Олимпиада по физике 11 класс — школьный этап ВсОШ 2025/2026: задания и ответы

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ¯ ФИЗИКА. 2025–2026 уч. г. ¯ ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 11 КЛАСС ¯ КРИТЕРИИ И РЕШЕНИЯ ¯

Два тела на наклонной плоскости (10 баллов) На наклонной плоскости, образующей угол α = 25◦ с горизонтом, покоится брусок A массой mA = 1,8 кг. К бруску прикреплена лёгкая нерастяжимая нить, перекинутая через невесомый идеальный блок, закреплённый на вершине плоскости. На другом конце нити подвешен груз B массой mB = 2,3 кг. Коэффициент трения скольжения между бруском A и плоскостью равен µ = 0,15. Систему отпускают из состояния покоя (см. рисунок). Ускорение свободного падения примите равным g = 10 м/с2.

1. Определите величину ускорения, с которым движется груз B. Ответ выразите в м/с2, округлив до сотых долей. (3 балла) 2. Найдите силу натяжения нити. Ответ выразите в ньютонах, округлив до десятых долей. (2 балла) 3. Какой путь пройдёт груз B за первые t = 0,80 с движения? Ответ выразите в метрах, округлив до сотых долей. (2 балла) 4. Определите минимальный коэффициент трения µmin между бруском A и плоскостью, при котором система сохранила бы состояние покоя. Ответ округлите до сотых долей. (3 балла) Ответы: 1) 3,16 м/с2; 2) 15,7 Н; 3) 1,01 м; 4) 0,94. 1

Два тела на наклонной плоскости (10 баллов) На наклонной плоскости, образующей угол α = 35◦ с горизонтом, может скользить брусок A массы mA = 2,4 кг. У вершины плоскости закреплён невесомый идеальный блок. К бруску прикреплена лёгкая нерастяжимая нить, перекинутая через блок; на другом конце нити подвешен груз B массы mB = 3,0 кг. Коэффициент трения скольжения между бруском A и плоскостью равен µ = 0,22. Систему отпускают из состояния покоя (см. рисунок). Ускорение свободного падения примите равным g = 10 м/с2.

1. Определите величину ускорения, с которым движется груз B. Ответ выразите в м/с2, округлив до десятых долей. (3 балла) 2. Найдите силу натяжения нити. Ответ выразите в ньютонах, округлив до десятых долей. (2 балла) 3. Какой станет скорость груза B, когда он опустится на s = 1,20 м? Ответ выразите в м/с, округлив до сотых долей. (3 балла) 4. Определите модуль работы силы трения, совершённой над бруском A при его перемещении на s = 1,20 м вдоль плоскости. Ответ укажите в джоулях, округлив до сотых долей. (2 балла) Ответы: 1) 2,2 м/с2; 2) 23,4 Н; 3) 2,30 м/с; 4) 5,19 Дж.

Два тела на наклонной плоскости (10 баллов) На наклонной плоскости, образующей угол α = 32◦ с горизонтом, покоится брусок A массы mA = 3,0 кг. К бруску прикреплена лёгкая нерастяжимая нить, перекинутая через невесомый идеальный блок, закреплённый у вершины плоскости. На другом конце нити подвешен груз B массы mB = 4,2 кг. Коэффициент трения скольжения между бруском A и плоскостью равен µ = 0,18. Систему отпускают из состояния покоя (см. рисунок). Ускорение свободного падения примите равным g = 10 м/с2.

1. Определите величину ускорения, с которым движется груз B. Ответ выразите в м/с2, округлив до сотых долей. (3 балла) 2. Найдите силу натяжения нити. Ответ выразите в ньютонах, округлив до десятых долей. (2 балла) 3. Какова будет суммарная кинетическая энергия двух тел в тот момент, когда груз B опустится на s = 1,40 м относительно начального положения? Ответ выразите в джоулях, округлив до десятых долей. (3 балла) 4. Рассчитайте модуль мгновенной мощности силы натяжения нити, действующей на груз B, в момент, когда груз B прошёл указанный путь s = 1,40 м. Ответ выразите в ваттах, округлив до десятых долей. (2 балла) Ответы: 1) 2,99 м/с2; 2) 29,4 Н; 3) 30,1 Дж; 4) 85,2 Вт. 3

Два тела на наклонной плоскости (10 баллов) На наклонной плоскости, образующей неизвестный угол α с горизонтом, покоится брусок A массы mA = 3,1 кг. К нему привязана лёгкая нерастяжимая нить, перекинутая через невесомый идеальный блок, закреплённый у вершины плоскости. На другом конце нити подвешен груз B массы mB = 3,8 кг. Коэффициент трения скольжения между бруском A и плоскостью равен µ = 0,20. Экспериментально установлено, что после отпускания системы из состояния покоя груз B движется вниз с постоянным ускорением a = 2,20 м/с2. Ускорение свободного падения примите равным g = 10 м/с2 (см. рисунок).

1. Определите угол наклона плоскости α. Ответ дайте в градусах, округлив до десятых долей. (3 балла) 2. Рассчитайте силу натяжения нити. Ответ дайте в ньютонах, округлив до десятых долей. (2 балла) 3. На какое расстояние опустится груз B за первые t = 1,10 с движения? Ответ дайте в метрах, округлив до сотых долей. (3 балла) 4. Определите модуль работы силы трения, совершённой над бруском A за время, указанное в пункте 3. Ответ укажите в джоулях, округлив до сотых долей. (2 балла) Ответы: 1) 34,9◦; 2) 29,6 Н; 3) 1,33 м; 4) 6,77 Дж. 4

Два тела на наклонной плоскости (10 баллов) На наклонной плоскости, образующей угол α = 26◦ с горизонтом, покоится брусок A массы mA = 2,8 кг. К бруску привязана лёгкая нерастяжимая нить, перекинутая через невесомый идеальный блок, закреплённый у вершины плоскости. На другом конце нити подвешен груз B неизвестной массы mB . Коэффициент трения скольжения между бруском A и плоскостью равен µ = 0,17. В эксперименте установлено, что после отпускания системы из состояния покоя ускорение груза B остаётся постоянным и равно a = 1,95 м/с2 (груз B движется вниз). Ускорение свободного падения примите равным g = 10 м/с2 (см. рисунок).

