Олимпиада по физике 9–11 классы — региональный этап ВсОШ 2025/2026: задания и ответы

Задания и решения — теор.

Ìèíèñòåðñòâî ïðîñâåùåíèÿ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè Öåíòðàëüíàÿ ïðåäìåòíî-ìåòîäè÷åñêàÿ êîìèññèÿ Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå

Âñåðîññèéñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå Ðåãèîíàëüíûé ýòàï Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Ìîñêâà, 2026 ã.

Êîìïëåêò çàäà÷ ïîäãîòîâëåí öåíòðàëüíîé ïðåäìåòíî-ìåòîäè÷åñêîé êîìèññèåé Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå E-mail: physolymp@gmail.com

Àâòîðû çàäà÷ Òåîðåòè÷åñêèé òóð 7-9 êëàññ

10-11 êëàññ

. Àëåêñàíäð Åâñåå⠈ . Ãðèãîðèé Ðàñòîðãóåâ, Èâàí Ãóðüÿíîâ . Íèêèòà Áîãîñëîâñêèé ˆ . Àëåêñàíäð Àïîëîíñêèé, . Àëåêñàíäð Åâñååâ Àëåêñàíäð Êèðååâ . Àíòîí Ñîðîêèí ˆ . Íèêîëàé ßíóøêåâè÷ . Àëåêñàíäð Åâñååâ, Ñåðãåé Àሠ. Àëåêñàíäð Àïîëîíñêèé, äðàøèòîâ Èâàí Þäèí ˆ . Îëåã Ïîðîøèí ˆ . Àëåêñåé Çàÿö ˆ . Îëüãà Èíèøåâà ˆ . Èâàí Ãóðüÿíî⠈ . Äåíèñ Ðóáöî⠈ . Íèêîëàé ßíóøêåâè÷ ˆ . Àëåêñàíäð Åðøî⠈ . Äåíèñ Ðóáöî⠈ . Äåíèñ Ðóáöî⠈ . Ãðèãîðèé Ðàñòîðãóå⠈ . Àëåêñàíäð Àïîëîíñêèé, Àëåêˆ . Àëåêñàíäð Âîðîíöîâ ñàíäð Åðøî⠈ . Àëåêñàíäð Àïîëîíñêèé, Àíòîí Âåðãóíî⠈ . Äåíèñ Ðóáöîâ, Àëåêñàíäð Åðøî⠈ 7-T1 ˆ 7-T2 ˆ 7-T3 ˆ 7-T4 ˆ 8-T1

10-T1

10-T2

10-T3 10-T4

8-T2

8-T3

10-T5

8-T4

11-T1

9-T1

11-T2

9-T2

11-T3

9-T3

11-T4 11-T5

9-T4

9-T5

Êàê ãîòîâèòüñÿ ê ðåãèîíàëüíîìó ýòàïó?  ÌÔÒÈ çàïóùåí êëàññíûé ïðîåêò ¾Ôèçòåõ-ðåãèîíàì¿ (https://os.mipt.ru), ãäå â ïóáëè÷íîì áåñïëàòíîì äîñòóïå ëåæàò ëåêöèè è ñåìèíàðû ïî âñåì êëàññàì è ïî âñåì òåìàì. Òàì æå âûëîæåíû ïîäáîðêè çàäà÷ ïî òåìàì. Óðîâåíü ìàòåðèàëîâ ïîçâîëÿåò õîðîøî ïîäãîòîâèòüñÿ ê ìóíèöèïàëüíîìó è ðåãèîíàëüíîìó ýòàïó Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå.  ýòîì ãîäó â ðàìêàõ ðàáîòû ïðîåêòà ñíÿòû âèäåî-ðåøåíèÿ (https://os-lms.mipt.ru/course/view.php?id=21) òåîðåòè÷åñêîãî òóðà ðåãèîíàëüíîãî ýòàïà Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå. Èñïîëüçóéòå ýòè ìàòåðèàëû äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè ê áóäóùèì îëèìïèàäàì.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

7 êëàññ Çàäà÷à 1. Âàñèíà âàííà

Âàñèí äîì, ïî÷òà è øêîëà, â êîòîðîé îí ó÷èòñÿ, íàõîäÿòñÿ íà îäíîé ïðÿìîé óëèöå. Îäíàæäû, âûõîäÿ èç øêîëû, Âàñÿ ïîíÿë, ÷òî óðîêè ñèëüíî óòîìèëè åãî, è åìó î÷åíü õî÷åòñÿ ïðèíÿòü âàííó. Îí ïîçâîíèë äîìîé ìàìå è ïîïðîñèë åå âêëþ÷èòü âîäó, ÷òîáû âàííà íàïîëíèëàñü áûñòðåå. Ìàìà ñðàçó æå îòêðûëà êðàí è óøëà ïî äåëàì. Ê ìîìåíòó Âàñèíîãî ïðèõîäà äîìîé âîñüìàÿ ÷àñòü âàííû áûëà íàïîëíåíà. Ñïóñòÿ 10 ìèí ïîñëå ïðèõîäà äîìîé Âàñÿ âñïîìíèë, ÷òî â øêîëå îñòàëîñü ïèñüìî, êîòîðîå íàäî áûëî ñåãîäíÿ îáÿçàòåëüíî îòíåñòè íà ïî÷òó. Îí òóò æå âûøåë èç äîìà. Ê ìîìåíòó, êîãäà îí äîøåë äî øêîëû, âàííà çàïîëíèëàñü íàïîëîâèíó.  øêîëå Âàñÿ íå çàäåðæèâàëñÿ: áûñòðî çàáðàë ïèñüìî è îòïðàâèëñÿ íà ïî÷òó. Êîãäà æå îí äîáðàëñÿ äî íåå, âàííà çàïîëíèëàñü óæå íà 3/4. Íà ïî÷òå îí òàêæå íå çàäåðæèâàëñÿ è îòïðàâèëñÿ äîìîé. Âåðíóâøèñü, Âàñÿ îáíàðóæèë íà ïîëó âíóøèòåëüíóþ ëóæó. 1. Îïðåäåëèòå îáúåìíûé ðàñõîä âîäû µ, ïîñòóïàþùåé â âàííó èç êðàíà, åñëè îáúåì âàííû V = 400 ë. 2. Ñêîëüêî âîäû óñïåëî âûëèòüñÿ íà ïîë ê ìîìåíòó âîçâðàùåíèÿ Âàñè äîìîé? 3. Âî ñêîëüêî ðàç áûñòðåå íàäî áûëî äâèãàòüñÿ Âàñå ïîñëå âûõîäà èç äîìà, ÷òîáû óñïåòü âåðíóòüñÿ äîìîé òî÷íî ê ìîìåíòó çàïîëíåíèÿ âàííû? Ñ÷èòàéòå, ÷òî Âàñÿ øåë âñåãäà ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ è òîëüêî âäîëü óëèöû. Çàäà÷à 2. Òðåíèðîâêà

Áåãîâàÿ äîðîæêà ñòàäèîíà èìååò âèä îêðóæíîñòè. Âî âðåìÿ òðåíèðîâêè äâà ñïîðòñìåíà áåæàëè ïî íåé â îäíîì íàïðàâëåíèè, êàæäûé ñî ñâîåé ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ. Ñïîðòñìåíû èñïîëüçîâàëè ìàÿ÷êè, êîòîðûå ïåðåäàâàëè èõ êîîðäèíàòû â êîìïüþòåð òðåíåðà. Êîìïüþòåð ðàññ÷èòûâàë ðàññòîÿíèå ìåæäó áåãóíàìè, íî èç-çà íåïðàâèëüíî íàñòðîåííîãî ðåæèìà ðàáîòû âû÷èñëÿë ðàññòîÿíèå ïî ïðÿìîé, à íå âäîëü áåãîâîé äîðîæêè. Íà ãðàôèêå ïîêàçàíà ðàññ÷èòàííàÿ êîìïüþòåðîì çàâèñèìîñòü ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ñïîðòñìåíàìè îò âðåìåíè íà íåêîòîðîì ýòàïå òðåíèðîâêè. Èçâåñòíî, ÷òî ñïîðòñìåíû íà÷àëè è çàêîí÷èëè òðåíèðîâêó îäíîâðåìåííî, è çà âñå âðåìÿ òðåíèðîâêè ïðîáåæàëè äèñòàíöèè S1 = 12 êì è S2 = 9 êì 840 ì ñîîòâåòñòâåííî. Êàêèå ñêîðîñòè áûëè ó ñïîðòñìåíîâ?

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

100 S,

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

t, 200

400

600

800

1000

Çàäà÷à 3. ×åòûðå ïðèñòàíè

×åòûðå íàñåëåííûõ ïóíêòà A, B , C è D ðàñïîëàãàþòòå÷åíèå ñÿ íà áåðåãó îäíîé ðåêè, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå, ïðè÷åì A SAB B SBC C SCD D SAB ðàâíî SBC . Îò ïðèñòàíè B îäíîâðåìåííî îòïðàâëÿþòñÿ ìîòîðíàÿ ëîäêà ê ïðèñòàíè A è êàòåð  ê ïðèñòàíè D. Ñêîðîñòè ìîòîðíîé ëîäêè è êàòåðà îòíîñèòåëüíî âîäû ïîñòîÿííû è ðàâíû v è 2v ñîîòâåòñòâåííî. Ìîòîðíàÿ ëîäêà ïðèáûâàåò â A ñïóñòÿ âðåìÿ τ , ñðàçó æå ðàçâîðà÷èâàåòñÿ è áåç îñòàíîâîê ïëûâåò â D. Åùå ÷åðåç âðåìÿ τ ëîäêà âñòðå÷àåò òî÷íî ó ïðèñòàíè C êàòåð, êîòîðûé, äîïëûâ äî D, òîæå ñðàçó ðàçâåðíóëñÿ è òàê æå áåç îñòàíîâîê îòïðàâèëñÿ â A. 1. Íàéäèòå ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè u. 2. Íàéäèòå ðàññòîÿíèÿ SAB è SCD . 3. Ñïóñòÿ êàêîå âðåìÿ T ïîñëå ñâîåé âñòðå÷è êàòåð è ëîäêà ñíîâà âñòðåòÿòñÿ, åñëè â êîíå÷íûõ ïóíêòàõ ñâîèõ ìàðøðóòîâ îïÿòü íå çàäåðæèâàÿñü ðàçâåðíóòñÿ è îòïðàâÿòñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó?

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Çàäà÷à 4. Ïëàñòèíêà

y Ïëàñòèíà ñîñòîèò èç ÷åòûð¼õ êâàäðàòîâ îäèíàêîâîé òîëùèíû ñî ñòîðîíîé a = 1 ì êàæäûé, ñäåëàííûõ èç ðàçíûõ ìàòåðèàëîâ. Êâàäðàòû îäíîðîäíû, à èõ ïîâåðõíîñòíûå ïëîòíîñòè σ11 σ12 ðàçëè÷íû: 2 ˆ ëåâûé âåðõíèé êâàäðàò: σ11 = 400 ã/ì ; ˆ ïðàâûé âåðõíèé êâàäðàò: σ12 = 240 ã/ì2 ; ˆ ëåâûé íèæíèé êâàäðàò: σ21 = 200 ã/ì2 ; ˆ ïðàâûé íèæíèé êâàäðàò: σ22 = 120 ã/ì2 . σ21 σ22 Ñ ïëàñòèíîé ñâÿçàëè ñèñòåìó êîîðäèíàò Oxy òàê, ÷òî íà÷àëî îòñ÷¼òà ñîâïàäàåò ñ íèæíèì ëåx âûì óãëîì ïëàñòèíêè (cì. ðèñ.). Çàòåì ïëàñòè- 0 íó ðàçðåçàëè ïî äâóì ïåðïåíäèêóëÿðíûì ïðÿìûì, ïàðàëëåëüíûì îñÿì êîîðäèíàò, íà ÷åòûðå ÷àñòè . 1.  êàêîì èç ÷åòûð¼õ êâàäðàòîâ íàõîäèòñÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ëèíèé, ïî êîòîðûì ðàçðåçàëè ïëàñòèíó? Îáîñíóéòå ñâîé îòâåò. 2. Îïðåäåëèòå êîîðäèíàòû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ëèíèé, ïî êîòîðûì ðàçðåçàëè ïëàñòèíó. 3. ×åìó ðàâíû ñðåäíèå ïîâåðõíîñòíûå ïëîòíîñòè êàæäîé èç ÷åòûð¼õ ïîëó÷èâøèõñÿ ÷àñòåé? ðàâíîé ìàññû

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

8 êëàññ Çàäà÷à 1. Èç ãîðîäà â äåðåâíþ

Ýêñïåðèìåíòàòîð Áàã åõàë èç ãîðîäà â äåðåâíþ íà àâòîìîáèëå t = 10 ÷. Åãî ïóòü ñîñòîÿë èç òðåõ ó÷àñòêîâ, íà êîòîðûõ îí äâèãàëñÿ ñ ïîñòîÿííûìè ñêîðîñòÿìè. Ïåðâóþ ÷àñòü ïóòè îí åõàë ñî ñêîðîñòüþ ðàâíîé ñðåäíåé ñêîðîñòè íà âñåì ïóòè. Íà âòîðîì è òðåòüåì ó÷àñòêàõ ñêîðîñòè îòëè÷àëèñü â 2 ðàçà. Òàêæå Áàã ñîâåðøåííî òî÷íî ïîìíèë, ÷òî çà âðåìÿ ïóòè îí äâàæäû (êðàòêîâðåìåííî) ðàçãîâàðèâàë ïî òåëåôîíó ñ òåîðåòèêîì Ãëþêîì, ïðè÷åì ýòè çâîíêè ñîâåðøåííî òî÷íî áûëè íà ðàçíûõ ó÷àñòêàõ ïóòè è íå â ìîìåíò èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè.  ïåðâûé ðàç Ãëþê ïîçâîíèë åìó ÷åðåç t1 = 6,5 ÷ ïîñëå âûåçäà èç ãîðîäà, êîãäà äî äåðåâíè îñòàâàëîñü åõàòü S1 = 250 êì, à âî âòîðîé  ÷åðåç t2 = 9 ÷, êîãäà îí îòúåõàë îò ãîðîäà íà S2 = 500 êì. Ýêñïåðèìåíòàòîð ïîñ÷èòàë ñðåäíþþ ñêîðîñòü íà îòðåçêå ìåæäó äâóìÿ çâîíêàìè Ãëþêà, è îêàçàëîñü, ÷òî îíà ðàâíà ñêîðîñòè íà ïåðâîì ó÷àñòêå! Èñïîëüçóÿ äàííûå èç óñëîâèÿ, îïðåäåëèòå: 1. Ðàññòîÿíèå s, êîòîðîå ïðîåõàë Áàã ìåæäó çâîíêàìè. 2. Ñêîðîñòè äâèæåíèÿ Áàãà v1 , v2 è v3 íà ïåðâîì, âòîðîì è òðåòüåì ó÷àñòêàõ, ñîîòâåòñòâåííî. 3. Ïðîòÿæåííîñòè l1 , l2 è l3 â êèëîìåòðàõ ïåðâîãî, âòîðîãî è òðåòüåãî ó÷àñòêîâ, ñîîòâåòñòâåííî. Çàäà÷à 2. Ñîñóä ñ òðóáîé

Ê öèëèíäðè÷åñêîìó ñîñóäó ñ âåðòèêàëüíûìè ñòåíêàìè, ïëîùàäü äíà êîòîðîãî ðàâíà S1 , ñáîêó ïðèêðåïëåíà ãîðèçîíòàëüíàÿ òðóáêà êðóãëîãî ñå÷åíèÿ (ñì. ðèñ.). Ïî òðóáêå áåç òðåíèÿ ìîæåò ñêîëüçèòü ïîðøåíü, êîòîðûé ïðè ïîìîùè íèòè, ïåðåêèíóòîé ÷åðåç ìàëåíüêèé íåïîäâèæíûé áëîê, ñâÿçàí ñ ïîïëàâêîì. Ó÷àñòîê íèòè îò ïîïëàâêà äî áëîêà âåðòèêàëåí, à îò áëîêà äî ïîðøíÿ - ãîðèçîíòàëåí. Åñëè â ýòîò ñîñóä ìåäëåííî íàëèòü îäíîðîäíóþ æèäêîñòü ïëîòíîñòüþ ρ, òî ñèñòåìà îêàæåòñÿ â ðàâíîâåñèè â òîò ìîìåíò, êîãäà ïîïëàâîê áóäåò ïîãðóæ¼í â æèäêîñòü íà ãëóáèíó h, à ðàññòîÿíèå îò öåíòðàëüíîé îñè ïîðøíÿ äî ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè áóäåò ðàâíî H . Ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ïîïëàâêà S , ïðè÷¼ì S > S2 . Òðóáêà îòêðûòà â àòìîñôåðó, ïîðøåíü çà ïðåäåëû òðóáêè íå âûõîäèò. Ìàññû íèòè, ïîðøíÿ è áëîêà ïðåíåáðåæèìî ìàëû, íèòü íåðàñòÿæèìà, òðåíèå â áëîêå îòñóòñòâóåò. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ðàâíî g. 1. ×åìó ðàâíà ìàññà ïîïëàâêà? 2. Íà ïîïëàâîê ìåäëåííî ïîëîæèëè òåëî ìàññîé ∆m, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîðøåíü ñìåñòèëñÿ è çàíÿë íîâîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ. Íà êàêîå ðàññòîÿíèå è â êàêóþ ñòîðîíó ïåðåìåñòèëñÿ ïîðøåíü?

