начала процессов с насосом:

1.1

p0 V = ν0 RT0 .

1.0

Записано уравнение состояния газа в сосуде по окончании всех процессов с насосом: 1.2

p1 V = (ν0 + ∆ν)RT1 .

1.0

Для отношения начальной и конечной температур T1 /T0 получено: 1.3

1.4

1.5

T1 p1 ν0 = . T0 p0 ν0 + ∆ν Указано, что в рассматриваемых процессах насос совершает механическую работу. Указано, что работа δAн , совершённая насосом в процессе закачивания в сосуд порции воздуха, равна произведению давления искомой порции воздуха pв на занимаемый ей объём dVв :

1.0

1.0

1.0

δAн = pв dVв .

1.6

Использовано уравнение Менделеева– Клапейрона и определена механическая работа δAн , совершённая насосом в процессе закачивания в сосуд порции воздуха в количестве вещества dν: δAн = RT0 dν.

1.0

Пр

Ап

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

30 января 2024 г.

Определена полная механическая работа, совершённая насосом: 1.7

Aн = ∆νRT0 .

1.0

Записано первое начало термодинамики для системы, состоящей из изначального находившегося в сосуде газа и закаченного в него: 1.8

1.0 Aн + U0 + U1 = Uк . Первое начало термодинамики приведено к виду, эквивалентному следующему:

1.9 ∆νRT0 +

5ν0 RT0 5∆νRT0 5(ν0 + ∆ν)RT1 + = . 2 2 2

2.0

Определено отношение количеств вещества воздуха в сосуде после завершения процессов с насосом и до их начала: 1.10

νк 2 5p1 = + . ν0 7 7p0

1.0

Определена температура воздуха в сосуде T1 по окончании процессов с насосом: 2.1

T1 =

T0

. 2p0 5 + 7p1 7

1.0

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

30 января 2024 г.

Шифр 11-T3. Равновесие в полях

Пункт разбалловки

Балл

1.1

Определена сила натяжения нити в точке крепления груза: T0 = mg.

1.0

1.2

Записано условие равновесия системы (или система уравнений, эквивалентная векторному уравнению): ⃗ = 0, T⃗ + m⃗g + λLE

1.0

1.3

1.4

1.5

где T⃗ – сила, действующая на нить в точке её крепления. Из условия равновесия системы получены выражения для проекций напряжённости электростатического поля на оси x и y (по 1.0 балла за каждую): mg T Ey = Ex = . λL λL Метод 1. Для связи сил натяжения нити T и T0 предложено воспользоваться методом виртуальных перемещений. Метод 1. Определена работа сил, приложенных к концам нити, на виртуальном перемещении длиной dl: δA = (T − T0 )dl.

2 точки по 1.0

0.5

0.5

Метод 1. Указано, что работа сил, приложенных к концам нити, равна изменению потенциальной энергии нити в электростатическом поле: 1.6

0.5 δA = dWp .

Пр

Ап

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

1.7

1.8

Метод 1. Указано, что изменение потенциальной энергии нити в электростатическом поле равно изменению потенциальной энергии участка длиной dl, переместившегося из точки крепления груза в точку крепления нити, Метод 1. Записано выражение: dWp = λdl(φ − φ0 ).

30 января 2024 г.

1.0

0.5

Метод 1. Для изменения потенциала ∆φ записано выражение: 1.9

∆φ = −Ex (x − x0 ) − Ey (y − y0 ).

1.0

Метод 1. Определено изменение потенциала ∆φ: 1.10

∆φ = Ex S − Ey H.

1.0

Метод 1. Получено уравнение, связывающее силу натяжения с напряжённостью электростатического поля: 1.11

1.0 T − mg = λ(Ex S − Ey H). Метод 2. Записано условие равновесия участка нити длиной dl:

1.12◦

⃗ = 0. dT⃗ + λdlE

0.5

Метод 2. Условие равновесия нити спроецировано на ось, направленную по касательной к нити: 1.13◦

dT + λE∥ dl = 0.

1.0

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

30 января 2024 г.