1. Определите массу груза mB . Ответ дайте в килограммах, округлив до сотых долей. (3 балла) 2. Найдите силу натяжения нити. Ответ дайте в ньютонах, округлив до десятых долей. (2 балла) 3. Какой станет скорость груза B, когда он опустится на s = 1,30 м? Ответ дайте в м/с, округлив до сотых долей. (3 балла) 4. Определите модуль работы силы трения, совершённой над бруском A при его перемещении на s = 1,30 м вдоль плоскости. Ответ укажите в джоулях, округлив до сотых долей. (2 балла) Ответы: 1) 2,73 кг; 2) 22,0 Н; 3) 2,25 м/с; 4) 5,56 Дж. 5

Типовое решение для сюжета «Два тела на наклонной плоскости» Уникальные вопросы, которые встречаются в данных задачах 1. Ускорение бруска или груза a. 2. Сила натяжения нити T . 3. Кинематика при постоянном a: путь за время t, скорость/энергия после смещения на s. 4. Работа силы трения над бруском A, реакция опоры N , мгновенная мощность P = T v. 5. «Порог покоя»: минимальный коэффициент трения µmin для равновесия системы. 6. «Обратные» задачи: найти α, µ или mB по известному a.

Модель и обозначения Брусок A массой mA на плоскости под углом α к горизонту; подвес B массой mB через невесомый блок и невесомую нерастяжимую нить. Трение скольжения между A и плоскостью с коэффициентом µ. Ускорение свободного падения g. После отпускания из покоя брусок/груз движутся с постоянным по модулю ускорением. Направление оси вдоль возможного перемещения выбираем так, чтобы для груза B направление «вниз» было положительным. Тогда брусок A движется «вверх по плоскости», а сила трения на A направлена «вниз по плоскости».

Базовые уравнения (в проекциях) Для A (направление вверх по плоскости): T − mAg sin α − µmAg cos α = mAa. 6

(1)

Для B (направление вниз): mB g − T = mB a.

(2)

Складывая (1) и (2), получаем ускорение при движении B вниз:
mB − mA sin α + µ cos α a=g . mA + m B Сила натяжения удобнее всего выражается из (2): T = mB (g − a) .

Кинематика, энергия, мощность При старте из покоя и постоянном a имеем s = 21 at2,

v = at,

v 2 = 2as.

Суммарная кинетическая энергия в любой момент (скорости тел равны по модулю): K = 21 (mA + mB ) v 2. Модуль работы силы трения на пути s вдоль плоскости: |Aтр| = µ mAg cos α · s . Модуль мгновенной мощности натяжения (на груз B): |P | = T v.

Порог покоя (минимальный коэффициент трения) Прежде чем считать ускорение, надо ответить на вопрос, придет ли система в движение. Если сила тяги не превосходит того, что может компенсировать трение покоя, возникающее у бруска, система может остаться в покое. Это и есть порог покоя.

1) Что сравниваем. Вдоль нити/плоскости сравниваем «несбалансированную» силу без трения и предельное значение, которое способно удержать брусок силами трения покоя: |

mB g − mAg sin α {z }

кто «перетягивает» без трения

µ g cos α} | mA{z

максимум трения покоя

2) Формула для граничного значения. Из неравенства сразу получаем единственное пороговое значение: µmin =

mB mA − sin α

cos α

Если µs ≥ µmin, то система может покоиться (силы уравновешиваются статическим трением нужного направления). Если µs < µmin, то покой невозможен — начнётся движение. Сила трения всегда направлена против возможного движения: B • если m mA > sin α (перевес у подвеса), без трения груз B пошёл бы вниз; трение на бруске направлено вниз по плоскости (тормозит этот срыв); B • если m mA < sin α, без трения брусок покатился бы вниз по плоскости; трение направлено вверх по плоскости.

Обратные задачи (по измеренному ускорению) 1) Неизвестная масса груза mB при заданных a, α, µ:
g sin α + µ cos α + a mB = mA . g−a 2) Неизвестный коэффициент трения µ: a mB − (mA + mB ) − mA sin α g µ= . mA cos α 8

3) Неизвестный угол α: Из формулы на a получаем sin α + µ cos α =

mB g − (mA + mB )a =: C. mA g

1 + µ2 sin(α + φ), где φ = arctg µ. Тогда ! C α = arcsin p −φ 2 1+µ

Запишем sin α + µ cos α =

с учётом условия α ∈ (0◦, 90◦).

Неупругий удар (10 баллов) На гладком горизонтальном столе покоятся два бруска: левый массой m2 = 0,30 кг, правый массой m3 = 0,50 кг. Бруски соединены идеальной пружиной жёсткостью k = 200 Н/м. Слева по столу без трения скользит снаряд массой m1 = 0,20 кг со скоростью v0 = 4,0м/с и центральным абсолютно неупругим образом сталкивается с левым бруском. После удара система «снаряд + левый брусок» движется как единое целое. 5. Определите скорость u системы «снаряд + левый брусок» сразу после удара. Ответ выразите в м/с, округлив до десятых долей. (2 балла) 6. Определите скорость правого бруска m3 в момент максимального сжатия пружины. Ответ выразите в м/с, округлив до десятых долей. (2 балла) 7. Найдите максимальное сжатие пружины xmax. Ответ выразите в см, округлив до десятых долей. (3 балла) 8. На сколько процентов уменьшилась механическая энергия системы при соударении? Дайте ответ в процентах, округлив до целого числа. (3 балла)

Ответы: 5) 1,6 м/с; 6) 0,8 м/с; 7) 5,7 см; 8) 60%.