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

S1 h

S2 Çàäà÷à 3. Ñòîë è âàçà

 ãîñòèíîé ñòîèò æóðíàëüíûé ñòîëèê (íà ðèñóíêàõ ïðåäñòàâëåí âèä ñòîëà ñáîêó (ëåâûé ðèñóíîê) è ñâåðõó (ïðàâûé ðèñóíîê)), ñòîëåøíèöà êîòîðîãî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîðîäíûé äèñê ðàäèóñà 2a. Ìàññà ñòîëåøíèöû M . ×åòûðå îäèíàêîâûå âåðòèêàëüíûå íîæêè, ìàññà êîòîðûõ ïðåíåáðåæèìî ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ ìàññîé ñòîëåøíèöû, êðåïÿòñÿ ê ñòîëåøíèöå â âåðøèíàõ êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé 2a. Öåíòð êâàäðàòà, â âåðøèíàõ êîòîðîãî êðåïÿòñÿ íîæêè, ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ñòîëåøíèöû. Âîñüìèêëàññíèê ñëó÷àéíî ñëîìàë îäíó íîæêó ó æóðíàëüíîãî ñòîëèêà, åìó óäàëîñü ïðèäåëàòü å¼ îáðàòíî, íî ïðè ëþáîé íàãðóçêå íà íå¼, îíà ñíîâà îòëàìûâàåòñÿ îò ñòîëåøíèöû. Ïðèøåäøàÿ äîìîé ìàìà ïðèíåñëà áîëüøîé áóêåò è ïîïðîñèëà åãî ïîñòàâèòü âàçó ñ áóêåòîì íà ýòîò ñòîë. Ìàññà âàçû ñ áóêåòîì ðàâíà m = 5M .

1. Ñóùåñòâóþò ëè òî÷êè íà ñòîëåøíèöå, â êîòîðûõ ìîæíî ðàçìåñòèòü öåíòð îñíîâàíèÿ âàçû ñ áóêåòîì òàê, ÷òîáû ñòîëåøíèöà áûëà ãîðèçîíòàëüíà? 2. Åñëè äà, òî óêàæèòå, âñå âîçìîæíûå èõ ïîëîæåíèÿ.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Çàäà÷à 4. Ïîòåðÿííûé ãðàôèê

Ýêñïåðèìåíòàòîð Ãëþê ðåøèë âûïèòü ÷àé. Îí íàëèë âîäó êîìíàòíîé òåìïåðàòóðû t0 = 20 ◦ C èç ãðàôèíà â ÷àéíèê è ïîñòàâèë åãî íà ãàçîâóþ ïëèòó ïîñòîÿííîé ìîùíîñòè. Íàáëþäàÿ çà òåì, êàê èçìåíÿåòñÿ òåìïåðàòóðà âîäû ñî âðåìåíåì, îí ñòðîèë ñîîòâåòñòâóþùèé ãðàôèê. ×åðåç ∆τ = 1 ìèí ïîñëå âêëþ÷åíèÿ ïëèòû Ãëþê ïîíÿë, ÷òî âîäû â ÷àéíèêå ìàëî, è ñðàçó íà÷àë äîëèâàòü â íåãî èç ãðàôèíà åùå Väîë = 0,5 ë âîäû, íå ñíèìàÿ ÷àéíèê ñ ïëèòû. Ïîêà îí ìåäëåííî äîëèâàë ýòó ïîðöèþ âîäû, îí âèäåë, ÷òî òåìïåðàòóðà âîäû îñòàâàëàñü ïîñòîÿííîé è ðàâíîé t1 = 60 ◦ C. Ïîñëå çàêèïàíèÿ ÷àéíèêà îí ñëó÷àéíî îïàëèë îãíåì êðàÿ ïîëó÷èâøåãîñÿ ãðàôèêà (ñì. ðèñ.) çàâèñèìîñòè òåìïåðàòóðû âîäû t îò âðåìåíè τ . Òåïëîâûõ ïîòåðü íåò. Òåïëîåìêîñòüþ ÷àéíèêà è èñïàðåíèåì âîäû ïðåíåáðå÷ü. Óäåëüíàÿ òåïëî¼ìêîñòü âîäû ðàâíà c = 4200 Äæ/(êã · ◦ C), ïëîòíîñòü âîäû ρ = 1000 êã/ì3 .

1. Ïåðå÷åðòèòå ÷àñòü ãðàôèêà ê ñåáå â ðåøåíèå è âîññòàíîâèòå åãî ïîëíóþ âåðñèþ, ñ÷èòàÿ, ÷òî âêëþ÷åíèå ïëèòû ñîîòâåòñòâîâàëî âðåìåíè τ0 = 0. 2. Êàêîé èçíà÷àëüíûé îáúåì âîäû V0 Ãëþê íàëèë â ÷àéíèê? 3.  êàêîé ìîìåíò âðåìåíè ÷àéíèê íà÷àë êèïåòü? 4. Êàêîâà áûëà ìîùíîñòü ïëèòû P ?

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

9 êëàññ Çàäà÷à 1. Èãðà â øàéáó

 âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè ðàñïîëîæåíà ïðÿìîóãîëüíàÿ ðàìêà ñ æ¼ñòêèìè ñòåíêàìè. Òî÷êè A è B íàõîäÿòñÿ âíóòðè ðàìêè òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå: âñå ðàññòîÿíèÿ äî ñòåíîê, à òàêæå âçàèìíîå A ðàñïîëîæåíèå òî÷åê ñëåäóåò ïðèíèìàòü B ñîãëàñíî ìàñøòàáó ðèñóíêà. Ïåðåä íà÷à⃗g ëîì îïûòà âñþ êîíñòðóêöèþ (ðàìêó âìåñòå ñ òî÷êàìè A è B ) ìîæíî ïîâåðíóòü â ïðåäåëàõ îäíîé âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Ïîñëå ïîâîðîòà ðàìêè ìàëåíüêóþ ãëàäêóþ øàéáó ïîìåùàþò â òî÷êó A è îòïóñêàþò áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè. Íàéäèòå âñå âîçìîæíûå îðèåíòàöèè ðàìêè, ïðè êîòîðûõ øàéáà ïîñëå îäíîãî óäàðà ïîïàä¼ò èç òî÷êè A â òî÷êó B , è äëÿ êàæäîé èç íèõ îïðåäåëèòå óãîë ìåæäó îòðåçêîì AB è óñêîðåíèåì ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ. Îòðàæåíèå øàéáû îò ñòåíîê ðàìêè ñ÷èòàéòå àáñîëþòíî óïðóãèì: óãîë ïàäåíèÿ ðàâåí óãëó îòðàæåíèÿ, ñêîðîñòü íå èçìåíÿåòñÿ ïî ìîäóëþ. Çàäà÷à 2. Íåëèíåéíàÿ ëåíòà

Íà ðèñóíêå 1 èçîáðàæåíà ñèñòåìà, ëåíòà k1 = k ñîñòîÿùàÿ èç äâóõ ïðóæèí è óïðóãîé ëåíòû. Îáå ïðóæèíû ñ êîýôôèöèåíòîì F æ¼ñòêîñòè k = 100 Í/ì ïîä÷èíÿþòñÿ çàêîíó Ãóêà. Ãðàôèê çàâèñèìîñòè ñèëû k2 = k óïðóãîñòè îò óäëèíåíèÿ ëåíòû èçîáðàæ¼í íà ðèñóíêå 2.  íåäåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè îáùàÿ äëèíà ïåðâîé ïðóæèíû è ëåíòû ðàâíà äëèíå âòîðîé ïðóæèíû. Ê ïëàíêå íà ïðàâîì êîíöå ñèñòåìû ïðèêëàäûâàþò âíåøíþþ ñèëó F òàê, ÷òîáû ïëàíêà ïîñòîÿííî îñòàâàëàñü ïàðàëëåëüíîé ñòåíå. 1. Íàéäèòå óäëèíåíèÿ ïðóæèí ∆x1 , ∆x2 è óïðóãîé ëåíòû ∆x äëÿ äâóõ çíà÷åíèé âíåøíåé ñèëû: F = 1,0 Í è F = 20 Í. 2. Ñ êàêîé ìàêñèìàëüíîé âíåøíåé ñèëîé Fmax ìîæíî ðàñòÿãèâàòü ñèñòåìó, åñëè ëåíòà ðâ¼òñÿ ïðè óäëèíåíèè ∆xmax = 25 ñì? Ðèñ. 1

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Fó

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

,Í

15

10

5 ∆x

10

15

20

, ñì

25

Ðèñ. 2

Çàäà÷à 3. Òÿíåì-ïîòÿíåì

Ãëàäêèé òîíêèé ñòåðæåíü ñîãíóò ïîä ïðÿìûì óãëîì è çàôèêñèðîâàí â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè. Ïî îäíîé åãî ñòîðîíå ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ íåáîëüøàÿ âòóëêà ìàññîé m, ïî äðóãîé  ë¼ãêîå ìàëåíüêîå êîëå÷êî. Ê âåðøèíå ïðÿìîãî óãëà ïðèêðåïë¼í îäèí êîíåö íåâåñîìîé íåðàñòÿæèìîé íèòè äëèíîé l. Íèòü ïðîäåòà ÷åðåç êîëüöî, è äðóãîé êîíåö íèòè ïðèâÿçàí ê âòóëêå. α  ýòî óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì îò êîëüöà ê âåðøèíå ïðÿìîãî óãëà è íàïðàâëåíèåì îò êîëüöà ê âòóëêå (ñì. ðèñóíîê). Êîëå÷êî ïåðåìåùàþò èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v. Òðåíèå îòñóòñòâóåò.  ïðîöåññå âñåãî äâèæåíèÿ íèòü íàòÿíóòà. v α

1. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü äâèæåíèÿ âòóëêè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà êîëå÷êî äâèæåòñÿ âáëèçè âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà. 2. Êàê çàâèñèò ñêîðîñòü äâèæåíèÿ âòóëêè îò óãëà α?

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

3. ×òîáû êîëå÷êî äâèãàëîñü ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v, ê íåìó ïðèêëàäûâàþò ñèëó F , íàïðàâëåííóþ âäîëü ñòåðæíÿ. Êàê çàâèñèò ñèëà F îò óãëà α? Çàäà÷à 4. Íàãðåâ æèäêîñòè

Äâà âåðòèêàëüíûõ öèëèíäðè÷åñêèõ ñîñóäà ñîåäèíåíû âíèçó òîíêîé òðóáêîé, îáåñïå÷èâàþùåé ñâîáîäíîå ïåðåòåêàíèå æèäêîñòè. Ïëîùàäè ⃗g ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé ñîñóäîâ ðàâíû 4S è S (ñì. 4S S ðèñóíîê). Ñîñóä áîëüøåãî ñå÷åíèÿ èìååò âûñîòó H è ñâåðõó ãåðìåòè÷íî çàêðûò ãîðèçîíòàëüíîé æ¼ñòêîé êðûøêîé, ñîñóä ìåíüøåãî ñå÷åíèÿ çíà÷èòåëüíî âûøå è îòêðûò ñâåðõó. Ñíàðóæè h âàêóóì. Ñîñóäû çàïîëíÿþò ýêñïåðèìåíòàëüíîé H æèäêîñòüþ äî âûñîòû h = 0,95H ïðè òåìïåðàòóðå t0 . Èçâåñòíî, ÷òî ïðè èçìåíåíèè òåìïåðàòóðû ýòîé æèäêîñòè â èíòåðâàëå îò t0 äî 2t0 , å¼ ïëîòíîñòü ëèíåéíî óìåíüøàåòñÿ ñ òåìïåðàòóðîé îò çíà÷åíèÿ ρ0 äî çíà÷åíèÿ 0,5ρ0 . Òåìïåðàòóðó æèäêîñòè â ñîñóäå áîëüøåãî ñå÷åíèÿ ìåäëåííî ïîâûøàþò îò t0 äî 2t0 . Ïîñëå íàãðåâà è óñòàíîâëåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â ñèñòåìå íàéäèòå: 1. äàâëåíèå æèäêîñòè íà äíå ñîñóäîâ; 2. äàâëåíèå æèäêîñòè íà êðûøêó â ñîñóäå áîëüøåãî ñå÷åíèÿ; 3. òåìïåðàòóðó æèäêîñòè â ñîñóäå ìåíüøåãî ñå÷åíèÿ. Äàâëåíèåì íàñûùåííûõ ïàðîâ æèäêîñòè, òåïëî¼ìêîñòüþ ñîñóäîâ, à òàêæå òåïëîîáìåíîì ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé è ÷åðåç òðóáêó, ñîåäèíÿþùóþ ñîñóäû, ïðåíåáðå÷ü. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ðàâíî g. Óäåëüíóþ òåïëî¼ìêîñòü æèäêîñòè ñ÷èòàéòå ïîñòîÿííîé. Çàäà÷à 5. Çâåçäà è òðåóãîëüíèê

Ôðàãìåíò ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñîñòîèò èç øåñòè ðåçèñòîðîâ, ñîåäèí¼ííûõ òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Èç óçëà A âñåãäà âûòåêàåò òîê ïîñòîÿííîé ñèëû I0 . Èç óçëà B âûòåêàåò òîê ñèëîé I , êîòîðóþ ìîæíî ðåãóëèðîâàòü êàê ïî ìîäóëþ, òàê è ïî íàïðàâëåíèþ (ïðè I > 0 åãî íàïðàâëåíèå ñîâïàäàåò ñ èçîáðàæ¼ííûì). Ýòó ñèëó òîêà áóäåì íàçûâàòü ðåãóëèðóåìîé. Âòåêàþùèé â òðåòèé óçåë C òîê îïðåäåëÿåòñÿ èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà.

I0

2R 2R

R O

2R C

2R

4R

I B

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

1. Îïðåäåëèòå èçìåíåíèå ñèëû òîêà ∆Iâåðõ ÷åðåç ðåçèñòîð 2R ìåæäó óçëàìè è O, åñëè ðåãóëèðóåìûé òîê óâåëè÷èòü íà ∆I . Îòâåò âûðàçèòå ÷åðåç ∆I . 2. Îïðåäåëèòå èçìåíåíèå ñèëû òîêà ∆Iíèæí ÷åðåç ðåçèñòîð 2R ìåæäó óçëàìè B è C , åñëè ðåãóëèðóåìûé òîê óâåëè÷èòü íà ∆I . Îòâåò âûðàçèòå ÷åðåç ∆I . 3. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè ðåãóëèðóåìîé ñèëû òîêà I ′ > 0 òîê â îäíîì èç ðåçèñòîðîâ ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì íóëþ? Óêàæèòå ýòîò ðåçèñòîð. Îòâåò âûðàçèòå ÷åðåç I0 . 4. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè ðåãóëèðóåìîé ñèëû òîêà I ∗ ñóììàðíàÿ òåïëîâàÿ ìîùíîñòü, âûäåëÿþùàÿñÿ íà ðåçèñòîðàõ, áóäåò ìèíèìàëüíà? ×åìó ðàâíà ýòà ìèíèìàëüíàÿ ìîùíîñòü Pmin ? Îòâåòû âûðàçèòå ÷åðåç I0 è R.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

10 êëàññ Çàäà÷à 1. Îïÿòü 45?