Метод 2. Для E∥ получено: 1.14◦

E∥ = Ey cos φ − Ex sin φ.

1.0

Метод 2. Получено следующее соотношение: 1.15◦

dT + λEy dl cos φ − λEx dl sin φ = 0.

1.16◦

Метод 2. Указано, что dl cos φ = dy и dl sin φ = −dx. Метод 2. После суммирования получено следующее соотношение:

1.17◦

1.18◦

T − T0 = −λEx (x − x0 ) − λEy (y − y0 ).

0.5

1.0

1.0

Метод 2. Получено выражение, связывающее силу натяжения с напряжённостью электростатического поля: 1.0 T − mg = λ(Ex S − Ey H). Определена проекция Ex напряжённости электростатического поля:

1.19

1.20

Ex =

mg L − H . λL L − S

Получен ответ для напряжённости E электростатического поля: v !2 u mg u L−H t 1+ E= . λL L−S

1.0

1.0

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

30 января 2024 г.

Шифр 11-T4. Полный улёт

Балл

1.1

1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

2.6 2.7 2.8 3.1 3.2

Пункт разбалловки Указано, что модуль скорости частицы не изменяется и поэтому можно искать величину начальной скорости Указано, что начальную скорость можно определить по наклону касательной к графику в начальной точке Получено значение скорости в интервале 6,8 - 7,2 км/с Попадание в интервал значений скорости 6,5 - 7,5 км/с Попадание в интервал значений скорости 6,0 - 8,0 км/с Указано (используется в решении), что частица движется вдоль поля с постоянной скоростью Указано (используется в решении), что в плоскости, перпендикулярной полю, частица движется по окружности Записана формула для периода (угловой скорости) вращения по этой окружности Получена правильная формула для зависимости r(t), представленной на графике Указано, что касательная к графику, идущая из начала координат с наименьшим угловым коэффициентом, является прямой r = v|| t Обосновано, что касательная к графику, идущая из начала координат с наименьшим угловым коэффициентом, является прямой r = v|| t Найдено значение v|| в диапазоне 1,8 - 2,0 км/с Получено значение угла в одном из диапазонов 70◦ - 80◦ или 100◦ - 110◦ Указано, что точки нижней касательной к графику должны соответствовать моментам времени, кратным периоду вращения Найден период вращения в интервале 11,2 - 11,4 мкс

0.5

0.8 0.3 0.2 0.2 0.2 0.4 0.4 1.0 0.5

1.5 1.0 1.0 0.5 0.3

Пр

Ап

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

30 января 2024 г.

3.3

0.2

3.4 4.1

4.2

4.3 4.4 4.5

Попадание в интервал 11,0 - 11,6 мкс Найдена величина индукции магнитного поля в интервале 34 - 36 мТл Найдено расстояние между проекциями точек A и B на направление магнитного поля в интервале 4,6 - 4,9 см Получена любая правильная формула для расчета расстояния между проекциями точек A и B на плоскость, перпендикулярную полю Найдено расстояние между проекциями точек A и B на плоскость, перпендикулярную полю, в интервале 1,3 - 1,5 см Найдено LAB в интервале 4,8 - 5,2 см Попадание в интервал 4,5 - 5,5 см

0.5 0.5

1.0

0.4 0.3 0.3

Региональный этап Всероссийской олимпиады по физике

30 января 2024 г.

Шифр 11-T5. Троеточие

Балл

1.1 2.1

2.2 3.1 3.2 3.3 4.1

Пункт разбалловки Доказано, что линза может быть только собирающей. Установлено какие изображения (мнимые или действительные) создаёт размещение источника для каждой из трёх точек – A,B,C. Доказано, что возможны два положения центра линзы на прямой M N – как слева так и справа от точки B. Верно записана формула тонкой линзы для размещения источника в точке A. Верно записана формула тонкой линзы для размещения источника в точке B. Определено расстояние между оптическим центром линзы и точкой B. Определён угол между главной оптической осью линзы и прямой M N .

2.0 2.0

2.0 1.0 1.0 2.0 2.0

Пр

Ап