10

Неупругий удар (10 баллов) На гладком горизонтальном столе покоятся два бруска: левый массой m2 = 0,30 кг, правый массой m3 (неизвестна). Бруски соединены идеальной пружиной жёсткостью k = 200 Н/м. Слева движется снаряд массой m1 = 0,20 кг, который центральным абсолютно неупругим образом сталкивается с левым бруском; далее оба тела движутся как единое целое. 5. Скорость объединившихся тел массами m1 и m2 после удара оказалась равной u = 2,0 м/с. Определите начальную скорость v0 снаряда. Ответ выразите в м/с, округлив до десятых долей. (2 балла) 6. При максимальном сжатии пружины её деформация равна xmax = 4,00 см. Найдите массу правого бруска m3. Ответ выразите в кг, округлив до сотых долей. (3 балла) 7. Определите скорость правого бруска m3 в момент максимального сжатия пружины. Ответ выразите в м/с, округлив до десятых долей. (2 балла) 8. Какая доля кинетической энергии системы «снаряд + левый брусок» сразу после удара перешла в потенциальную энергию пружины к моменту её максимального сжатия? Ответ дайте в процентах, округлив до целого числа. (3 балла)

Ответы: 5) 5,0 м/с; 6) 0,10 кг; 7) 1,7 м/с; 8) 16%.

11

Неупругий удар (10 баллов) На гладкой горизонтальной поверхности покоятся два бруска: левый массой m2 = 0,25 кг, правый массой m3 = 0,55 кг. Они соединены идеальной пружиной жёсткостью k = 180 Н/м. Слева движется снаряд массой m1 = 0,20 кг со скоростью v0 = 3,5 м/с, который центральным абсолютно неупругим образом сталкивается с левым бруском; после удара тела снаряд и левый брусок движутся как единое целое. 5. Определите скорость u системы «снаряд+левый брусок» сразу после удара. Ответ выразите в м/с, округлив до десятых долей. (2 балла) 6. В некоторый момент скорость системы m1+m2 равнялась 1,0 м/с. Найдите скорость правого бруска в этот момент. Ответ выразите в м/с, округлив до сотых долей. (3 балла) 7. Определите скорость снаряда в момент максимального сжатия пружины. Ответ выразите в м/с, округлив до десятых долей. (2 балла) 8. Определите максимальное сжатие пружины xmax после удара. Ответ выразите в сантиметрах, округлив до десятых долей. (3 балла)

Ответы: 5) 1,6 м/с; 6) 0,45 м/с; 7) 0,7 м/с; 8) 5,8 см.

12

Неупругий удар (10 баллов) На гладком горизонтальном столе покоятся два бруска: левый массой m2 = 0,40 кг и правый массой m3 (неизвестна). Бруски соединены идеальной пружиной жёсткостью k = 250 Н/м. Слева по столу движется снаряд массой m1 = 0,25 кг, который центрально абсолютно неупруго сталкивается с левым бруском. Максимальное сжатие пружины при дальнейшем движении оказалось равным xmax = 7,0 см. 5. После столкновения снаряд и левый брусок стали двигаться со скоростью u = 2,5 м/с. Определите скорость v0 снаряда до удара. Ответ выразите в м/с, округлив до десятых долей. (2 балла) 6. Найдите массу правого бруска m3. Ответ выразите в кг, округлив до сотых долей. (3 балла) 7. Определите скорость правого бруска V в момент максимального сжатия пружины. Ответ выразите в м/с, округлив до десятых долей. (3 балла) 8. Какая доля кинетической энергии системы «снаряд + левый брусок» сразу после удара перешла в потенциальную энергию пружины к моменту её максимального сжатия? Ответ выразите в процентах, округлив до целого числа. (2 балла)

Ответы: 5) 6,5 м/с; 6) 0,28 кг; 7) 1,7 м/с; 8) 30%.

13

Неупругий удар (10 баллов) На гладком горизонтальном столе покоятся два бруска: левый массой m2 = 0,45 кг, правый массой m3 = 0,55 кг. Бруски соединены идеальной пружиной жёсткостью k = 160 Н/м. Слева к левому бруску движется снаряд массой m1 = 0,30 кг со скоростью v0 = 4,5 м/с, который центрально абсолютно неупруго сталкивается с ним. 5. Какая доля начальной кинетической энергии снаряда стала кинетической энергией системы «снаряд + левый брусок» сразу после удара? Ответ выразите в процентах, округлив до целого числа. (2 балла) 6. Определите скорость правого бруска в момент максимального сжатия пружины. Ответ выразите в м/с, округлив до десятых долей. (3 балла) 7. В некоторый момент скорость правого бруска составляла V3 = 0,7 м/с. Определите скорость системы «снаряд + левый брусок» в тот же момент. Ответ выразите в м/с, округлив до десятых долей. (3 балла) 8. Определите максимальное сжатие пружины xmax после удара. Ответ выразите в сантиметрах, округлив до десятых долей. (2 балла)

Ответы: 5) 40%; 6) 1,0 м/с; 7) 1,3 м/с; 8) 8,0 см.

14

Типовое решение для сюжета «Неупругий удар» Уникальные вопросы, встречающиеся в данных задачах 1. Скорость объединённого левого тела сразу после удара u. 2. Скорость правого бруска в различные моменты (в том числе при максимальном сжатии). 3. Максимальное сжатие пружины xmax. 4. Доли/потери механической энергии на каждом этапе. 5. Обратные задачи: определение m3 или v0 по измеренным u, xmax, V и т. п.

Модель и этапы Стол гладкий, пружина идеальная. Слева летит снаряд массой m1 со скоростью v0. Левый брусок имеет массуm2, правый — массу m3; между ними имеется пружина жёсткости k. Удар абсолютно неупругий: снаряд слипается с левым бруском. • Этап 1 (удар): полный импульс системы сохраняется. • Этап 2 (после удара → максимум сжатия): по горизонтали внешние силы не действуют ⇒ полный импульс сохраняется ; трения нет ⇒ механическая энергия также сохраняется. • В момент xmax все три тела движутся с одной и той же скоростью V Обозначим mL = m1 + m2, M = m1 + m2 + m3 = mL + m3.

15

1) Удар (сохранение импульса): m1v0 = mLu

u=

m1 v0 . m1 + m 2

2) После удара в любой момент: mLvL + m3vR = m1v0 = mLu 2 2 2 2 1 1 1 1 2 mL vL + 2 m3 vR + 2 kx = 2 mL u

(сохранение импульса). (сохранение энергии).