 ôàíòàñòè÷åñêèõ ôèëüìàõ èíîãäà ïîêàçûâàþò, êàê ÍËÎ çàõâàòûâàåò òåëà íà çåìëå ñ ïîìîùüþ ¾ïðèòÿãèâàþùåãî ëó÷à¿ (àíãë. ¾tractor beam¿). Ïðåäïîëîæèì, îí óñòðîåí òàêèì îáðàçîì, ÷òî â íåáîëüøîé âåðòèêàëüíîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà íà ëþáîå ïðîèçâîëüíîå òåëî ìàññîé m ñî ñòîðîíû íåãî äåéñòâóåò ñèëà F⃗tb = −2m⃗g , íàïðàâëåííàÿ ïðîòèâîïîëîæíî ñèëå òÿæåñòè è âäâîå ïðåâîñõîäÿùàÿ å¼ ïî ìîäóëþ (ñèëà òÿæåñòè äåéñòâîâàòü, êîíå÷íî, íå ïåðåñòà¼ò). Ýêñïåðèìåíòàòîðó Ãëþêó ïðèñíèëîñü, ÷òî îí îêàçàëñÿ íà ðàññòîÿíèè l îò òàêîé îáëàñòè, øèðèíà êîòîðîé òîæå l (ñì. ðèñóíîê).

1. Ñ êàêîé ìèíèìàëüíîé ñêîðîñòüþ vm1 Ãëþê äîëæåí áðîñèòü êàìåíü ñ ïîâåðõíîñòè çåìëè, ÷òîáû îí äîñòèã ïðèòÿãèâàþùåãî ëó÷à? 2. Ñ êàêîé ìèíèìàëüíîé ñêîðîñòüþ vm2 Ãëþê äîëæåí áðîñèòü êàìåíü, ÷òîáû îí ïðîëåòåë îáëàñòü, îãðàíè÷åííóþ ëó÷îì, íàñêâîçü? 3. Êàêîâà ìàêñèìàëüíàÿ äàëüíîñòü áðîñêà Lm2 , åñëè íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü êàìíÿ ðàâíà v0 (v0 ⩾ vm2 )? 4. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíóþ äàëüíîñòü áðîñêà Lm3 â ñëó÷àå v0 = vm2 . Ñ÷èòàéòå, ÷òî êàìåíü íå îòñêàêèâàåò îò çåìëè, à ÍËÎ íàõîäèòñÿ òàê âûñîêî, ÷òî êàìåíü íè ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ íå ìîæåò â íåãî ïîïàñòü. Ïîâåðõíîñòü çåìëè ãîðèçîíòàëüíà. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Çàäà÷à 2. Ðàñêðóòêà òðåíèåì

Äâà îäèíàêîâûõ äèñêà ñ ðàäèóñàìè R íàñàæåíû íà ïàðàëëåëüíûå âåðòèêàëüíûå îñè, íà êîòîðûõ îíè ìîãóò âðàùàòüñÿ áåç òðåíèÿ. Ðàññòîÿíèå ìåæäó îñÿìè ÷óòü áîëüøå 2R, òàê ÷òî ìåæäó áîêîâûìè ïîâåðõíîñòÿìè äèñêîâ îñòà¼òñÿ íåáîëüøîé çàçîð. Âåðõíèå îñíîâàíèÿ äèñêîâ ëåæàò â îäíîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè. Öèëèíäðè÷åñêèé âàëèê ðàäèóñà r, äëèíû 2R ìîæåò ñâîáîäíî âðàùàòüñÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïëîñêîñòü êîòîðîé ëåæèò â îäíîé ïëîñêîñòè ñ îñÿìè äèñêîâ. Ñàì âàëèê ðàñïîëàãàåòñÿ ìåæäó îñÿìè äèñêîâ è ïðèæèìàåòñÿ ê âåðõíèì îñíîâàíèÿì äèñêîâ ñ îäèíàêîâûìè ñèëàìè. Ëèíèÿ êàñàíèÿ âàëèêà è äèñêîâ ñîâïàäàåò ñ ðàäèóñàìè äèñêîâ. Îäèí èç äèñêîâ âðàùàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ýëåêòðîäâèãàòåëÿ ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω0 è ïðèâîäèò âî âðàùåíèå èç-çà òðåíèÿ ìåæäó ñîïðèêàñàþùèìèñÿ ïîâåðõíîñòÿìè âàëèê, êîòîðûé â ñâîþ î÷åðåäü ðàñêðó÷èâàåò âòîðîé äèñê. ω0

ωx

1. Îïðåäåëèòå óñòàíîâèâøóþñÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ωx âòîðîãî äèñêà. Ïðè âðàùåíèè òâ¼ðäîãî òåëà ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ñóììà ìîìåíòîâ âíåøíèõ ñèë îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ ðàâíà íóëþ. Ïðèìå÷àíèå.

Çàäà÷à 3. Êëåéêàÿ ëåíòà

Äëèííàÿ êëåéêàÿ ëåíòà øèðèíîé d = 2 ñì ïðèêëååíà ê ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ñòîëà. Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû îòîðâàòü åäèíèöó ïëîùàäè òàêîé ëåíòû îò ñòîëà, íóæíî ñîâåðøèòü ðàáîòó σ = 10 Äæ/ì2 (ñ÷èòàéòå, ÷òî ýòà âåëè÷èíà íå çàâèñèò îò óãëà, ïîä êîòîðûì òÿíóò ëåíòó). Ëåíòà ÿâëÿåòñÿ íåâåñîìîé è íåðàñòÿæèìîé. 1. Ïîä êàêèì óãëîì ê ãîðèçîíòó è â êàêîì íàïðàâëåíèè ñëåäóåò òÿíóòü çà êîíåö ëåíòû, ÷òîáû ñèëà, ïðè êîòîðîé ëåíòà íà÷í¼ò îòðûâàòüñÿ îò ñòîëà, áûëà ìèíèìàëüíîé? 2. Îäèí èç êîíöîâ ëåíòû ÷àñòè÷íî îòîðâàëè îò ñòîëà è ïðèêðåïèëè ê íåìó íåâåñîìóþ íèòü, ïåðåáðîøåííóþ ÷åðåç ìàëåíüêèé (ïî ñðàâíåíèþ c äëèíàìè íèòè

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

è ëåíòû) íåâåñîìûé áëîê, ðàñïîëîæåííûé íà âûñîòå H = 1 ì, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Ïðè ýòîì óãîë ìåæäó íèòüþ è ãîðèçîíòîì ñîñòàâèë α1 = 45◦ . Ê äðóãîìó êîíöó íèòè ïðèêðåïèëè ãðóç. Ïðè êàêîé ìàêñèìàëüíîé ìàññå ãðóçà m ñèñòåìà áóäåò ïîêîèòüñÿ?

⃗g

Ëåíòà Ñòîë

α m

3. Ê ïåðâîìó ãðóçó ñ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîé ìàññîé m èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà ïðèêðåïèëè âòîðîé ñ íåèçâåñòíîé ìàññîé M è îòïóñòèëè áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè. Ëåíòà ñòàëà îòðûâàòüñÿ, è ñèñòåìà ïðèøëà â äâèæåíèå. Ñïóñòÿ íåêîòîðûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ãðóçû îñòàíîâèëèñü, à íàêëîííûé ó÷àñòîê ëåíòû îêàçàëñÿ ïîä óãëîì α2 = 30◦ ê ãîðèçîíòó. Íàéäèòå ìàññó âòîðîãî ãðóçà M , ðàññòîÿíèå ∆h, íà êîòîðîå â ðåçóëüòàòå ñìåñòèëèñü ãðóçû, à òàêæå ìîäóëè óñêîðåíèé ãðóçîâ â ìîìåíò íà÷àëà äâèæåíèÿ a1 è â ìîìåíò îñòàíîâêè a2 . Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ïðèìèòå ðàâíûì g = 10 ì/ñ2 . Çàäà÷à 4. Òðóáêà ñî ðòóòüþ

 U-îáðàçíóþ òðóáêó, ðàñïîëîæåííóþ âåðòèêàëüíî îòêðûòûìè êîíöàìè ââåðõ, çàëèëè ðòóòü, ïîñëå ÷åãî êîíöû òðóáêè çàïàÿëè. Ðàäèóñ çàêðóãëåíèÿ âíèçó òðóáêè è âíóòðåííèé äèàìåòð òðóáêè ìíîãî ìåíüøå äëèíû ïðÿìûõ ó÷àñòêîâ. Äëèíà ñòîëáèêîâ âîçäóõà â èñõîäíîì ïîëîæåíèè ñîñòàâëÿëà l = 625 ìì, äëèíà ñòîëáèêîâ ðòóòè ñïðàâà è ñëåâà îò ìåñòà èçãèáà òðóáêè ðàâíÿëàñü l2 = l/4 (ñì. ðèñóíîê). Òðóáêó ïîâåðíóëè âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè íà 180◦ . ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ðòóòü çàíÿëà óñòîé÷èâîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ.

l 4

Ïåðåâîðîò ⃗g

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

1. Íà êàêîå ðàññòîÿíèå h0 ñìåñòÿòñÿ êîíöû ñòîëáèêà ðòóòè ïîñëå ïåðåâîðîòà, åñëè â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè òåìïåðàòóðà íå èçìåíèòñÿ è áóäåò ðàâíà T0 ? 2. Íà êàêîå ðàññòîÿíèå h1 ñìåñòÿòñÿ êîíöû ñòîëáèêà ðòóòè, åñëè òåìïåðàòóðó ðòóòè è âîçäóõà â òðóáêå óìåíüøèòü äî T1 = 0,8T0 ? 3. Íà êàêîå ðàññòîÿíèå h2 ñìåñòÿòñÿ êîíöû ñòîëáèêà ðòóòè, åñëè òåìïåðàòóðó ðòóòè è âîçäóõà â òðóáêå óìåíüøèòü äî T2 = 0,7T0 ? 4. Äîêàæèòå óñòîé÷èâîñòü ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, íàéäåííîãî â ï.3. Êàïèëëÿðíûìè ýôôåêòàìè è êîëåáàíèÿìè ñòîëáèêà ðòóòè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ðàâíî g. Àòìîñôåðíîå äàâëåíèå âî âðåìÿ ýêñïåðèìåíòà PÀ = 750 ìì.ðò.ñò. Çàäà÷à 5. Òåðìèñòîð

Äëÿ èçìåðåíèÿ òåìïåðàòóðû èñïîëüçóåòñÿ òåðìèñòîð  ýëåìåíò, ïðîâîäèìîñòü G êîòîðîãî ñèëüíî çàâèñèò îò åãî òåìïåðàòóðû. Íà ãðàôèêå ýòîé çàâèñèìîñòè, ïðåäñòàâëåííîì íà îòäåëüíîì ëèñòå, G25  ïðîâîäèìîñòü òåðìèñòîðà ïðè 25 ◦ C. Òåðìèñòîð ïîäêëþ÷àåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ê èñòî÷íèêó ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ è àìïåðìåòðó, ïîêàçàíèÿ êîòîðîãî âñòðîåííûé êîìïüþòåð ïåðåâîäèò â ÷èñëîâîå çíà÷åíèå òåìïåðàòóðû, âûâîäèìîå íà ýêðàí. Èçâåñòíî, ÷òî ïðè íîìèíàëüíîì íàïðÿæåíèè èñòî÷íèêà ýêðàí ïîêàçûâàåò çíà÷åíèå . Ýêñïåðèìåíòàòîð Ãëþê ðåøèë ïîýêñïåðèìåíòèðîâàòü ñ ýòèì ïðèáîðîì â ñîáñòâåííîé ëàáîðàòîðèè. Îêàçàëîñü, ÷òî ïðè ðåàëüíîì çíà÷åíèè òåìïåðàòóðû âîçäóõà 27 ◦ C è ïîäàííîì íà òåðìèñòîð íîìèíàëüíîì íàïðÿæåíèè ýêðàí ïîêàçûâàåò 29 ◦ C. Ïðè îòâåòå íà âîïðîñû 1 è 2 ñ÷èòàéòå, ÷òî íàïðÿæåíèå íà òåðìèñòîðå ðàâíî íîìèíàëüíîìó. 1. Ïðè êàêîé òåìïåðàòóðå âîçäóõà t1 ýêðàí ïðèáîðà ïîêàçàë áû çíà÷åíèå, ïðåâûøàþùåå t1 íà 1 ◦ C ? 2. Êàêîå çíà÷åíèå ïîêàçàë áû ýêðàí ïðèáîðà ïðè òåìïåðàòóðå âîçäóõà 38,5 ◦ C ? 3. Ïðîäîëæàÿ ýêñïåðèìåíòû, Ãëþê óâåëè÷èë íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà, ñäåëàâ åãî âäâîå áîëüøå íîìèíàëüíîãî. Êàêîå çíà÷åíèå òåìïåðàòóðû ïîêàæåò ýêðàí â ýòîì ñëó÷àå, åñëè Ãëþê íå ìåíÿë íàñòðîéêè êîìïüþòåðà, à òåìïåðàòóðà âîçäóõà â ëàáîðàòîðèè ðàâíà 24 ◦ C ? Àìïåðìåòð ìîæíî ñ÷èòàòü èäåàëüíûì. Ìîùíîñòü òåïëîâûõ ïîòåðü ïðîïîðöèîíàëüíà ðàçíîñòè òåìïåðàòóð òåëà è îêðóæàþùåé ñðåäû. Òåðìèñòîð âî âñåõ ýêñïåðèìåíòàõ íàõîäèòñÿ â âîçäóõå, íå êîíòàêòèðóÿ ñ äðóãèìè ïðåäìåòàìè, à âñå èçìåðåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå. âåðíîå

òåìïåðàòó

ðû òåðìèñòîðà

Ïðèìå÷àíèå:

1. Ïðîâîäèìîñòüþ ýëåìåíòà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè íàçûâàåòñÿ ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, ðàâíàÿ îòíîøåíèþ ñèëû òîêà, òåêóùåãî ÷åðåç äàííûé ýëåìåíò, ê íàïðÿæåíèþ íà ýòîì ýëåìåíòå.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

G/G25 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0

t, ◦

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

2. Íà îòäåëüíîì ëèñòå ïðèâåäåíû äâà îäèíàêîâûõ ýêçåìïëÿðà ãðàôèêà çàâèñèìîñòè ïðîâîäèìîñòè òåðìèñòîðà îò åãî òåìïåðàòóðû. Ïðè ñäà÷å ðàáîòû ýòîò ëèñò âêëàäûâàåòñÿ â ðåøåíèå ó÷àñòíèêà.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

11 êëàññ Çàäà÷à 1. Ïî îêðóæíîñòè è ïîáûñòðåå

Àâòîìîáèëèñò ïðîåçæàåò ïîëóîêðóæíîñòü AB ðàäèóñîì R = 80 ì òàê, ÷òîáû, ñòàðòîâàâ èç ïîëîæåíèÿ ïîêîÿ, äîáðàòüñÿ äî åå êîíöà êàê ìîæíî áûñòðåå. Ïîâåðõíîñòü äîðîãè ãîðèçîíòàëüíà, àâòîìîáèëü  íåáîëüøîé ïî ðàçìåðó, ñ ìîùíûì äâèãàòåëåì è ÷åòûðüìÿ âåäóùèìè êîëåñàìè. Îáùèé êîýôôèöèåíò òðåíèÿ âñåõ êîëåñ î äîðîãó ìîæíî ñ÷èòàòü ïîñòîÿííûì è ðàâíûì µ = 0,5. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ïðèìèòå ðàâíûì g ≈ 10 ì/ñ2 . 1. Äî êàêîé ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòè ìîæåò ðàçîãíàòüñÿ àâòîìîáèëü íà ýòîé äîðîãå? 2. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü àâòîìîáèëÿ ïðè ïðîõîæäåíèè òî÷åê C , D è B âî âðåìÿ çàåçäà (ñì. ðèñóíîê). 3. Íàéäèòå îáùåå âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ ïîëóîêðóæíîñòè AB . R1 dx ñ÷èòàéòå èçâåñòíîé êîíñòàíòîé β ≡ √1−x ≈ 1,311. Óêàçàíèå:

D C R 45◦

Çàäà÷à 2. Êëåéêàÿ ëåíòà

Äëèííàÿ êëåéêàÿ ëåíòà øèðèíîé d = 2 ñì ïðèêëååíà ê ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ñòîëà. Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû îòîðâàòü åäèíèöó ïëîùàäè òàêîé ëåíòû îò ñòîëà, íóæíî ñîâåðøèòü ðàáîòó σ = 10 Äæ/ì2 (ñ÷èòàéòå, ÷òî ýòà âåëè÷èíà íå çàâèñèò îò óãëà, ïîä êîòîðûì òÿíóò ëåíòó). Ëåíòà ÿâëÿåòñÿ íåâåñîìîé è íåðàñòÿæèìîé. 1. Ïîä êàêèì óãëîì ê ãîðèçîíòó è â êàêîì íàïðàâëåíèè ñëåäóåò òÿíóòü çà êîíåö ëåíòû, ÷òîáû ñèëà, ïðè êîòîðîé ëåíòà íà÷í¼ò îòðûâàòüñÿ îò ñòîëà, áûëà ìèíèìàëüíîé? 2. Îäèí èç êîíöîâ ëåíòû ÷àñòè÷íî îòîðâàëè îò ñòîëà è ïðèêðåïèëè ê íåìó íåâåñîìóþ íèòü, ïåðåáðîøåííóþ ÷åðåç ìàëåíüêèé (ïî ñðàâíåíèþ c äëèíàìè íèòè è ëåíòû) íåâåñîìûé áëîê, ðàñïîëîæåííûé íà âûñîòå H = 1 ì, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Ïðè ýòîì óãîë ìåæäó íèòüþ è ãîðèçîíòîì ñîñòàâèë α1 = 45◦ . Ê äðóãîìó êîíöó íèòè ïðèêðåïèëè ãðóç. Ïðè êàêîé ìàêñèìàëüíîé ìàññå ãðóçà m ñèñòåìà áóäåò ïîêîèòüñÿ?

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

⃗g

Ëåíòà Ñòîë

α m

3. Ê ïåðâîìó ãðóçó ñ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîé ìàññîé m èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà ïðèêðåïèëè âòîðîé ñ íåèçâåñòíîé ìàññîé M è îòïóñòèëè áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè. Ëåíòà ñòàëà îòðûâàòüñÿ, è ñèñòåìà ïðèøëà â äâèæåíèå. Ñïóñòÿ íåêîòîðûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ãðóçû îñòàíîâèëèñü, à íàêëîííûé ó÷àñòîê ëåíòû îêàçàëñÿ ïîä óãëîì α2 = 30◦ ê ãîðèçîíòó. Íàéäèòå ìàññó âòîðîãî ãðóçà M , ðàññòîÿíèå ∆h, íà êîòîðîå â ðåçóëüòàòå ñìåñòèëèñü ãðóçû, à òàêæå ìîäóëè óñêîðåíèé ãðóçîâ â ìîìåíò íà÷àëà äâèæåíèÿ a1 è â ìîìåíò îñòàíîâêè a2 . Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ïðèìèòå ðàâíûì g = 10 ì/ñ2 . Çàäà÷à 3. Áûñòðûå ïîðøíè

Äâà îäèíàêîâûõ âåðòèêàëüíûõ òîíêîñòåííûõ öèëèíäðè÷åñêèõ ñîñóäà âíóòðåííåãî ðàäèóñà r, â êîòîðûõ ïîä ïîðøíÿìè íàõîäÿòñÿ ðàâíûå êîëè÷åñòâà èäåàëüíîãî ãàçà, ïîñòàâèëè â êîìíàòó ñ òåìïåðàòóðîé âîçäóõà T0 .  îäíîì ñîñóäå ãàç èìååò òåìïåðàòóðó Tõ < T0 , à â äðóãîì  òåìïåðàòóðó Tã > T0 . Ïîðøåíü è äíî öèëèíäðîâ òåïëîèçîëèðîâàííûå. Ìîùíîñòü òåïëîâûõ ïîòåðü ÷åðåç áîêîâûå ñòåíêè ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè êîíòàêòà è ðàçíîñòè òåìïåðàòóð ñîäåðæèìîãî ñîñóäà è îêðóæàþùåé ñðåäû: N = αS∆T , ãäå α  íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà. Àòìîñôåðíîå äàâëåíèå p0 , ïîðøíè ëåãêèå. Ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü ãàçà â ñîñóäàõ ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè Cp . Èçâåñòíî, ÷òî ìàêñèìàëüíûå ñêîðîñòè, ñ êîòîðûìè äâèãàëèñü ïîðøíè êàæäîãî èç öèëèíäðîâ âïëîòü äî óñòàíîâëåíèÿ â íèõ êîìíàòíîé òåìïåðàòóðû ðàâíû ïî ìîäóëþ (võmax = vãmax ). Âûðàçèòå Tã ÷åðåç T0 è Tõ .

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Çàäà÷à 4. Çàðÿä íà ðåçèíêå

Íà äëèííóþ çàêðåïë¼ííóþ ãëàäêóþ ñïèöó íàñàæåíî ë¼ãêîå ìàëåíüêîå êîëå÷êî, ê êîòîðîìó ïðèêðåïë¼í ë¼ãêèé ðåçèíîâûé øíóð.  íåðàñòÿíóòîì ñîñòîÿíèè øíóðà åãî äëèíà ðàâíà l0 , êîýôôèöèåíò æ¼ñòêîñòè ðàâåí k. Ê äðóãîìó åãî êîíöó ïðèêðåïë¼í òî÷å÷íûé ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä q ìàññû m. Ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ïëîñêîñòè ðèñóíêà.  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ðàññòîÿíèå îò çàðÿäà äî ñïèöû ðàâíî l0 , à åãî ñêîðîñòü íàïðàâëåíà ïåðïåíäèêóëÿðíî ñïèöå îò íå¼ è ðàâíà v0 . ⃗ B

q,m

⃗v0

l0

1. Îïðåäåëèòå òðàåêòîðèþ çàðÿäà. 2. Îïðåäåëèòå äðåéôîâóþ ñêîðîñòü çàðÿäà. Ïðèìå÷àíèÿ

ˆ ˆ ˆ

Íà çàðÿä äåéñòâóþò ñèëû òîëüêî ñî ñòîðîíû øíóðà è ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Çàäàííûå ïî óñëîâèþ âåëè÷èíû ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì: mv0 < qBl0 . Ïîä äðåéôîâîé ñêîðîñòüþ ïîíèìàåòñÿ ìîäóëü âåêòîðà ñðåäíåé ñêîðîñòè çà âðåìÿ T ≫ m/qB .

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Çàäà÷à 5. Öèëèíäð

Ó ñòåêëÿííîãî öèëèíäðà ïëîñêîñòüþ, ïàðàëëåëüíîé åãî îñè, îòðåçàíà ÷àñòü. Öèëèíäð ëåæèò ïëîñêîé ïîâåðõíîñòüþ íà ëèñòå ìèëëèìåòðîâîé áóìàãè (ñì. ðèñ.). Åãî ñôîòîãðàôèðîâàëè ñ áîëüøîãî ðàññòîÿíèÿ êàìåðîé, íàïðàâëåííîé ïåðïåíäèêóëÿðíî ëèñòó ìèëëèìåòðîâêè.

1. Îïðåäåëèòå ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà n. 2. Êàêàÿ ÷àñòü ðàäèóñà öèëèíäðà îòñå÷åíà ïëîñêîñòüþ? Ïðèìå÷àíèÿ

Äëÿ èòîãîâûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé è ïîëó÷åíèÿ ÷èñëîâûõ çíà÷åíèé ðàññòîÿíèé è óãëîâ, íåîáõîäèìûõ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è, èñïîëüçóéòå ôîòîãðàôèþ, âûäàííóþ íà îòäåëüíîì ëèñòå ˆ Íå çàáóäüòå ñäàòü ýòîò ëèñò âìåñòå ñ îñòàëüíûìè ˆ

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Âîçìîæíûå ðåøåíèÿ Çàäà÷à 7-T1. Âàñèíà âàííà

Îáúåìíûé ðàñõîä  ýòî îáúåì âîäû, ïîñòóïàþùèé â âàííó çà åäèíèöó âðåìåíè. Òî åñòü: ∆V µ=

Çà 10 ìèíóò âàííà íàáèðàåòñÿ íà: 

∆t

1 1 V −2· V 2 8

 =

1 V. 4

Òî åñòü çà 10 ìèíóò â âàííó ïîñòóïàåò 100 ë âîäû. Òîãäà µ = 10 ë/ìèí. Èç óñëîâèÿ çàäà÷è íå ÿñíî, êàê âçàèìíî ðàñïîëîæåíû äîì, øêîëà è ïî÷òà. Îäíàêî ìîæíî òî÷íî ñêàçàòü, ÷òî ðàññòîÿíèå îò øêîëû äî ïî÷òû áîëüøå, ÷åì îò øêîëû äî äîìà (ïîêà Âàñÿ øåë îò øêîëû äî äîìà âàííà íàáðàëàñü íà V /8, à ïîêà îí øåë îò øêîëû äî ïî÷òû  íà V /4). Ïîýòîìó ïî÷òà íå ìîæåò íàõîäèòüñÿ ìåæäó øêîëîé è äîìîì. Äàëåå ðàññìàòðèâàåì 2 âàðèàíòà ðàñïîëîæåíèÿ: 1. Øêîëà  Äîì  Ïî÷òà 2. Ïî÷òà  Øêîëà  Äîì  ïåðâîì ñëó÷àå çà âðåìÿ äâèæåíèÿ Âàñè îò ïî÷òû äî äîìà (îí ïðîéäåò ïóòü îò øêîëû äî ïî÷òû çà âû÷åòîì ïóòè îò øêîëû äî äîìà) âàííà íàáåðåòñÿ íà: 3 V + 4

1 1 V − V 4 8

 =

7 V. 8

Òî åñòü ëóæè íà ïîëó íå áóäåò, à ïî óñëîâèþ çàäà÷è îíà äîëæíà áûòü. Çíà÷èò ýòî íå íàø ñëó÷àé. Âî âòîðîì ñëó÷àå Âàñÿ, äâèãàÿñü îò ïî÷òû äî äîìà, ñíà÷àëà ïðîéäåò ïóòü îò ïî÷òû äî øêîëû, à ïîòîì îò øêîëû äî äîìà. Òîãäà ê åãî ïðèõîäó èç êðàíà âûëüåòñÿ âîäà â îáúåìå: 3 V + 4

1 1 V + V 4 8

 =

9 V. 8

Òî åñòü V /8 = 50 ë îêàæåòñÿ íà ïîëó. Ê ìîìåíòó âûõîäà Âàñè èç äîìà âàííà áûëà çàïîëíåíà íà 

1 1 V − V 2 8

 =

3 V. 8

Çíà÷èò âñå åãî ïóòåøåñòâèå èç äîìà è îáðàòíî äëèëîñü t1 =

1 6V · µ = 30 µ 8

ìèí.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

×òîáû èçáåæàòü ïåðåïîëíåíèÿ âàííû, Âàñÿ äîëæåí âåðíóòüñÿ íå ïîçäíåå, ÷åì ÷åðåç 1 5V t2 = · µ = 25 ìèí. µ 8 Çíà÷èò åìó íàäî äâèãàòüñÿ áûñòðåå â t1 /t2 = 1,2 ðàçà. Çàäà÷à 7-T2. Òðåíèðîâêà

Ìàêñèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó ñïîðòñìåíàìè  äèàìåòð áåãîâîé äîðîæêè d. Ïî ãðàôèêó îïðåäåëÿåì, ÷òî äèàìåòð äîðîæêè d = 100 ì. Òîãäà äëèíà áåãîâîé äîðîæêè ðàâíà πd ≈ 314 ì. Ïî ãðàôèêó îïðåäåëÿåì, ÷òî ñïîðòñìåíû îêàçûâàþòñÿ â îäíîì ìåñòå êàæäûå 350 ñåêóíä. Ýòî çíà÷èò, ÷òî çà 350 ñåêóíä îäèí èç ñïîðòñìåíîâ îáãîíÿåò âòîðîãî íà êðóã. Ðàçíîñòü ñêîðîñòåé ñïîðòñìåíîâ 314 ì v1 − v2 = = 0,9 ì/ñ. 350 ñ Çà âðåìÿ òðåíèðîâêè τ ïåðâûé ñïîðòñìåí ïðîáåæàë áîëüøå âòîðîãî íà (v1 − v2 )τ = 2160 ì. Îòñþäà âûðàæàåì âðåìÿ òðåíèðîâêè 2160 ì τ= = 2400 ñ. 0,9 ì/ñ Òàêèì îáðàçîì, ñêîðîñòü ïåðâîãî áåãóíà 12000 ì S1 = = 5 ì/ñ. v1 = τ 2400 ñ Ñêîðîñòü âòîðîãî áåãóíà S2 9840 ì v2 = = = 4,1 ì/ñ. τ 2400 ñ Çàäà÷à 7-T3. ×åòûðå ïðèñòàíè

Ëîäêà ïî íàïðàâëåíèþ ê A äâèæåòñÿ ïðîòèâ òå÷åíèÿ ðåêè, à ïîñëå ðàçâîðîòà  ïî òå÷åíèþ. Ïîýòîìó: SAB = (v − u)τ,

2SAB = (v + u)τ.

Îòêóäà u = v/3, SAB = 2vτ /3. Ïîñêîëüêó ëîäêà ïðîòèâ òå÷åíèÿ è ïî òå÷åíèþ ïëûëà îäèíàêîâîå âðåìÿ, â ÑÎ ðåêè îíà âåðíóëàñü ê ìåñòó ñòàðòà. Íî â òàêîì ñëó÷àå ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî è êàòåð òîæå â ÑÎ ðåêè âåðíóëñÿ ê ìåñòó ñòàðòà, òî åñòü òàê æå ïëûë îäèíàêîâîå âðåìÿ ïî òå÷åíèþ ðåêè è ïðîòèâ íåãî. Çíà÷èò: SAB + SCD = (2v + u)τ,

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

SCD = (2v − u)τ.

Îòêóäà SCD = 5vτ /3. Ïîñëå ïåðâîé âñòðå÷è ëîäêà áóäåò ïëûòü äî D â òå÷åíèå âðåìåíè t1 =

SCD 5vτ /3 5 = = τ. v+u 4v/3 4

A êàòåð áóäåò ïëûòü äî A â òå÷åíèå âðåìåíè t2 =

4vτ /3 4 2SAB = = τ. 2v − u 5v/3 5

Âèäíî, ÷òî êàòåð ðàçâåðíåòñÿ ðàíüøå íà t2 −t1 = 9τ /20. Çà ýòî âðåìÿ îí óñïååò ïðîïëûòü â íàïðàâëåíèè ïðèñòàíè D ïóòü Sê = (2v + u)9τ /20 = 21vτ /20. Òîãäà îò ìîìåíòà ïîâîðîòà ëîäêè â D äî âòîðîé âñòðå÷è ñ êàòåðîì ïðîéäåò âðåìÿ: t3 =

Çíà÷èò:

2SAB + SCD − Sê 13 = τ. 3v 20

T = t1 + t3 =

13 19 5 τ+ τ= τ = 1,9τ. 4 20 10

Çàäà÷à 7-T4. Ïëàñòèíà

Âû÷èñëèì ìàññû êàæäîãî êâàäðàòà. ˆ m11 = σ11 a2 = 400 㠈 m12 = σ12 a2 = 240 㠈 m21 = σ21 a2 = 200 㠈 m22 = σ22 a2 = 120 ã Îáùàÿ ìàññà ïëàñòèíû òîãäà ðàâíà m0 = m11 + m12 + m21 + m22 = 960 ã. Òàê êàê ìàññû ÷åòûðåõ ÷àñòåé ïîñëå ðàçðåçàíèÿ îêàçàëèñü îäèíàêîâûìè, òî ìàññà êàæäîé ïîëó÷èâøåéñÿ ÷àñòè m = m0 /4 = 240 ã. Ìàññà äâóõ ëåâûõ êâàäðàòîâ äî ðàçðåçàíèÿ áîëüøå, ÷åì 2m, çíà÷èò âåðòèêàëüíûé ðàçðåç äîëæåí ïðîéòè ïî íèì. Àíàëîãè÷íî, ìàññà äâóõ âåðõíèõ êâàäðàòîâ äî ðàçðåçàíèÿ áîëüøå, ÷åì 2m, çíà÷èò ãîðèçîíòàëüíûé ðàçðåç äîëæåí ïðîéòè ïî íèì. Ïîýòîìó òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ëèíèé ðàçðåçà íàõîäèòñÿ âíóòðè âåðõíåãî ëåâîãî êâàäðàòà. Ïóñòü ãîðèçîíòàëüíàÿ êîîðäèíàòà òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ëèíèé ðàçðåçà  x, à âåðòèêàëüíàÿ  y. Ñóììàðíàÿ ìàññà äâóõ ëåâûõ ÷àñòåé ïîñëå ðàçðåçàíèÿ: M11 + M21 = 2m = σ11 xa + σ21 xa.