3) В момент максимального сжатия xmax (при общей скорости V ): m1 mL mL u = M V ⇒ V = v0 = u; M M r r m m m m3 1 L 3 2 2 2 1 1 1 √ ⇒ x = u m u = M V + kx = v . max 0 max 2 L 2 2 kM m M k L

Энергетические доли • Потеря энергии на ударе (снаряд → «снаряд+левый брусок»): ηпот = 1 −

Kпосле m1 m2 =1− = Kдо m1 + m 2 m1 + m 2

(в долях).

• Доля Kпосле, перешедшая в пружину к xmax: 1 2 m3 Eпруж, max 2 kxmax = 1 = . 2 Kсразу M m u 2 L

Ответы на некоторые задаваемые вопросы скорость u сразу после удара : u =

m1 v0 . m1 + m2

m1 Скорость правого бруска при xmax : скорости равны V = v0 = M mL u. M 16

r mLm3 Максимальное сжатие: xmax = u . Если даны v0 и масkM m1v0 сы, можно подставить u = . mL «Промежуточный момент»: известна одна скорость . Всегда верно равенство mLvL + m3vR = mLu, следовательно vR =

mL(u − vL) , m3

vL = u −

m3 vR . mL

Если нужно найти ещё и x в этот момент, пишем закон сохранения энергии: r mL(u2 − vL2 ) − m3vR2 x= . k Решения обратных задач • По u и xmax находим m3: m2Lu2 m3 = − mL . mLu2 − kx2max • По u находим v0: v0 =

m1 + m2 u. m1

• По V при xmax — v0 =

M V. m1

17

Цикл с линейным участком (10 баллов) С одним молем идеального одноатомного газа совершают циклический процесс ABCDA, состоящий из двух изохорных процессов AB и CD, изобарного процесса DA и процесса BC, в котором давление остаётся пропорциональным объёму (P = kV ). Объём газа в процессе AB равен 9 л, в процессе CD — 21 л, давление в процессе DA равно 30 кПа. Максимальное давление газа в цикле равно 210 кПа. Во всех расчётах используйте универсальную газовую постоянную R = 8,314 Дж/(моль·К). 9. Рассчитайте работу, совершённую газом на участке B → C. Ответ выразите в кДж, округлив до сотых долей. (3 балла) 10. Найдите количество теплоты, отданное газом на участке C → D. Ответ выразите в кДж, округлив до сотых долей. (3 балла) 11. Определите изменение внутренней энергии газа за полуцикл A → B → C. Ответ выразите в кДж, округлив до сотых долей. (2 балла) 12. Найдите температуру газа в состоянии C. Ответ выразите в К, округлив до целого числа. (2 балла) Ответы: 9) 1,80 кДж; 10) 5,67 кДж 11) 6,21 кДж; 12) 530 K.

18

Цикл с линейным участком (10 баллов) С одним молем идеального одноатомного газа совершают циклический процесс ABCDA, состоящий из изобарного процесса AB, двух изохорных процессов BC и DA и процессаCD, в котором давление остаётся пропорциональным объёму (P = kV ). Давление в процессе AB равно 40 кПа. Объём газа в изохорных процессах BC и DA равен соответственно 24 л и 12 л. Максимальное давление газа в цикле равно 180 кПа. Во всех расчётах используйте универсальную газовую постоянную R = 8,314 Дж/(моль·К). 9. Найдите работу, совершённую над газом за цикл. Ответ выразите в кДж, округлив до сотых долей. (3 балла) 10. Найдите количество теплоты, полученное газом на участке A → B. Ответ выразите в кДж, округлив до сотых долей. (3 балла) 11. Определите изменение внутренней энергии на участке C → D → A. Ответ выразите в кДж, округлив до сотых долей. (2 балла) 12. Найдите температуру газа в состоянии D. Ответ выразите в К, округлив до целого числа. (2 балла) Ответы: 9) 1,14 кДж; 10) 1,20 кДж; 11) -5,76 кДж; 12) 130 K.

19

Цикл с линейным участком (10 баллов) С одним молем идеального одноатомного газа совершают циклический процесс ABCDA, состоящий из двух изохорных процессов AB и CD, изобарного процесса DA и процесса BC, в котором давление остаётся пропорциональным объёму (P = kV ). Объёмы газа в изохорных процессах составляет: VA = VB = 10 л и VC = VD = 22 л; давление в изобарном процессе DA равно PA = PD = 90 кПа. Во всех расчётах используйте универсальную газовую постоянную R = 8,314 Дж/(моль·К). Экспериментально установлено, что работа газа за один цикл составляет Wцикла = 1,80 кДж. 9. Определите коэффициент k. Ответ выразите в кПа/л, округлив до сотых долей. (2 балла) 10. Найдите давление газа в состоянии B. Ответ выразите в кПа, округлив до целого числа. (2 балла) 11. Вычислите количество теплоты, подведённое к газу на участке A → B. Ответ выразите в кДж, округлив до сотых долей. (3 балла) 12. Определите температуру газа в состоянии C. Ответ выразите в К, округлив до целого числа. (3 балла) Ответы: 9) 15,00 кПа/л; 10) 150 кПа; 11) 0,90 кДж; 12) 873 K.

20

Цикл с линейным участком (10 баллов) С одним молем идеального одноатомного газа совершают циклический процесс ABCDA, состоящий из двух изохорных процессов AB и CD, изобарного процесса DA и процесса BC, в котором давление остаётся пропорциональным объёму (P = kV ). В изохорных процессах объёмы равны: VA = VB = 25 л и VC = VD = 40 л. В изобарном процессе DA давление равно PA = PD = 100 кПа. Во всех расчётах используйте универсальную газовую постоянную R = 8,314 Дж/(моль·К). Измеренная работа газа за цикл составляетWцикла = 1,43 кДж. 9. Найдите коэффициент k. Ответ выразите в кПа/л, округлив до сотых долей. (3 балла) 10. Определите давление в состоянии B. Ответ выразите в кПа, округлив до целого числа. (2 балла) 11. Рассчитайте количество теплоты QAB , подведённое на участке A → B. Ответ выразите в кДж, округлив до сотых долей. (3 балла) 12. Найдите КПД цикла. Ответ выразите в %, округлив до десятых долей. (2 балла) Ответы: 9) 6,01 кПа/л; 10) 150 кПа; 11) 1,88 кДж; 12) 10,5 %.