Îòêóäà

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

ì. Ñóììàðíàÿ ìàññà äâóõ âåðõíèõ ÷àñòåé ïîñëå ðàçðåçàíèÿ: x=

2m = 0,8 a(σ11 + σ21 )

M11 + M12 = 2m = σ11 (2a − y)a + σ12 (2a − y)a

Îòêóäà ì. Íàéäåì ñðåäíèå ïîâåðõíîñòíûå ïëîòíîñòè ïîëó÷èâøèõñÿ ÷àñòåé. Ëåâàÿ âåðõíÿÿ ÷àñòü: m σ11í = = 400 ã/ì2 . x(2a − y) y=

2a2 (σ11 + σ12 ) − 2m = 1,25 a(σ11 + σ12 )

Ïðàâàÿ âåðõíÿÿ ÷àñòü: σ12í =

ãì

m = 267 / 2 . (2a − x)(2a − y)

Ëåâàÿ íèæíÿÿ ÷àñòü: σ21í =

ãì

m = 240 / 2 . xy

Ïðàâàÿ íèæíÿÿ ÷àñòü: σ22í =

ãì

m = 160 / 2 . (2a − x)y

Çàäà÷à 8-T1. Èç ãîðîäà â äåðåâíþ

Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ vñð íà âñåì ïóòè ðàâíà ñêîðîñòè äâèæåíèÿ íà îòðåçêå ìåæäó çâîíêàìè Ãëþêà. Âåñü ïóòü ìîæíî îïðåäåëèòü, êàê S1 + S2 − s, à óñëîâèå ðàâåíñòâà ñðåäíèõ ñêîðîñòåé ìîæíî áóäåò çàïèñàòü òàê: S +S −s s vñð =

Îòêóäà íàõîäèì, ÷òî s = 150 êì. Ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü vñð = v1 =

s 150 = t2 − t1 2,5

t2 − t1

êì = 60 êì/÷. ÷

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Òàêæå òåïåðü ëåãêî îïðåäåëèòü, ÷òî âåñü ïóòü èç ãîðîäà â äåðåâíþ ñîñòàâèë L = 600 êì. Îòâåòû íà âòîðîé âîïðîñ çàäà÷è ìîæíî ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñêè è ãðàôè÷åñêè. Ðàññìîòðèì âñå òðè âîçìîæíûõ âàðèàíòà: 1. Ïåðâûé çâîíîê áûë ñîâåðø¼í íà ïåðâîì ó÷àñòêå, âòîðîé  íà âòîðîì. 2. Ïåðâûé çâîíîê áûë ñîâåðø¼í íà ïåðâîì ó÷àñòêå, âòîðîé  íà òðåòüåì. 3. Ïåðâûé çâîíîê áûë ñîâåðø¼í íà âòîðîì ó÷àñòêå, âòîðîé  íà òðåòüåì. Ïðè ðåàëèçàöèè ïåðâûõ äâóõ âàðèàíòîâ ïåðâûõ çâîíîê äîëæåí áûòü ñîâåðø¼í íà ðàññòîÿíèè L − S1 = 350 êì îò ãîðîäà. Îäíàêî, ïðè ýòîì ñêîðîñòü íà ïåðâîì ó÷àñòêå ñîñòàâèò v˜1 = (L−S1 )/t1 ≈ 54 êì/÷ ̸= v1 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ðàíåå íàéäåííîìó v1 . Òîãäà âîçìîæåí òîëüêî òðåòèé âàðèàíò, ïðè êîòîðîì ïåðâûé çâîíîê áûë ñîâåðø¼í íà âòîðîì ó÷àñòêå ïóòè, à âòîðîé  íà òðåòüåì. Òîãäà ñêîðîñòü Áàãà íà òðåòüåì ó÷àñòêå: v3 = L−S = 100 êì/÷. Ñêîðîñòü íà âòîðîì ó÷àñòêå íå ìît−t æåò áûòü â 2 ðàçà áîëüøå v3 , âåäü òîãäà ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü íà âñåì ïóòè òî÷íî áóäåò ïðåâîñõîäèòü 60 êì/÷. Çíà÷èò v2 â äâà ðàçà ìåíüøå v3 è v2 = 50 êì/÷. Èëè àëüòåðíàòèâíî, ïîñêîëüêó ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ Áàãà äî ïåðâîãî çâîíêà ìåíüøå ñðåäíåé ñêîðîñòè íà âñ¼ì ïóòè, òî ñêîðîñòü íà âòîðîì ó÷àñòêå äîëæíà áûòü ìåíüøå ñðåäíåé ñêîðîñòè. Òîãäà ñêîðîñòü íà òðåòüåì ó÷àñòêå âäâîå ïðåâîñõîäèò ñêîðîñòü íà âòîðîì ó÷àñòêå: v3 = 2v2 .  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü íà âñ¼ì ïóòè òî÷íî áóäåò ìåíüøå 60 êì/÷. Ïîñòðîèì ãðàôèê (ñì. ðèñ. 1) çàâèñèìîñòè ïóòè, êîòîðûé ïðîåõàë àâòîìîáèëü, îò âðåìåíè.  ìîìåíò âðåìåíè t = 10 ÷ àâòîìîáèëü ïðîåõàë L = 600 êì. Îáîçíà÷èì òî÷êó 3, ñîîòâåòñòâóþùóþ ýòîìó ñîñòîÿíèþ. Ïðîâåäåì ïðÿìóþ èç íà÷àëà êîîðäèíàò â òî÷êó 3. Ýòà ïðÿìàÿ ñîîòâåòñòâóåò äâèæåíèþ ñî ñðåäíåé ñêîðîñòüþ. È, î÷åâèäíî, åå ÷àñòü ñîâïàäàåò ñ ãðàôèêîì íà ïåðâîì ó÷àñòêå.  ìîìåíò âðåìåíè t1 = 6,5 ÷ àâòîìîáèëü ïðîåõàë L − S1 = 350 êì. Îáîçíà÷èì òî÷êó 4, ñîîòâåòñòâóþùóþ ýòîìó ñîñòîÿíèþ.  ìîìåíò âðåìåíè t2 = 9 ÷ àâòîìîáèëü ïðîåõàë L − S2 = 500 êì. Îáîçíà÷èì òî÷êó 5, ñîîòâåòñòâóþùóþ ýòîìó ñîñòîÿíèþ. Ãðàôèê òðåòüåãî ó÷àñòêà  ýòî ÷àñòü ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè 3 è 5. Ïðîâåäåì åå. Ïî íàêëîíó ïðÿìîé ìîæíî îïðåäåëèòü ñêîðîñòü íà òðåòüåì ó÷àñòêå  v3 = 150 1,5 = 100 êì/÷. Çàìåòèì, ÷òî v3 áîëüøå ñðåäíåé ñêîðîñòè, òîãäà ñêîðîñòü àâòîìîáèëÿ íà âòîðîì ó÷àñòêå v2 = v2 = 50 êì/÷. Ïîñêîëüêó â îáðàòíîì ñëó÷àå, åñëè v2 = 2v3 = 200 êì/÷, ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü íà âñ¼ì ïóòè áóäåò ïðåâûøàòü vñð = 60 êì/÷, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. Àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå.

Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

s,

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

êì 3

600 500

400

300

200 100

t,

10

Ðèñ. 1

Îòâåòû íà òðåòèé âîïðîñ çàäà÷è ìîæíî ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñêè è ãðàôè÷åñêè. Ïóñòü T1  âðåìÿ äâèæåíèÿ Áàãà íà ïåðâîì ó÷àñòêå. Ñ ó÷¼òîì òîãî, ÷òî ðàññòîÿíèå L − S1 = 350 êì Áàã ïðîåõàë, äâèãàÿñü â òå÷åíèå âðåìåíè T1 ñî ñêîðîñòüþ v1 è âðåìåíè t − T1 ñî ñêîðîñòüþ v2 , çàïèøåì: Àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå.

L − S1 = v1 T1 + v2 (t1 − T1 ).

Îòêóäà ïîëó÷èì, ÷òî T1 =

L − S1 − v2 t1 600 − 250 − 50 · 6,5 = = 2,5 . v1 − v2 60 − 50

Ïðè ýòîì ïðîòÿæåííîñòü ïåðâîãî ó÷àñòêà ñîñòàâèò l1 = v1 T1 = 150 êì. Ïóñòü T2  âðåìÿ äâèæåíèÿ Áàãà íà âòîðîì ó÷àñòêå, òîãäà t−T1 −T2  âðåìÿ äâèæåíèÿ Áàãà íà òðåòüåì ó÷àñòêå. Äëÿ âñåãî ïóòè ìîæíî çàïèñàòü: L = v1 T1 + v2 T2 + v3 (t − T1 − T2 ).

Îòêóäà ïîëó÷èì T2 =

v1 T1 + v3 t − v3 T1 − L =6 . v3 − v2

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Ïðè ýòîì ïðîòÿæåííîñòü âòîðîãî ó÷àñòêà ñîñòàâèò l2 = v2 T2 = 300 êì. Òîãäà ïðîòÿæåííîñòü òðåòüåãî ó÷àñòêà ñîñòàâèò l3 = L − l1 − l2 = 150 êì. Ãðàôèê âòîðîãî ó÷àñòêà  ýòî ÷àñòü ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó 4. Íàêëîí ýòîé ïðÿìîé ñîîòâåòñòâóåò ñêîðîñòè v2 . Ýòà ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåòñÿ ñ ïðÿìîé, ïðîâåä¼ííîé ÷åðåç òî÷êè 3 è 5, â òî÷êå 2, ñîîòâåòñòâóþùåé ãðàíèöå âòîðîãî è òðåòüåãî ó÷àñòêîâ ïóòè. Ïðÿìàÿ, ïðîâåä¼ííàÿ ÷åðåç íà÷àëî îòñ÷¼òà è òî÷êó 3, ïåðåñåêàåòñÿ ñ ïðÿìîé, ïðîâåä¼ííîé ÷åðåç òî÷êè 2 è 4, â òî÷êå 1, ñîîòâåòñòâóþùåé ãðàíèöå ïåðâîãî è âòîðîãî ó÷àñòêà. Ïðÿìàÿ 3-5 îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì S = −400 + 100 · t, ïðÿìàÿ 4-2 îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì S = 25 + 50 · t. Ðåøàÿ ýòó ïàðó óðàâíåíèé ñîâìåñòíî, ïîëó÷èì êîîðäèíàòû òî÷êè 2: (8,5 ÷; 450 êì). Ïðÿìàÿ 0-3 îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì S = 60 · t, ïðÿìàÿ 4-2 îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì S = 25 + 50 · t. Ðåøàÿ ýòó ïàðó óðàâíåíèé ñîâìåñòíî, ïîëó÷èì êîîðäèíàòû òî÷êè 1: (2,5 ÷; 150 êì). Îòêóäà ïîëó÷èì, ÷òî Áàã åõàë ïåðâûå 2,5 ÷ ñî ñêîðîñòüþ 60 êì/÷, çàòåì 6 ÷ ñî ñêîðîñòüþ 50 êì/÷, è â êîíöå  1,5 ÷ ñî ñêîðîñòüþ 100 êì/÷. Îòêóäà l1 = 150 êì (ó÷àñòîê 1-2 íà ðèñ. 1), l2 = 300 êì (ó÷àñòîê 2-3 íà ðèñ. 1), l3 = 150 êì (ó÷àñòîê 2-3 íà ðèñ. 1). Ãðàôè÷åñêîå ðåøåíèå.

Çàäà÷à 8-T2. Ñîñóä ñ òðóáîé

Îïðåäåëèì ìàññó ïîïëàâêà m. Çàïèøåì óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ ïîïëàâêà: (1) ãäå T  ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè, ρghS  ñèëà Àðõèìåäà, äåéñòâóþùàÿ íà ïîïëàâîê. Çàïèøåì óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ ïîðøíÿ: T = ρgHS2 . (2) Èç óðàâíåíèé (1) è (2) îïðåäåëèì ìàññó ïîïëàâêà: m = ρ(hS − HS2 ). (3) Ïîìåñòèì íà ïîïëàâîê òåëî ìàññîé ∆m. Ïóñòü ïîðøåíü ñäâèíóëñÿ âëåâî íà ðàññòîÿíèå ∆x, à óðîâåíü æèäêîñòè â âåðòèêàëüíîì ñîñóäå óâåëè÷èëñÿ íà ∆H . Ïîñêîëüêó íèòü, ñâÿçûâàþùàÿ ïîðøåíü è ïîïëàâîê, íåðàñòÿæèìà, òî ïðè ñìåùåíèè ïîðøíÿ âëåâî íà ∆x ïîïëàâîê îïóñòèòñÿ íà ∆x. Ñäåëàåì ðèñóíîê ñîñóäà ñ òðóáêîé â íà÷àëüíîé ñèòóàöèè (ðèñ. 2à) è ïîñëå ïåðåìåùåíèÿ ïîðøíÿ (ðèñ. 2á). Îáúåì æèäêîñòè íà ðèñ. 2à, âûäåëåííûé ñâåòëî-ñåðûì öâåòîì, ðàâåí îáú¼ìó æèäêîñòè, âûäåëåííîé ñâåòëî-ñåðûì öâåòîì, íà ðèñ. 2á. mg + T = ρghS,

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

S ∆m ∆H

S1 h ∆x H ∆x S2

(a)

(á) Ðèñ. 2

Çàïèøåì óñëîâèå íåèçìåííîñòè îáú¼ìà æèäêîñòè: h(S1 − S) + ∆x · S1 = S2 · ∆x + (∆x + h + ∆H) · (S1 − S).

Èç çàïèñàííîãî ñîîòíîøåíèÿ ïîëó÷èì ñâÿçü ∆H è ∆x: ∆H =

∆x · (S − S2 ) . (S1 − S)

(4)

Ïî óñëîâèþ çàäà÷è S > S2 , ñëåäîâàòåëüíî, íàøå ïðåäïîëîæåíèå îá óâåëè÷åíèè âûñîòû óðîâíÿ æèäêîñòè â âåðòèêàëüíîì ñîñóäå âåðíî è î òîì, ÷òî ïîðøåíü ñìåùàåòñÿ âëåâî, âåðíî. Ðàññìîòðèì, êàê èçìåíèëèñü ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ïîïëàâîê. Íîâàÿ ñèëà Àðõèìåäà, äåéñòâóþùàÿ íà ïîïëàâîê: FÀðõ = ρgS(h + ∆H + ∆x). (5) Îáîçíà÷èì èçìåíèâøóþñÿ ñèëó íàòÿæåíèÿ ñèëà T ′ , òîãäà óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ äëÿ ïîïëàâêà áóäåò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: (m + ∆m)g + T ′ = FÀðõ . (6) Òåïåðü ðàññìîòðèì íîâîå óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ ïîðøíÿ: T ′ = ρg(H + ∆H)S2 . (7)

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Èç óðàâíåíèé (5), (6) è (7) ñ ó÷åòîì (3) ïîëó÷èì ∆m (S − S2 ) = ∆x + ∆H . ρS S

 ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ïîäñòàâèì (4) è âûðàçèì ñìåùåíèå ïîðøíÿ: ∆x =

∆m (S1 − S) . ρ (S1 S − 2SS2 + S22 )

Ïîðøåíü ñìåùàåòñÿ âëåâî íà âåëè÷èíó: ∆x =

∆m (S1 − S) . ρ (S1 S − 2SS2 + S22 )

Çàäà÷à 8-T3. Ñòîë è âàçà

Ðàçìåñòèì âàçó íà ñòîëå è ðàññòàâèì ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ñèñòåìó ¾ñòîëåøíèöà + âàçà¿. Ñèëà òÿæåñòè ñòîëåøíèöû M g ïðèëîæåíà ê öåíòðó ñòîëåøíèöû, ñèëà òÿæåñòè âàçû mg ïðèëîæåíà â òî÷êå ðàñïîëîæåíèÿ âàçû. Ýòè ñèëû íàïðàâëåíû âåðòèêàëüíî âíèç. Òðè ñèëû ðåàêöèè íîæåê N1 , N2 è N3 íàïðàâëåíû âåðòèêàëüíî ââåðõ. Ñèëà ðåàêöèè ÷åòâåðòîé íîæêè äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ. Ñäåëàåì ðèñóíîê ñòîëåøíèöû ñ âèY äîì ñâåðõó è ââåäåì ñèñòåìó êîîðäè2a íàò XOY , íà÷àëî êîîðäèíàò ïîìåñòèì â öåíòð ñòîëåøíèöû (ñì. ðèñ. 3). ÊîîðN1 äèíàòû òî÷êè, â êîòîðîé íàõîäèòñÿ âày mg çà, îáîçíà÷èì x è y. Íà ðèñóíêå ñèëû X ðåàêöèè íîæåê íàïðàâëåíû ïåðïåíäèêóx ëÿðíî ïëîñêîñòè ÷åðòåæà, íà ÷èòàòåëÿ, −2a 2a Mg è îáîçíà÷åíû ÷åðíûìè êðóæêàìè, à ñèëû òÿæåñòè íàïðàâëåíû ïåðïåíäèêóëÿðN2 N3 íî ïëîñêîñòè ÷åðòåæà, îò ÷èòàòåëÿ è îáîçíà÷åíû êðåñòèêàìè. −2a Çàïèøåì óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû: (M + m)g = N1 + N2 + N3 , (1) ïðàâèëî ìîìåíòîâ äëÿ îñè OX : N1 a = mgy + N2 a + N3 a, (2) è ïðàâèëî ìîìåíòîâ äëÿ îñè OY : N3 a = mgx + N1 a + N2 a. (3) Ñïîñîá 1.

Ðèñ. 3

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Ïîäñòàâèì (2) â (3) è íàéäåì N2 : N2 = −

mg (x + y). 2a

×òîáû ñòîëåøíèöà íå ïåðåâîðà÷èâàëàñü, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå N2 ≥ 0, à äëÿ ýòîãî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå y + x ≤ 0 èëè y ≤ −x. (4) Èç óðàâíåíèÿ (3) âûðàçèì N3 : N3 = mg

x + N1 + N2 . a

Ïîäñòàâèì N3 è N2 â (1) è îïðåäåëèì N1 : N1 =

M +m mg g+ y. 2 2a

×òîáû ñòîëåøíèöà íå ïåðåâîðà÷èâàëàñü, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå N1 ≥ 0,

ñëåäîâàòåëüíî, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ M +m mg g+ y ≥ 0. 2 2a

Äëÿ âûïîëíåíèÿ ýòîãî óñëîâèÿ íóæíî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî 

M y ≥− 1+ m

Îïðåäåëèì N3 N3 =

 a.

M +m mg g+ x. 2 2a

×òîáû ñòîëåøíèöà íå ïåðåâîðà÷èâàëàñü, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå N3 ≥ 0,

ñëåäîâàòåëüíî, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ M +m mg g+ x ≥ 0. 2 2a

(5)

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Äëÿ âûïîëíåíèÿ ýòîãî óñëîâèÿ íóæíî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî (6)

  M x≥− 1+ a. m

Ïîäñòàâèì m = 5M è çàïèøåì âñå ïîëó÷åííûå óñëîâèÿ è èçîáðàçèì íà ïîâåðõíîñòè ñòîëåøíèöû îáëàñòü, â êîòîðîé îäíîâðåìåííî âûïîëíÿþòñÿ âñå òðè íåðàâåíñòâà y ≤ −x; (7)   M 6 y ≥− 1+ a = − a; (8) m 5 (9)

  M 6 x≥− 1+ a = − a. m 5 Ñïîñîá 2.

Ñäåëàåì ðèñóíîê ñòîëåøíèöû ñ âèäîì ñâåðõó è ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò X ′ O′ Y ′ , íà÷àëî êîîðäèíàò ïîìåñòèì â òî÷êó, ãäå íàõîäèòñÿ âòîðàÿ íîæêà (ñì. ðèñ. 4). Êîîðäèíàòû òî÷êè, â êîòîðîé íàõîäèòñÿ âàçà, îáîçíà÷èì x′ è y′ . Çàïèøåì óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû (M + m)g = N1 + N2 + N3 , (1') ïðàâèëî ìîìåíòîâ äëÿ îñè O′ X ′ N1 · 2a = mgy ′ + M ga, (2') è ïðàâèëî ìîìåíòîâ äëÿ îñè O′ Y ′

Y′

2a N1 y′

mg Mg

a N2

N3 · 2a = mgx′ + M ga.

N3 a

X′

′ 2a

Ðèñ. 4

(3')

Èç óðàâíåíèÿ (2′ ) îïðåäåëèì ñèëó ðåàêöèè ïåðâîé íîæêè N1 =

M g mg ′ + y. 2 2a

×òîáû ñòîëåøíèöà íå ïåðåâîðà÷èâàëàñü, íåîáõîäèìî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå N1 ≥ 0,

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

îòêóäà ïîëó÷àåì îáëàñòü äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé äëÿ y′ y′ ≥ −

(4')

M a a; y ′ ≥ − . m 5

Èç óðàâíåíèÿ (3′ ) îïðåäåëèì ñèëó ðåàêöèè ×òîáû ñòîëåøíèöà íå ïåðåâîðà÷èâàëàñü, íåîáõîäèìî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå N3 ≥ 0,

îòêóäà ïîëó÷àåì îáëàñòü äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé äëÿ x′ x′ ≥ −

(5')

M a a; x′ ≥ − . m 5

Èç óðàâíåíèÿ (1) îïðåäåëèì ñèëó ðåàêöèè âòîðîé íîæêè   x′ y′ N2 = M g + mg − N1 − N3 = mg 1 − − . 2a 2a

Óñëîâèå íåîòðèöàòåëüíîñòè ñèëû ðåàêöèè âòîðîé íîæêè äà¼ò íåðàâåíñòâî (6')

y ′ ≤ 2a − x′ .

Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì (4′ ), (5′ ) è (6′ ) íàõîäèòñÿ â òîé æå îáëàñòè íà ïîâåðõíîñòè ñòîëà, ÷òî íàéäåíà â ïåðâîì âàðèàíòå. Îáëàñòü, ãäå âîçìîæíî ðàçìåùåíèå âàçû, îãðàíè÷åíà òðåìÿ ïðÿìûìè, è âûäåëåíà íà ðèñóíêå ò¼ìíî-ñåðûì öâåòîì. Y

4 X

x = − 65 a

y = − 56 a y = −x

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Çàäà÷à 8-T4. Ïîòåðÿííûé ãðàôèê

Çàïèøåì óðàâíåíèå òåïëîâîãî áàëàíñà ñ ó÷¼òîì ïîäâåäåííîãî îò ïëèòû êîëè÷åñòâà òåïëîòû äëÿ ïåðâîãî ó÷àñòêà ãðàôèêà: P τ = cρV0 (t − t0 ). (1) Ñëåäîâàòåëüíî, íà ïåðâîì ó÷àñòêå çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû t îò âðåìåíè τ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ïðÿìîé: t(τ ) = t0 +

P τ = t0 + k1 τ. cρV0

(2)

Ñïîñîá 1.

Íà òðåòüåì ó÷àñòêå óðàâíåíèå òåïëîâîãî áàëàíñà: P τ = cρ(V0 + Väîë )(t − t0 ).

(3)

Çäåñü Väîë  îáú¼ì äîëèòîé âîäû. Ðàññìîòðèì òåïëîâûå ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå íà òð¼õ ó÷àñòêàõ ïî îòäåëüíîñòè. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: τ1  ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà íà÷èíàåòñÿ äîëèâ æèäêîñòè, τ2  ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà òåìïåðàòóðà æèäêîñòè ïîñëå äîëèâàíèÿ íà÷èíàåò óâåëè÷èâàòüñÿ. Äëÿ ïåðâîãî ó÷àñòêà èìååì óðàâíåíèå (1), îíî çàïèñàíî âûøå.  ìîìåíò âðåìåíè τ1 òåìïåðàòóðà âîäû â ÷àéíèêå ðàâíà t1 , ïîýòîìó P τ1 = cρV0 (t1 − t0 ). (5) Äëÿ âòîðîãî ó÷àñòêà èìååì óðàâíåíèå (íàãðåâàåòñÿ òîëüêî äîëèòàÿ âîäà) P (τ − τ1 ) = cρVäîë (t − t0 ). (6)  ìîìåíò âðåìåíè τ2 P (τ2 − τ1 ) = cρVäîë (t1 − t0 ). (7) Äëÿ òðåòüåãî ó÷àñòêà P (τ − τ2 ) = cρ(V0 + Väîë )(t − t1 ). (8) Êîìáèíèðóÿ óðàâíåíèÿ (5), (7) è (8), ïîëó÷èì óðàâíåíèå (3). Èç óðàâíåíèÿ (3) ñëåäóåò, ÷òî íà òðåòüåì ó÷àñòêå ãðàôèêà çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû t îò âðåìåíè τ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ïðÿìîé: Ñïîñîá 2.

t(τ ) = t0 +

P τ = t0 + k3 τ. cρ(V0 + Väîë )

(4)

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Ãðàôèêè ôóíêöèé, îïèñûâàåìûõ óðàâíåíèÿìè (2) è (4), èìåþò îáùóþ òî÷êó  (0; t0 ). Ïîýòîìó, åñëè ãðàôèêè ïðîäîëæèòü äî ïåðåñå÷åíèÿ, òî òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêîâ áóäåò ëåæàòü íà îñè òåìïåðàòóðû. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî âîññòàíîâèòü ìàñøòàá ïî îñè âðåìåíè  îäíà êëåòêà ñîîòâåòñòâóåò 0,5 ìèí. Ìàñøòàá ïî îñè òåìïåðàòóð  îäíà êëåòêà ñîîòâåòñòâóåò 10 ◦ C  âîññòàíàâëèâàåì, çíàÿ òåìïåðàòóðû t1 = 60 ◦ C è t0 = 20 ◦ C. Çíàÿ ìàñøòàá ïî îñÿì è âèä ïðÿìûõ âîññòàíàâëèâàåì ãðàôèê íà ðèñ. 2. t, ◦

100

90 80 70 60 50 40 30 20

τ, 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

ìèí

4,0

Ðèñ. 2

Óðàâíåíèÿ (2) è (4) îïèñûâàþò ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû îò âðåìåíè ñ ðàçëè÷íûìè óãëîâûìè êîýôôèöèåíòàìè íàêëîíà k1 è k3 , îòíîøåíèå êîòîðûõ ðàâíî: k1 V0 + Väîë = . (9) k V 3

Ïî ñîõðàíèâøåéñÿ ÷àñòè ãðàôèêà îïðåäåëÿåì îòíîøåíèå kk = 2. Ñëåäîâàòåëüíî, îáú¼ì äîëèòîé âîäû ñîâïàäàåò ñ íà÷àëüíûì îáú¼ìîì, ïîýòîìó V0 = Väîë = 0,5 ë. Ïî ãðàôèêó íà ðèñ. 2 îïðåäåëÿåì, ÷òî òåìïåðàòóðà âîäû ñòàíåò ðàâíîé 100 ◦ C 1

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

÷åðåç τ2 = 4 ìèí ïîñëå íà÷àëà íàãðåâàíèÿ. Òîò æå ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè ñíà÷àëà, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå òåïëîâîãî áàëàíñà äëÿ âòîðîãî ó÷àñòêà, îïðåäåëèòü çíà÷åíèå ìîùíîñòè, à çàòåì ïîñ÷èòàòü âðåìÿ íàãðåâàíèÿ äî òåìïåðàòóðû 100 ◦ C íà òðåòüåì ó÷àñòêå. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è ïðè äîëèâàíèè âîäû â òå÷åíèè ∆τ = 1 ìèí = 60 ñ òåìïåðàòóðà âîäû íå ìåíÿëàñü, ïîýòîìó âñå ïîëó÷åííîå îò íàãðåâàòåëÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû øëî íà íàãðåâàíèå äîáàâëåííîé âîäû îò òåìïåðàòóðû t0 = 20 ◦ C äî òåìïåðàòóðû t1 = 60 ◦ C, ïîýòîìó: P · ∆τ = cρVäîë (t1 − t0 ). (10) Èç çàïèñàííîãî âûðàæåíèÿ îïðåäåëèì ìîùíîñòü P =

cρVäîë (t1 − t0 ) = 1400 ∆τ

Âò.

Çàäà÷à 9-T1. Èãðà â øàéáó

Ïðîíóìåðóåì ñòîðîíû ðàìêè è ââåä¼ì êîîðäèíàòû x, y ñ íà÷àëîì â òî÷êå , íàïðàâèâ èõ âäîëü è ïåðïåíäèêóëÿðíî îòðåçêó AB . 2

y 4

Ïóñòü êîîðäèíàòû òî÷êè A ðàâíû (0; 0), êîîðäèíàòû òî÷êè B ðàâíû (L; 0), à ðàññòîÿíèå îò òî÷åê äî ñòîðîíû  H . Áóäåì èñêàòü ïðîåêöèè óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ gx è gy . Ðàññìîòðèì äâèæåíèå øàéáû èç A â B ñ îòñêîêîì îò ñòîðîíû 4. Èç óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïî îñè y ïîëó÷èì, ÷òî âðåìÿ ïàäåíèÿ èç òî÷êè A äî ñòåíêè ðàâíî p 2H/gy . Ïîñëå óäàðà øàéáà áóäåò ëåòåòü ñòîëüêî æå ïî âðåìåíè äî òî÷êè B . Ïîëíîå âðåìÿ ñîñòàâèò: s t=2

2H . gy

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Ïî îñè x øàéáà äâèãàåòñÿ ðàâíîóñêîðåííî, òàê êàê ïðè óïðóãîì óäàðå ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè íà îñü x íå ìåíÿåòñÿ. L = gx

4H t2 = gx · . 2 gy

Îòêóäà ïîëó÷èì:

C2

gx L . = gy 4H

 ñëó÷àå îòñêîêà îò ñòåíêè 4 L = 2l è H = l, ãäå l  ñòîðîíà çàäàííîé ìàñøòàáíîé ñåòêè. Èç ïîëó÷åííîãî îòíîøåíèÿ ïðîåêöèé óñêîðåíèé ëåãêî íàéòè íàïðàâëåíèå ⃗g. Íàïðèìåð, ìîæíî îòìåòèòü òî÷êó C1 ñ êîîðäèíàòàìè (2l; 4l). Òîãäà ⃗g áóäåò íàïðàâëåíî âäîëü ïðÿìîé AC1 è, â ÷àñòíîñòè, ïåðâàÿ ÷àñòü òðàåêòîðèè øàéáû áóäåò ëåæàòü âäîëü ýòîé ïðÿìîé. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîñòóïèòü ñî ñòîðîíîé 2.  ýòîì ñëó÷àå L = 2l è H = 2l, òî⃗g2 ãäà óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ áóäåò íàïðàâëåíî âäîëü îòðåçêà AC2 , ãäå êîîðäèíàA α2 B òû òî÷êè C2 ýòî (2l; −8l). α4 ⃗g3 Ïîñëå îòñêîêà îò ñòîðîíû 1 øàéáà íå ñìîæåò ïîïàñòü â òî÷êó B , òàê êàê òà ðàñïîëîæåíà äàëüøå òî÷êè A ïî îñè x. ⃗g4 Ïî òåì æå ñîîáðàæåíèÿì îòðàæåíèå îò ñòîðîíû 3 ïîäõîäèò. Ñîîòâåòñòâóþùåå ýòîìó ñëó÷àþ íàïðàâëåíèå óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ áóäåò âäîëü îñè x. Ñ ïîìîùüþ íàéäåííûõ â ïðåäûäóùåì C1 ïóíêòå êîîðäèíàò òî÷åê C1 è C2 âû÷èñëèì óãëû ìåæäó íàïðàâëåíèåì AB è óñêîðåíèåì ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ: α4 = arctg 2 ≈ 63◦ , α2 = arctg 4 ≈ 76◦ , α3 = 0◦ .