21

Цикл с линейным участком (10 баллов) С одним молем идеального одноатомного газа совершают циклический процесс ABCDA, состоящий из двух изохорных процессов AB и CD, изобарного процесса DA и процесса BC, в котором давление остаётся пропорциональным объёму (P = kV ). В изохорных процессах объёмы равныVA = VB = 10 л и VC = VD = 20 л соответственно; в изобарном процессе DA давление равно 80 кПа; на участке BC давление прямо пропорционально объему, P = kV , где k = 12 кПа/л. Во всех расчётах используйте универсальную газовую постоянную R = 8,314 Дж/(моль·К). 9. Вычислите работу, совершённую над газом на участке D → A. Ответ выразите в кДж, округлив до сотых долей. (2 балла) 10. Определите отношение модуля работы на участке D → A к полной работе за цикл. Ответ выразите в %, округлив до десятых долей. (2 балла) 11. Найдите модуль суммарного количества теплоты, отданного газом на участках C → D → A. Ответ выразите в кДж, округлив до сотых долей. (3 балла) 12. Вычислите отношение максимальной к минимальной температуры газа за цикл. Ответ округлите до сотых долей. (3 балла) Ответы: 9) 0.80 кДж; 10) 80.0 %; 11) 6.80 кДж; 12) 6.00.

22

Типовое решение для сюжета «Цикл с линейным участком» Уникальные вопросы, встречающиеся в задачах 1. Определение количества теплоты (полученное, отданное, на одном или нескольких участках) 2. Определение изменения внутренней энергии 3. Определение температуры в точках цикла (либо отношение) 4. Определение давления или объема газа 5. Определение параметров линейного процесса (коэффициент k) 6. Определение работы на участке цикла или КПД цикла

Описание цикла и обозначения Рассматривается цикл A → B → C → D → A : две изохоры (AB и CD), одна изобара (DA), и линейный участок BC вида P = kV . Обозначим объёмы изохор VA = VB и VC = VD , а давление изобары PA = PD . На участке BC: PB = kVB , PC = kVC .

Формулы для одноатомного газа Для ν = 1 моль: U = 32 RT = 32 P V , а значит ∆U = 32 ∆(P V ). • Изохора (V = const): W = 0,

3 Q = ∆U = ∆(P V ). 2

• Изобара (P = const): W = P ∆V , 5 ∆U + W = P ∆V . 2

23

∆U =

3 P ∆V , 2

Q =

• Линейный процесс P = kV . Работа в процессе равна площади под его графиком, в данном случае это трапеция:
k 2 1 PB + P C 2 WBC == (VC − VB ) = (VC − VB ) = PC VC − PB VB . 2 2 2 Отсюда
3 ∆UBC = PC VC −PB VB , 2

QBC = ∆UBC +WBC = 2 PC VC −PB VB .

Работа за цикл, КПД, количества теплоты PB + P C (VC − VB ) + PA (VA − VD ). 2 (На изохорах AB и CD работа равна нулю.) Поступившая теплота Qподв идёт на участках AB (изохорный нагрев) и BC (рост P V по линейному закону): Wцикла = WBC + WDA =

3 QAB = PB VB − P A VA , 2 КПД: η=

QBC = 2 PC VC − PB VB .

Wцикла × 100%. Qподв

Температуры в вершинах PV Для ν = 1 моль: T = . Значит отношения температур — это R просто отношения P V : Tmax (P V )max = . Tmin (P V )min

24

Решения «обратных» постановок вопросов 1) По работе цикла найти k. Так как PB = kVB , PC = kVC ,
2 W − P (V − V ) k цикла A A D Wцикла = (VC2−VB2)+PA (VA−VD ) ⇒ k = . 2 VC2 − VB2 2) Давления на BC через k: PB = kVB ,

PC = kVC .

25

Квадрат из зарядов (10 баллов) В вакууме в вершинах A, B и C квадрата ABCD со стороной a = 40,0 см расположены три одинаковых точечных заряда q = +3,0 мкКл. Потенциал на бесконечности принят равным нулю. Действием силы тяжести можно пренебречь. Коэффициент в законе Кулона равен k = 9,0 · 109 Н·м2 ⃗ O | в цен13. Найдите модуль напряжённости электрического поля |E тре O квадрата. Ответ выразите в кВ/м, округлив до десятых долей. (3 балла) 14. В центр квадрата помещают точечный заряд q0 = +1,2 мкКл. Определите модуль силы, действующей на этот заряд. Ответ выразите в Н, округлив до сотых долей. (2 балла) 15. Какой заряд qD нужно поместить в вершину D, чтобы потенциал в центре квадрата стал равен φO = 477 кВ? Вклад собственного поля заряда q0 в потенциал не учитывайте. Ответ выразите в мкКл, округлив до сотых долей. (3 балла) 16. Чему будет равна потенциальная энергия UO взаимодействия заряда q0 со всеми зарядами в вершинах квадрата после добавления заряда qD ? Ответ выразите в Дж, округлив до сотых долей. (2 балла) Ответы: 13) 337,5 кВ/м; 14) 0,41 Н; 15) +5,99 мкКл; 16) 0,57 Дж.

26

Квадрат из зарядов (10 баллов) В вакууме в вершинах A, B и C квадрата ABCD со стороной a = 35,0 см расположены три одинаковых точечных заряда q = −2,5 мкКл. Потенциал на бесконечности принят равным нулю. Действием силы тяжести можно пренебречь. Коэффициент в законе Кулона равен k = 9,0 · 109 Н·м2 ⃗ O| в 13. Определите модуль напряжённости электрического поля |E центре O квадрата. Ответ выразите в кВ/м, округлив до десятых долей. (3 балла) 14. В центр квадрата помещают точечный заряд q0 = +1,5 мкКл. Найдите модуль силы, действующей на этот заряд. Ответ выразите в Н, округлив до сотых долей. (3 балла) 15. Какой заряд qD нужно поместить в вершину D, чтобы потенциальная энергия взаимодействия центрального заряда q0 с четырьмя зарядами в вершинах квадрата стала равна нулю? Ответ выразите в мкКл, округлив до сотых долей. (2 балла) 16. Какую минимальную работу нужно будет совершить, чтобы перенести заряд q0 из центра квадрата в середину стороны CD, после добавления заряда qD ? Ответ выразите в Дж, округлив до сотых долей. (2 балла) Ответы: 13) 367,3 кВ/м; 14) 0,55 Н; 15) +7,50 мкКл; 16) 0,21 Дж.