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Çàäà÷à 9-T2. Íåëèíåéíàÿ ëåíòà

Ïóñòü F1  ñèëà óïðóãîñòè ëåíòû è ïåðâîé ïðóæèíû, à F2  ñèëà óïðóãîñòè âòîðîé ïðóæèíû. Ñèëà F , ñ êîòîðîé ðàñòÿãèâàþò äàííóþ ñèñòåìó, óðàâíîâåøèâàåòñÿ äàííûìè ñèëàìè F1 è F2 : F = F1 + F2 .

Çàêîí Ãóêà äëÿ ïðóæèí: F1 = k∆x1 è F2 = k∆x2 . Ñóììàðíîå óäëèíåíèå ïåðâîé ïðóæèíû è ëåíòû ðàâíî óäëèíåíèþ âòîðîé ïðóæèíû: ∆x1 + ∆x = ∆x2 .

Èç ýòèõ óðàâíåíèé ïîëó÷èì:

∆x = ∆x(F1 ) =

èëè

(1)

F 2 − F1 , k k

(1') Ïðè F1 < 1 Í ëåíòà âåä¼ò ñåáÿ êàê ïðóæèíà ñ êîýôôèöèåíòîì æ¼ñòêîñòè k0 ≈ 120 Í/ì, êîòîðûé ìîæíî îïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþ êîýôôèöèåíòà íàêëîíà êàñàòåëüíîé ê íà÷àëüíîìó ó÷àñòêà ãðàôèêà. Ñëåäîâàòåëüíî, çàâèñèìîñòü óäëèíåíèÿ ëåíòû îò ðàñòÿãèâàþùåé å¼ ñèëû ìîæíî âûðàçèòü êàê: F1 = k0 ∆x. (2) Ïîäñòàâëÿÿ (2) â (1), ïîëó÷èì F1 (∆x) =

∆x =

èëè ∆x =

Òîãäà ∆x1 =

k F − ∆x. 2 2

F 2k0 − ∆x k k

F ≈ 2,9 2k0 + k

ìì.

F1 k0 k0 F = ∆x = ≈ 3,5 k k (2k0 + k)k ∆x2 = ∆x1 + ∆x ≈ 6,4

ìì.

ìì

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Fó

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

,Í

15

10

5 ∆x

10

15

20

, ñì

25

Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàñòÿæåíèé ïðè F = 20 Í ïîñòðîèì çàâèñèìîñòü (1′ ) (àíàëîã íàãðóçî÷íîé ïðÿìîé èç ýëåêòðè÷åñòâà) íà ãðàôèêå èç óñëîâèÿ. Fó , Í 15

10

5 ∆x

, ñì

0 5 10 15 20 25 Ïåðåñå÷åíèå ýòèõ ïðÿìîé è êðèâîé ïîçâîëÿåò íàéòè ñèëó óïðóãîñòè ëåíòû F1 ≈ 6,7 Í è å¼ óäëèíåíèå ∆x ≈ 6,5 ñì. Ñëåäîâàòåëüíî, óäëèíåíèå ïåðâîé ïðóæèíû F1 ≈ 6,7 ñì ∆x1 = k è óäëèíåíèå âòîðîé ïðóæèíû ∆x2 = ∆x1 + ∆x ≈ 13,2 ñì.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé (1′ ) íå çàâèñèò îò ïðèêëàäûâàåìîé ñèëû. Ïðîâåä¼ì ïðÿìóþ ñ òàêèì óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì ÷åðåç êðàéíþþ òî÷êó ãðàôèêà (25 ñì; 14 Í) ëèáî ðåøèì óðàâíåíèå àíàëèòè÷åñêè, ïîäñòàâèâ â ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ k Fmax − ∆xmax . 2 2 Fmax = 53

F1 =

Òîãäà ìàêñèìàëüíàÿ ñèëà:

Í.

Çàäà÷à 9-T3. Òÿíåì-ïîòÿíåì

Çà íåáîëüøîå âðåìÿ ∆t êîëå÷êî ïðîéäåò ðàññòîÿíèå v∆t, îñòàâèâ ïîçàäè ñåáÿ êóñî÷åê íèòè äëèíîé v∆t. Òàêîé æå ïî äëèíå êóñî÷åê íèòè äîëæåí îñâîáîäèòüñÿ èç-çà ïðèáëèæåíèÿ âòóëêè ê êîëå÷êó. Çíà÷èò, u(0)∆t = v∆t, è: u(0) = v.

Îòâåò íà âòîðîé âîïðîñ ìîæíî ïîëó÷èòü ðàçíûìè ñïîñîáàìè. Ïåðåéäåì â ñèñòåìó îòñ÷åòà, ñâÿçàííóþ ñ êîëå÷êîì.  ýòîé ÑÎ êîëå÷êî íåïîäâèæíî, à ó âòóëêè ïîÿâëÿåòñÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ñòåðæíþ (ñì. ðèñóíîê). Ïðè ýòîì îòíîñèòåëüíî òî÷êè C , âûáðàííîé âáëèçè êîëå÷êà, âòóëêà äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè. Ïðîåêöèè ñêîðîñòåé âòóëêè è òî÷êè C íà íàïðàâëåíèå ó÷àñòêà íèòè ìåæäó âòóëêîé è êîëüöîì äîëæíû êîìïåíñèðîâàòü äðóã äðóãà òàê, ÷òîáû äëèíà ýòîãî ó÷àñòêà îñòàâàëàñü ïîñòîÿííîé. Òî÷êà C äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v, ïîýòîìó: Ñïîñîá 1.

v = u sin α − v cos α.

u v m

Ïóñòü ðàññòîÿíèÿ îò âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà äî êîëå÷êà è äî âòóëêè ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî x è y. Òîãäà çàïèøåì ïîëíóþ äëèíó íèòè ñëåäóþùèì îáðàçîì: p Ñïîñîá 2.

x+

Âîçüì¼ì ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè:

x2 + y 2 = l.

xẋ + y ẏ ẋ + p = l˙ = 0; x2 + y 2

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

ẋ p ẏ = − ( x2 + y 2 + x); y v p 2 u = ( x + y 2 + x). y   1 1 + cos α 1 + =v . u=v sin α tg α sin α

Ðàññìîòðèì ìàëåíüêèé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ∆t. Êîëå÷êî ïðîøëî ðàññòîÿíèå v∆t, à âòóëêà u∆t. Ïðîåöèðóÿ ýòè ïåðåìåùåíèÿ íà îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé êîëå÷êî ñ íèòêîé, ïîëó÷èì ìàëåíüêîå èçìåíåíèå äëèíû êóñêà íèòè ìåæäó íèìè: Ñïîñîá 3.

∆R = v∆t cos α − u∆t sin α.

Êóñîê íèòè ìåæäó âåðøèíîé ïðÿìîãî óãëà è êîëå÷êîì óâåëè÷èëñÿ íà v∆t. Òàê êàê ïîëíàÿ äëèíà íèòè íå ìåíÿåòñÿ: (v cos α − u sin α + v)∆t = 0.

Îòêóäà: u=v

1 + cos α . sin α

Îòâåò íà òðåòèé âîïðîñ ìîæíî ïîëó÷èòü ðàçíûìè ñïîñîáàìè. Ñêîðîñòü âòóëêè ïðè å¼ äâèæåíèè ïî îêðóæíîñòè îòíîñèòåëüíî òî÷êè C ðàâíà: Ñïîñîá 1.

v sin α + u cos α = v

sin2 α + cos α(1 + cos α) 1 + cos α =v . sin α sin α

Íîðìàëüíàÿ êîìïîíåíòà óñêîðåíèÿ: an =

v 2 (1 + cos α)2 , sin2 α · R

l ãäå R = 1+cos α  äëèíà ó÷àñòêà íèòè ìåæäó âòóëêîé è òî÷êîé C . Ïîëíîå óñêîðåíèå âòóëêè a íàïðàâëåíî âäîëü ñòåðæíÿ, à an ÿâëÿåòñÿ åãî ïðîåêöèåé íà íèòü. Ïîýòîìó 2 3

a= Ñïîñîá 2.

an v (1 + cos α) = . sin α sin3 α · l

Âîñïîëüçóåìñÿ ïîëó÷åííîé â ïðåäûäóùåì ïóíêòå ñâÿçüþ u è v: u=

v p 2 l ( x + y 2 + x) = v . y y

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Âîçüì¼ì ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè îò ýòîãî âûðàæåíèÿ: ẏ v 2 l2 a = −vl 2 = 3 . y y

Òàê êàê íèòü íåðàñòÿæèìà: l=

y y l sin α + ⇒y= . sin α tg α 1 + cos α

Òîãäà: a=

Äàëåå ma = T sin α, îòêóäà

v 2 (1 + cos α)3 . sin3 α · l

T =m

v 2 (1 + cos α)3 . sin4 α · l

Ñèëà F , ïðèêëàäûâàåìàÿ ê êîëå÷êó, ðàâíà ñóììå ïðîåêöèé äâóõ ñèë íàòÿæåíèÿ íà ñòåðæåíü: 2 4 F = T + T cos α = m

v (1 + cos α) . l sin4 α

Çàäà÷à 9-T4. Íàãðåâ æèäêîñòè

Çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè îò òåìïåðàòóðû: ρ(t) = ρ0 −

3t0 − t ρ0 t − t0 · = ρ0 . 2 t0 2t0

(1)

Íà÷àëüíàÿ ìàññà mL0 æèäêîñòè â ëåâîì ñîñóäå: mL0 = 4Shρ0 = 4SHρ.

Ñëåäîâàòåëüíî ñîñóä áîëüøåãî ñå÷åíèÿ çàïîëíèòñÿ äîâåðõó, êîãäà ïëîòíîñòü â í¼ì óìåíüøèòñÿ äî ρ = 0,95ρ0 . Èç (1) ïîëó÷àåì: ρ = 0,95ρ0 ⇒ 3t0 − t1 = 1,9t0 ⇒ t1 = 1,1t0 .

Ïîñëå ýòîãî æèäêîñòü íà÷èíàåò ïåðåòåêàòü èç ëåâîãî (øèðîêîãî) ñîñóäà â ïðàâûé. Ïðè äîñòèæåíèè òåìïåðàòóðû t = 2t0 ìàññà mL æèäêîñòè â ëåâîì ñîñóäå ðàâíà: ρ mL = 4SH ·

= 2ρ0 SH.

Ïîëíàÿ ìàññà m æèäêîñòè èçíà÷àëüíî: m = (4S + S)hρ0 = 5S · 0,95Hρ0 = 4,75ρ0 SH.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Ñëåäîâàòåëüíî, ìàññà mR æèäêîñòè â ïðàâîì ñîñóäå ïîñëå íàãðåâà: mR = m − mL = 2,75ρ0 SH.

Òîãäà äàâëåíèå íà äíå: päíî =

mR g = 2,75ρ0 gH. S

Äàâëåíèå pê æèäêîñòè íà êðûøêó â ñîñóäå áîëüøåãî ñå÷åíèÿ íàéä¼ì èç ðàâåíñòâà äàâëåíèé: pê = päíî − 0,5ρ0 gH = 2,25ρ0 gH.

Ïîñêîëüêó îáú¼ì ëåâîãî ñîñóäà ôèêñèðîâàí (ïðè äîñòèæåíèè âûñîòû H ), óìåíüøåíèå ìàññû â í¼ì ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî óìåíüøåíèþ ïëîòíîñòè ïðè íàãðåâå. Ïðè íàãðåâå ëåâîãî ñîñóäà íà ìàëóþ âåëè÷èíó ∆t ïëîòíîñòü óìåíüøàåòñÿ íà ∆ρ, è â ïðàâûé ñîñóä ïåðåòåêàåò ìàññà: ∆m = 4SH ∆ρ, (2) òåìïåðàòóðà êîòîðîé ðàâíà òåêóùåé òåìïåðàòóðå t â ëåâîì ñîñóäå. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî íàãðåâàòåëü ñîîáùèë êîëè÷åñòâî òåïëîòû ìàññå ∆m óæå ïîñëå òîãî, êàê îíà ïåðåìåñòèëàñü â ïðàâûé ñîñóä. Òîãäà êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîñòóïàþùåå â ïðàâûé ñîñóä: Ñïîñîá 1.

∆Q = c∆m (t − t0 ) = 4cSH(t − t0 )∆ρ,

ãäå c  òåïëî¼ìêîñòü æèäêîñòè. Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ãðàôèêîì çàâèñèìîñòè ρ(t), òî ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî âåëè÷èíå ∆Q ïðîïîðöèîíàëüíà ïëîùàäü ïîëîñêè øèðèíîé ∆ρ è äëèíîé t−t0 (ñì. ðèñóíîê 1), äîìíîæåííîé íà 4cSH . Ïîëíîå êîëè÷åñòâî ¾ïåðåíåñ¼ííîé¿ â ïðàâûé ñîñóä òåïëîòû Q ïðîïîðöèîíàëüíî ïëîùàäè òðàïåöèè, ïîêàçàííîé íà ðèñóíêå 2, ñ äîìíîæåíèåì íà 4cSH . Òîãäà: Q = 0,99ρ0 t0 cSH.

ρ ρ0 ∆ρ ρ0 2 t − t0

t0

t 2t0

Ðèñ. 1

Ýòà òåïëîòà, ðàñïðåäåë¼ííàÿ ïî ìàññå mR = 2,75ρ0 SH , ïîâûñèò òåìïåðàòóðó ïðàâîãî ñîñóäà: tR = t0 +

Q 0,99ρ0 t0 cSH = t0 + . cmR c · 2,75ρ0 SH

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Èç (1) è (2) ïîëó÷èì, ÷òî ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû ëåâîãî ñîñóäà îò t1 = 1,1t0 äî t2 = 2t0 ìàññà, ïåðåòåêàþùàÿ â ïðàâûé ñîñóä, óâåëè÷èâàåòñÿ ðàâíîìåðíî ñ òåìïåðàòóðîé:

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Ñïîñîá 2.

∆m =

(1,1t0 ; 0,95ρ0 )

ρ0 ρ0 2

2SH · ∆t. t0

t 0 Ñëåäîâàòåëüíî, ðàñïðåäåëåíèå ìàññ ïî òåìïåðàòóðå ðàâíîìåðíîå, è ñðåäíÿÿ òåìïåðàòóðà ïðèõîäÿùèõ ïîðöèé æèäêîñòè ðàâíà ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó êîíöîâ èíòåðâàëà: 0

2t0

Ðèñ. 2

tñð =

t1 + t2 1,1t0 + 2t0 = = 1,55t0 . 2 2

Óðàâíåíèå òåïëîâîãî áàëàíñà äëÿ ïðàâîãî ñîñóäà:

mR0 c(tR − t0 ) + ∆mc(tR − tñð ) = 0,

ãäå mR0  íà÷àëüíàÿ ìàññà æèäêîñòè â ïðàâîì ñîñóäå. Îòñþäà: tR = Ñïîñîá 3.

mR0 t0 + ∆m tñð . mR0 + ∆m

Ìàëàÿ ìàññà, ïåðåòåêàþùàÿ ïðè âîçðàñòàíèè òåìïåðàòóðû íà dt: dm = −4SH dρ.

Èç (1): dρ ρ0 =− dt 2t0

dm =

Êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïåðåíîñèìîå ýòîé ìàññîé:

2ρ0 SH dt. t0

dQ = c(t − t0 ) dm = c(t − t0 )

Èíòåãðèðóåì îò t1 = 1,1t0 äî 2t0 : 2ρ0 SHc Q= t0

Ïîäñòàâëÿåì ïðåäåëû:

2t Z0

1,1t0

2ρ0 SH dt. t0

  2t0 2ρ0 SHc (t − t0 )2 (t − t0 ) dt = . t0 2 1,1t0

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Q=

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

2ρ0 SHc t20 − 0,01t20 · = 0,99ρ0 ct0 SH. t0 2

Äàëåå, êàê è â ïåðâîì ñïîñîáå:

tR = t0 +

Îêîí÷àòåëüíî:

Q . cmR

tR = 1,36t0 . Çàäà÷à 9-T5. Çâåçäà è òðåóãîëüíèê

Âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì íàëîæåíèÿ òîêîâ. Ïðåäñòàâèì äâà íåçàâèñèìûõ èñòî÷íèêà òîêà: îäèí ñîçäà¼ò òîê ñèëîé I0 , äðóãîé  ðåãóëèðóåìûé òîê I (ñì. ðèñóíîê 1). Ïðè ðàññòàíîâêå òîêîâ ó÷ò¼ì, ÷òî ÷àñòü öåïè äëÿ êàæäîãî èñòî÷íèêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñáàëàíñèðîâàííûé ìîñò. Ñïîñîá 1.