27

Квадрат из зарядов (10 баллов) В вакууме в вершинах A, B и C квадрата ABCD со стороной a = 30,0 см расположены три одинаковых точечных заряда q = +3,0 мкКл. Потенциал на бесконечности принят равным нулю. Действием силы тяжести можно пренебречь. Коэффициент в законе Кулона равен k = 9,0 · 109 Н·м2 ⃗ O| в 13. Определите модуль напряжённости электрического поля |E центре O квадрата. Ответ выразите в кВ/м, округлив до десятых долей. (3 балла) 14. В центр квадрата помещают точечную частицу с массой m0 = 2 г и зарядом q0 = −1,0 мкКл. Какую минимальную работу нужно будет совершить, чтобы перенести частицу на бесконечность? Ответ выразите в Дж, округлив до сотых долей. (3 балла) 15. Каково будет начальное ускорение частицы, находящейся в центре квадрата, если ее отпустить? Ответ выразите в м/с2, округлив до целого числа. (2 балла) 16. Определите модуль напряжённости электрического поля в середине стороны CD. Ответ выразите в кВ/м, округлив до десятых долей. (2 балла) Ответы: 13) 600,0 кВ/м; 14) 0,38 Дж; 15) 300 м/с2; 16) 1274,4 кВ/м.

28

Квадрат из зарядов (10 баллов) В вакууме в вершинах A, B и D квадрата ABCD со стороной a = 50,0 см расположены три одинаковых точечных заряда q = +5,0 мкКл, а в вершине C — неизвестный заряд qC . Потенциал на бесконечности принят равным нулю. Действием силы тяжести можно пренебречь. Коэффициент в законе Кулона равен k = 9,0 · 109 Н·м2 Известно, что модуль напряжённости поля в центре квадрата равен EO = 450 кВ/м, а вектор напряжённости в этой точке направлен к вершине C. 13. Чему равен заряд qC ?. Ответ выразите в мкКл, округлив до сотых долей. (3 балла) 14. Найдите потенциал φO в центре квадрата. Ответ выразите в кВ, округлив до целого числа. (2 балла) 15. В центр квадрата помещают точечный заряд q0 = +2,0 мкКл. Найдите модуль силы, действующей на него. Ответ выразите в Н, округлив до сотых долей. (2 балла) 16. Какую минимальную работу нужно будет совершить, чтобы перенести заряд q0 из центра квадрата на бесконечность? Ответ выразите в Дж, округлив до сотых долей. (3 балла) Ответы: 13) −1,25 мкКл; 14) 350 кВ; 15) 0,90 Н; 16) 0,70 Дж.

29

Квадрат из зарядов (10 баллов) В вершины A, B и C квадрата ABCD со стороной a помещены 3 одинаковых точечных заряда q = +4,0 мкКл. Потенциал на бесконечности принят равным нулю. Действием силы тяжести можно пренебречь. Коэффициент в законе Кулона равен k = 9,0 · 109 Н·м2 Известно, что модуль напряжённости электрического поля в центре квадрата O равен ⃗ O | = 500 кВ/м. |E 13. Определите длину стороны квадрата a. Ответ выразите в сантиметрах, округлив до десятых долей. (3 балла) 14. В центр квадрата помещают точечный заряд q0 = −0,8 мкКл. Найдите модуль силы, действующей на этот заряд. Ответ выразите в Н, округлив до сотых долей. (2 балла) 15. Какой заряд qD нужно поместить в вершину D, чтобы потенциал в центре квадрата стал равен φO = +200 кВ? Вклад собственного поля заряда q0 в потенциал не учитывайте. Ответ выразите в мкКл, округлив до десятых долей. (3 балла) 16. Определите модуль силы, действующей на центральный заряд, после установки qD . Ответ выразите в Н, округлив до десятых долей. (2 балла) Ответы: 13) 37,9 см; 14) 0,40 Н; 15) −6,0 мкКл; 16) 1,0 Н.

30

Типовое решение для сюжета «Квадрат из зарядов» Уникальные вопросы, которые встречаются в данных задачах 1. Напряжённость в центре квадрата EO . 2. Сила на центральный заряд F = |q0| EO и/или его ускорение F . a= m0 3. Потенциал в центре φO и потенциальная энергия U = q0φO . 4. Подбор заряда в четвёртой вершине qD по заданному φO (или условию U = 0). 5. «Обратные» задачи: нахождение неизвестной стороны a по известному EO ; нахождение неизвестного уголового заряда qC по величине и направлению EO . 6. Работа по переносу заряда: на бесконечность, в середину стороны и т. п.

Модель и геометрия Квадрат ABCD со стороной a, центр O. Расстояния: a r=√ 2

a |M C| = |M D| = , 2

(вершина → центр);

|M A| = |M B| =

Используем принцип суперпозиции для напряженности и потенциала электрического поля.

Базовые формулы (точечный заряд) E=

k|q| , r2

φ=

kq , r

F = |q0| E,

31

U = q0 φ,

Amin = |q0| |∆φ|.

Поле и потенциал в центре при трёх одинаковых зарядах Пусть три одинаковых заряда q расположены в соседних вершинах A, B, C (вершина D пустая). Тогда в центре EO =

k|q| 2k|q| = 2 r2 a

(вклад от A и C компенсируется).

⃗ O направлен от занятой одинокой вершины к Направление: вектор E пустой вершине D при q > 0 (и к пустой вершине при q < 0). Потенциал в центре от этих трёх зарядов: √ 2 kq 3kq 3 (3) φO = = . r a

Добавление заряда в четвёртую вершину Если в вершину D добавлен заряд qD , то φO =

k(3q + qD ) , r

⃗O = E ⃗ (от трёх) + E ⃗q , E D

⃗ (от трёх)| = |E

k|q| , r2

k|qD | . r2

⃗q | = |E D По заданному φO находим qD =

φO r − 3q . k

По условию U = q0φO = 0 в центре (собственный вклад q0 не учитывайте), следовательно φO = 0 ⇒ qD = −3q.

Сила, ускорение, энергия в центре F = |q0| EO ,

a=

F , m0

32

U = q 0 φO .

Работа переноса заряда Минимальная работа внешних сил зависит только от разности потенциалов: Amin = |q0| |φ(конечный) − φ(начальный)| . На бесконечность из центра: Amin = |q0| |φO | (так как φ(∞) = 0). В середину стороны CD из центра (для трёх одинаковых зарядов q в вершинах A, B, C и, возможно, заряда qD в вершине D):     q q q qD k 4q √ + 2q + 2qD , φ(M ) = k + + + = |M A| |M B| |M C| |M D| a 5 √ 2k k(3q + qD ) φ(O) = = (3q+qD ), ⇒ Amin = |q0| φ(M ) − φ(O) . r a

«Обратные» задачи ⃗ O | (три одинако1) Нахождение стороны a по известному |E вых заряда q в соседних вершинах): s 2k|q| 2k|q| EO = 2 ⇒ a = . a EO 2) Нахождение неизвестного заряд в углу qC по величине и ⃗ O (в остальных трёх углах одинаковые +q). направлению E Суммарное поле от трёх равных зарядов +q (в A, B, D) в центре равно по модулю k|q| EABD = 2 r и направлено к вершине C. Поле от заряда qC имеет модуль k|qr2C | и направлено от вершины C при qC > 0 и к C при qC < 0. Если ⃗ O направлено к C, то вклады сонаправлены только наблюдаемое E при qC < 0. По модулю получаем (EO − EABD ) r2 |qC | = , k

знак определяем из направления: qC < 0. 33

⃗ O направлено от C, то qC > 0 и |qC | = (EO + EABD ) r . Если E k 3) Потенциал в центре при «трёх одинаковых зарядах + один неизвестный»: φO =

k(3q + qX ) r

(где qX ∈ {qD , qC }).

Поле в середине стороны. Расположение: одинаковые заряды q расположены в вершинах A, B, C, вершина D пустая. Ищем модуль поля в середине стороны CD; обозначим эту точку M . Геометрические параметры: a a√ |M C| = , |M A| = |M B| = 5. 2 2 Вклады по суперпозиции: EC =

4k|q| k|q| = (a/2)2 a2 EA = EB =

(вдоль стороны CD), k|q| 4k|q| = . |M A|2 5a2

Проекции EA и EB : горизонтальные (вдоль CD) взаимно компенсируются, вертикальные складываются и дают 2 16k|q| EAB,⊥ = 2 EA √ = √ . 2 5 5 5a Итоговый модуль: EM =

2 EC2 + EAB,⊥ =

k|q| a2

r 16 +

256 k|q| ≈ 4,248 2 . 125 a

Направление для q > 0: вдоль стороны от C к M плюс внутрь квадрата (перпендикуляр к стороне); для q < 0 — наоборот. Знак q меняет направление, но не модуль.

34

Линза и пластинка (10 баллов) Небольшой протяженный предмет расположен вблизи главной оптической оси тонкой собирающей линзы и перпендикулярен ей. Расстояние от предмета до линзы составляет s = 30,0 см. Фокусное расстояние линзы равно f = 12,0 см. При решении задачи считайте все лучи параксиальными. 17. Найдите расстояние между изображением и линзой. Ответ выразите в сантиметрах, округлив до десятых долей. (2 балла) 18. Найдите поперечное увеличение. Ответ округлите до десятых долей. (2 балла) 19. Вплотную к линзе устанавливают плоскопараллельную стеклянную пластину толщиной b = 3,0 см с показателем преломления n = 1,50, так что пластина находится между линзой и изображением. Поверхности пластины перпендикулярны оптической оси линзы. Найдите расстояние от изображения, полученного в этой оптической системе, до линзы. Ответ выразите в сантиметрах, округлив до сотых долей. (2 балла) 20. В этой конфигурации найдите поперечное увеличение. Ответ округлите до сотых долей. (2 балла) 21. Пластину отодвигают от линзы на расстояние d = 5,0 см, оставляя её на стороне изображения (между линзой и изображением). Найдите новое расстояние между полученным в системе изображением и линзой. Ответ выразите в сантиметрах, округлив до десятых долей. (2 балла) Ответы: 17) 20,0 см; 18) 0,67; 19) 21,0 см; 20) 0,67; 21) 21,0 см.

35

Линза и пластинка (10 баллов) Небольшой протяженный предмет расположен вблизи главной оптической оси тонкой собирающей линзы и перпендикулярен ей. Расстояние от предмета до линзы составляет s = 36,0 см. Фокусное расстояние линзы равно f = 12,0 см. При решении задачи считайте все лучи параксиальными. 17. Найдите расстояние между изображением и линзой. Ответ выразите в сантиметрах, округлив до десятых долей. (2 балла) 18. Найдите поперечное увеличение. Ответ округлите до сотых долей. (2 балла) 19. Сразу перед линзой (со стороны предмета) плотно устанавливают плоскопараллельную стеклянную пластину толщиной b = 4,0 см с показателем преломления n = 1,60. Поверхности пластины перпендикулярны оптической оси линзы. Найдите расстояние между изображением, полученнымм в этой системе, и линзой. Ответ выразите в сантиметрах, округлив до десятых долей. (2 балла) 20. В этой конфигурации найдите поперечное увеличение. Ответ округлите до сотых долей. (2 балла) 21. Пластину оставляют перед линзой, но отодвигают от линзы на расстояние d = 6,0 см (предмет и линза остаются на прежних местах). Найдите новое расстояние между полученным в системе изображением и линзой. Ответ выразите в сантиметрах, округлив до десятых долей. (2 балла) Ответы: 17) 18,0 см; 18) 0,50; 19) 18,4 см; 20) 0,53; 21) 18,4 см.

36

Линза и пластинка (10 баллов) Небольшой протяженный предмет расположен вблизи главной оптической оси тонкой собирающей линзы и перпендикулярен ей. Расстояние от предмета до линзы составляет s = 42,0 см. Фокусное расстояние линзы равно f = 14,0 см. При решении задачи считайте все лучи параксиальными. 17. Найдите расстояние между изображением и линзой. Ответ выразите в сантиметрах, округлив до десятых долей. (2 балла) 18. Найдите поперечное увеличение. Ответ округлите до сотых долей. (2 балла) 19. Сразу перед линзой (со стороны предмета) вплотную устанавливают плоскопараллельную стеклянную пластину толщиной b = 10,5 см. При этом изображение предмета оказывается на расстоянии s′ = 22,0 см от линзы. Поверхности пластины перпендикулярны оптической оси линзы. Определите показатель преломления материала пластины. Ответ дайте в виде десятичной дроби с округлением до сотых долей. (2 балла) 20. В этой конфигурации найдите поперечное увеличение. Ответ округлите до сотых долей. (2 балла) 21. Пластину перемещают на расстояние d = 6,0 см от линзы (предмет и линза остаются на прежних местах). Найдите новое расстояние между полученным в системе изображением и линзой. Ответ выразите в сантиметрах, округлив до десятых долей. (2 балла) Ответы: 17) 21,0 см; 18) 0,50; 19) 1,50; 20) 0,57; 21) 22,0 см.

37

Линза и пластинка (10 баллов) Небольшой протяженный предмет расположен вблизи главной оптической оси тонкой собирающей линзы и перпендикулярен ей. Расстояние от предмета до линзы составляет s = 45,0 см. Фокусное расстояние линзы равно f = 15,0 см. При решении задачи считайте все лучи параксиальными. 17. Найдите расстояние между изображением и линзой. Ответ выразите в сантиметрах, округлив до десятых долей. (2 балла) 18. Найдите поперечное увеличение. Ответ округлите до сотых долей. (2 балла) 19. Сразу за линзой (между линзой и изображением) плотно устанавливают плоскопараллельную стеклянную пластину толщиной b = 3,5 см. Поверхности пластины перпендикулярны оптической оси линзы. При этом изображение, полученное в этих двух оптических элементах, оказалось на расстоянии s′ = 23,5 см от линзы. Рассчитайте показатель преломления пластины. Ответ округлите до сотых долей. (2 балла) 20. В этой конфигурации найдите поперечное увеличение. Ответ округлите до сотых долей. (2 балла) 21. Пластину передвигают на расстояние d = 6,0 см от линзы (предмет и линза остаются на прежних местах). Найдите новое расстояние между полученным в системе изображением и линзой. Ответ выразите в сантиметрах, округлив до десятых долей. (2 балла) Ответы: 17) 22,5 см; 18) 0,50; 19) 1, 40; 20) 0,50 ; 21) 21,5 см.

38

Линза и пластинка (10 баллов) Небольшой протяженный предмет расположен вблизи главной оптической оси тонкой собирающей линзы и перпендикулярен ей. Расстояние от предмета до линзы составляет s = 56,0 см. Фокусное расстояние линзы равно f = 16,0 см. При решении задачи считайте все лучи параксиальными. 17. Найдите расстояние между изображением и линзой. Ответ выразите в сантиметрах, округлив до десятых долей. (2 балла) 18. Найдите поперечное увеличение. Ответ округлите до сотых долей. (2 балла) 19. Сразу за линзой (со стороны изображения) устанавливают плоскопараллельную стеклянную пластину из материала с показателем преломления n = 1,52. Поверхности пластины перпендикулярны оптической оси линзы. Четкое изображение формируется на расстоянии 25,0 см от линзы. Найдите толщину пластины. Ответ выразите в сантиметрах, округлив до десятых долей. (2 балла) 20. Найдите поперечное увеличение в этом случае. Ответ округлите до десятых долей. (2 балла) 21. Пластину перемещают на расстояние d = 6,0 см от линзы (предмет и линза остаются на прежних местах). Найдите новое расстояние между полученным в системе изображением и линзой. Ответ выразите в сантиметрах, округлив до десятых долей. (2 балла) Ответы: 17) 22,4 см; 18) 0,40; 19) 7,6 см; 20) 0,40; 21) 25,0 см.

39

Типовое решение для сюжета «Линза и плоскопараллельная пластинка» Уникальные вопросы, встречающиеся в данных задачах 1. Положение изображения s′ без пластины. 2. Как меняется s′ при установке пластины за линзой (между линзой и изображением). 3. Как меняется s′ при установке пластины перед линзой (со стороны предмета). 4. Поперечное увеличение в любой конфигурации. 5. «Обратные» задачи: найти толщину b по заданному новому s′ или по заданному Γ; найти n по известным b и сдвигу; обеспечить заданное положение изображения на экране и т. п.

Основные формулы для линзы • Формула тонкой линзы: 1 1 1 = + ′. f s s • Поперечное увеличение: s′ Γ= . s

Главный факт о плоскопараллельной пластине При нормальном ходе лучей замена воздушного промежутка толщиной b на стекло с показателем преломления n формирует изображения действительного источника на расстоянии ∆ ближе к пластинке,

40

а изображение мнимого источника — на расстоянии ∆ дальше от пластины, где   1 ∆=b 1− . n При этом пластина не дает увеличения, а лишь двигает объект вдоль оптической оси. Смещение положения пластины относительно линзы не приводит к изменению ее влияния на изображение.

Возможные случаи A. Пластина за линзой (между линзой и изображением). Плоскость изображения сдвигается к линзе на ∆: s′ Γnew = Γ = . s

s′new = s′ + ∆ ,

B. Пластина перед линзой (со стороны предмета). Линза «видит» предмет ближе на ∆: sэфф = s − ∆,

1 1 1 = + ′ =⇒ f sэфф snew

Поперечное увеличение: s′new f Γnew = . = sэфф sэфф − f

41

s′new =

f sэфф . sэфф − f