I 3

2I0 I0 3

I 3

2R R

2R 2R

I 6

I O 6

2R

4R

2R B

2R

I 2

4R I0

Ðèñ. 1

I0 6

2R

I0 6

I0 6

2R

B I0 6

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Ââåä¼ì òîêè I1 è I2 , äàëåå, ñ ó÷¼òîì ïåðâîãî è âòîðîãî ïðàâèë Êèðõãîôà âûðàçèì ÷åðåç íèõ òîêè âî âñåõ îñòàëüíûõ ó÷àñòêàõ ðàçâåòâë¼ííîé öåïè (ñì. ðèñóíîê 2). Çàïèøåì ïåðâîå ïðàâèëî Êèðõãîôà äëÿ óçëîâ A è B è ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé: Ñïîñîá 2.

I0

A 2I2 − 3I1

2I2 + 2I1 2R

2R

R I1

I2 − I1 4R

I2

( 2I2 + 2I1 + I1 = I0 + 2I2 − 3I1 , 3I2 − 2I1 + I2 − I1 + 2I2 − 3I1 = I.

2R C

( I1 = I0 /6, I2 = (I + I0 )/6.

B 3I2 − 2I1

2R

Çàìåòèì, ÷òî òîê I íèêàê íå âëèÿåò íà ñèëó òîêà ÷åðåç âåðõíèé ðåçèñòîð, ñëåäîâàòåëüíî:

Ðèñ. 2

I0 I + 2I0 3

∆Iâåðõ = 0.

Èçìåíåíèå ñèëû òîêà ÷åðåç íèæíèé ðåçèñòîð

2I − I0 6

2R

  I I0 ∆I ∆Iíèæí = ∆ + = . 2 6 2

Åäèíñòâåííûé ðåçèñòîð, ÷åðåç êîòîðûé òîêè îò äâóõ èñòî÷íèêîâ íàïðàâëåíû ïðîòèâîïîëîæíî,  ýòî ðåçèñòîð 2R ìåæäó óçëàìè A è B . Óñëîâèå îáíóëåíèÿ òîêà:

2R C

I0 I 6 6

2R

O I + I0 6

4R

2R

3I + I0 6

I /3 = I0 /6.

B I

Òàêèì îáðàçîì I ′ = I0 /2. Îòâåò íà ÷åòâåðòûé âîïðîñ ìîæíî ïîëó÷èòü ðàçíûìè ñïîñîáàìè. Ìîùíîñòü ìîæíî ðàññ÷èòàòü êàê ñóììó ìîùíîñòåé âîîáðàæàåìûõ èñòî÷íèêîâ òîêîâ I0 è I . Íàïðÿæåíèå ìåæäó óçëàìè B è C : Ðèñ. 3

Ñïîñîá 1.

I0 I UBC = ( + ) · 2R, 2 6

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

à ìåæäó óçëàìè A è C : I 2I0 UAC = ( + ) · R. 3 3

Òîãäà ñóììàðíàÿ òåïëîâàÿ ìîùíîñòü, âûäåëÿþùàÿñÿ â öåïè ðàâíà: 2 2 P (I) = UBC I + UAC I0 = RI 2 + II0 R + RI02 . 3 3

Òîò æå ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü êàê ñóììó òåïëîâûõ ìîùíîñòåé íà êàæäîì ðåçèñòîðå: Ñïîñîá 2.

2  2  2 I 2I0 I0 I I0 + + 2R + 2R + + 3 3 6 6 6  2  2  2 I I0 I I0 I + 2R − + 2R + . +4R 6 3 6 2 6 

P (I) = R

Ìèíèìóì âûðàæåíèÿ P (I) (âåðøèíà ïàðàáîëû) äîñòèãàåòñÿ ïðè: I∗ = −

I0 3

Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìèíèìàëüíàÿ ìîùíîñòü: Pmin = P (I ∗ ) =

5 2 RI . 9 0

Çàäà÷à 10-T1. Îïÿòü 45?

Ïîêà êàìåíü íå äîëåòåë äî ïðèòÿãèâàþùåãî ëó÷à, îí äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì ⃗g. Äàëüíîñòü ïîë¼òà êàìíÿ, áðîøåííîãî ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ v0 ïîä óãëîì α ê ãîðèçîíòó ðàâíà l0 =

2v02 sin α cos α v 2 sin 2α = 0 . g g

Ýòî âûðàæåíèå ïðèíèìàåò ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ïðè α = 45◦ , ñëåäîâàòåëüíî vm1 =

gl.

Íàïðàâèì îñü OX ãîðèçîíòàëüíî, à îñü OY  âåðòèêàëüíî ââåðõ; â êà÷åñòâå íà÷àëà îòñ÷¼òà O âûáåðåì ïîëîæåíèå Ãëþêà. Ëåâóþ è ïðàâóþ (ïî õîäó ïîë¼òà êàìíÿ) ãðàíèöû îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé ïðèòÿãèâàþùèì ëó÷îì, ïðîíóìåðóåì 1 è

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

ñîîòâåòñòâåííî (ñì. ðèñóíîê). ßñíî, ÷òî âíóòðè ëó÷à êàìåíü äâèæåòñÿ ñ óñêîðåíèåì −⃗g, è åñëè îí ïåðåñåêàåò ãðàíèöó 1 òàê, ÷òî ïðîåêöèÿ åãî ñêîðîñòè vy ≥ 0, òî êàìåíü äîñòèãíåò è ãðàíèöû 2. Ýòîìó ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèå

v0 sin α − gt1 ≥ 0,

ãäå t1 = l/(v0 cos α), à α  óãîë ìåæäó ⃗v0 è ãîðèçîíòîì. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷òîáû ïðîëåòåòü îáëàñòü, îãðàíè÷åííóþ ëó÷îì, íàñêâîçü, çàâåäîìî äîñòàòî÷íî ñêîðîñòè r ′ vm2 =

2gl . sin 2α

′ Ïðîâåðèì, ÷òî v2m < vm2 . Õàðàêòåðíàÿ äëÿ òàêîãî ñëó÷àÿ òðàåêòîðèÿ êàìíÿ ïðèâåäåíà íà ðèñóíêå. ż ó÷àñòîê ëåâåå ãðàíèöû 2 îáëàäàåò öåíòðàëüíîé ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãðàíèöû 1. Ïóñòü H  íàèáîëüøàÿ âûñîòà ïîäú¼ìà êàìíÿ íà ó÷àñòêå ñëåâà îò ëó÷à, à h  âûñîòà, íà êîòîðîé êàìåíü ïåðåñåêàåò ãðàíèöó 1.

⃗g

−⃗g

⃗v0 H −h

h α

X l

Òðàåêòîðèÿ êàìíÿ ïðè

v0 > vm1 îáëàäàåò öåíòðàëüíîé ñèììåòðèåé

Èç ñêàçàííîãî âûøå ñëåäóåò (ñì. ðèñóíîê), ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû êàìåíü äîñòèã ãðàíèöû 2, äîñòàòî÷íî H −h<h

h > H/2.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Èç çàêîíà ðàâíîóñêîðåííîãî äâèæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî v02 sin2 α , 2g h = y(l) = tg α · l − H=

g · l2 . 2 2v0 cos2 α

Òîãäà óñëîâèå h > H/2 ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê âèäó

8g 2 l2 8gl − · v02 + v04 < 0. 2 sin 2α sin 2α

Âûäåëèì â ýòîì âûðàæåíèè ïîëíûé êâàäðàò: 

4gl − v02 sin 2α

2 −

8g 2 l2 < 0. sin2 2α

Îòêóäà âûðàçèì v02 (íàïîìíèì, ÷òî íàñ èíòåðåñóþò çíà÷åíèÿ v02 < 2gl/ sin 2α, òàê ÷òî âûðàæåíèå â ñêîáêàõ ïîëîæèòåëüíî): v02 >

√ √ 4gl 2 2gl 2(2 − 2)gl − = . sin 2α sin 2α sin 2α

′ Ïðàâàÿ ÷àñòü ìåíüøå v2m è äîñòèãàåò ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ïðè α = 45◦ , ñëåäîâàòåëüíî

vm2 =

q p √ 2(2 − 2)lg ≈ 1,17lg.

Ãîðèçîíòàëüíàÿ êîìïîíåíòà ñêîðîñòè êàìíÿ íåèçìåííà, ñëåäîâàòåëüíî ó÷àñòêè ñëåâà îò ïðèòÿãèâàþùåãî ëó÷à è âíóòðè íåãî êàìåíü ïðîõîäèò çà îäíî âðåìÿ t0 = t1 =

l . v0 cos α

Íàéä¼ì ñêîðîñòü êàìíÿ ïðè ïåðåñå÷åíèè ãðàíèöû 2 ⃗v2 = ⃗v0 + ⃗g t0 − ⃗g t1 = ⃗v0 .

Èç ñîîáðàæåíèé ñèììåòðèè (ñì. ðèñóíîê) ñëåäóåò, ÷òî êàìåíü ïåðåñåêàåò ãðàíèöó 2 íà âûñîòå 2h. Âðåìÿ t2 , çà êîòîðîå îí ïîñëå ýòîãî óïàä¼ò íà çåìëþ, 2h + v0 sin α · t2 −

îòêóäà t2 =

v0 sin α + g

gt22 = 0, 2

v02 sin2 α 4h + . g2 g

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Y ⃗v2 = ⃗v0 1

⃗g

2 β=α

−⃗g

⃗v0

2h h

α O

X l

Êàìåíü ïåðåñåêàåò ãðàíèöó

2 ñî ñêîðîñòüþ ⃗v2 = ⃗v0

Ýòîìó ñîîòâåòñòâóåò ãîðèçîíòàëüíîå ñìåùåíèå v 2 sin 2α + l2 = v0 cos α · t2 = 0 2g

 2 2 v0 sin 2α 4hv02 cos2 α + . 2g g

Ïîäñòàâèì â ýòî âûðàæåíèå tg

h=l α−

è ïîëó÷èì v 2 sin 2α + l2 = 0 2g

gl2 2v02 cos2 α

 2 2 v0 sin 2α 2lv02 sin 2α + − 2l2 . 2g g

Âûäåëèì â ïîäêîðåííîì âûðàæåíèè ïîëíûé êâàäðàò v 2 sin 2α l2 = 0 + 2g

s 

v 2 sin 2α 2l + 0 2g

2 − 6l2 .

l2 ìîíîòîííî âîçðàñòàåò ïðè óâåëè÷åíèè sin 2α, ñëåäîâàòåëüíî äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ïðè α = 45◦ : lm2 =

v02 2g

s  +

2l +

v02 2g

2 − 6l2 .

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Èñêîìîå ðàññòîÿíèå Lm2 = 2l + lm2 . v2 Lm2 = 2l + 0 + 2g

s 

v2 2l + 0 2g

2 − 6l2 .

Ïîñêîëüêó è vm2 , √è Lm2 ñîîòâåòñòâóþò áðîñêó ïîä óãëîì â 45◦ , äîñòàòî÷íî ïîäñòàâèòü v02 = 2(2 − 2)gl â âûðàæåíèå äëÿ Lm2 . Ïîëó÷èì  Lm3 =

4−

 q √ 2 + 12 − 8 2 l

èëè ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé Lm3 = (2 +

2)l ≈ 3,41l.

Çàäà÷à 10-T2. Ðàñêðóòêà òðåíèåì

Ðàññìîòðèì ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà âàëèê è ïðàâûé äèñê âðàùàþòñÿ ñ ïîñòîÿííûìè óãëîâûìè ñêîðîñòÿìè Ω è ωx ñîîòâåòñòâåííî. Ââåä¼ì îñü Oy, íàïðàâëåííóþ âäîëü îñè ñèììåòðèè âàëèêà âëåâî, ñ íà÷àëîì â öåíòðå åãî ïðàâîãî îñíîâàíèÿ. Ñèëà òðåíèÿ, äåéñòâóþùàÿ íà ïðàâûé äèñê, ìåíÿåò ñâî¼ íàïðàâëåíèå â íåêîòîðîé òî÷êå ñ êîîðäèíàòîé yx . Íà ó÷àñòêå ñ êîîðäèíàòîé îò 0 äî yx ñêîðîñòü òî÷åê âàëèêà Ωr áîëüøå, ÷åì ñêîðîñòü òî÷åê äèñêà vx = ωx y, çíà÷èò ñèëà òðåíèÿ íà ýòîì ó÷àñòêå íàïðàâëåíà ïî ñêîðîñòè òî÷åê âàëèêà (¾îò íàñ¿). Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî íà ó÷àñòêå ñ êîîðäèíàòîé îò yx äî R, ñèëà òðåíèÿ íàïðàâëåíà ïðîòèâ ñêîðîñòè òî÷åê âàëèêà (¾íà íàñ¿). Ñèëà òðåíèÿ, äåéñòâóþùàÿ íà ó÷àñòêå äëèíîé ∆y, ðàâíà f ∆y, ãäå f  ñèëà òðåíèÿ, ïðèõîäÿùàÿñÿ íà åäèíèöó äëèíû. Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ òàêîé ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåë¼ííîé ñèëû ïðèëîæåíà ê ñåðåäèíå óêàçàííîãî îòðåçêà. Ñ ó÷¼òîì òîãî, ÷òî ñóììàðíûé ìîìåíò âíåøíåé ñèëû òðåíèÿ, äåéñòâóþùåé íà ïðàâûé äèñê, ðàâåí íóëþ, ïîëó÷àåì: f yx ·

yx R + yx = f (R − yx ) · . 2 2

Îòêóäà yx = R/ 2. Ñèëà òðåíèÿ, äåéñòâóþùàÿ íà âàëèê ñî ñòîðîíû ëåâîãî äèñêà ìåíÿåò ñâî¼ íàïðàâëåíèå â íåêîòîðîé òî÷êå ñ êîîðäèíàòîé y0 . Ïëå÷î ýòîé ñèëû ðàâíî r, à òàê êàê âàëèê ðàâíîìåðíî âðàùàåòñÿ, òî ñóììàðíûé ìîìåíò ñèëû òðåíèÿ, äåéñòâóþùåé íà âàëèê îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ òàêæå ðàâåí íóëþ, à çíà÷èò: f yx · r + f (2R − y0 ) · r = f (y0 − yx ) · r.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Îòêóäà y0 = yx + R = R/ 2 + R.  òî÷êàõ ñ êîîðäèíàòàìè yx è y0 , ãäå ñèëà òðåíèÿ ìåíÿåò íàïðàâëåíèå, ñêîðîñòè òî÷åê äèñêîâ ðàâíû ñêîðîñòè òî÷åê âàëèêà Ωr. Ñêîðîñòü òî÷êè ïðàâîãî äèñêà ñ êîîðäèíàòîé yx ðàâíà ωx · yx = ωx √R2 . Ñêîðîñòü òî÷êè ëåâîãî äèñêà ñ êîîðäèíàòîé y0 ðàâíà ω0 · (2R − y0 ) = ω0 · (R − √R2 ). Ñ ó÷¼òîì ýòîãî ωx √R2 = ω0 · (R − √R2 ) èëè √ ωx = ω0 ( 2 − 1). Çàäà÷à 10-T3. Êëåéêàÿ ëåíòà

Êîãäà ïðèëîæåííàÿ ñèëà F ïîñòîÿííà ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëåíèþ, óãîë íàêëîíà îòîðâàííîé ÷àñòè ëåíòû α òàêæå ïîñòîÿíåí. Åñëè âíåøíÿÿ ñèëà äîñòàòî÷íà ïî âåëè÷èíå è ïðèâîäèò ê îòðûâó ÷àñòè ëåíòû ìàëîé äëèíû ∆l, òî÷êà, ê êîòîðîé ïðèëîæåíà âíåøíÿÿ ñèëà, ïåðåìåùàåòñÿ íà ðàññòîÿíèå ∆x, ñîâåðøàÿ ïðè ýòîì ðàáîòó, êîòîðóþ ìîæíî ñâÿçàòü ñ âåëè÷èíîé σ è ïëîùàäüþ ëåíòû îòîðâàâøåéñÿ ÷àñòè ëåíòû ∆S = d · ∆l: ∆A = ∆x · F = σ · ∆S = σ · d · ∆l. (1) ∆x F⃗

∆l

è α:

Ïåðåìåùåíèå òî÷êè ïðèëîæåíèÿ ñèëû ∆x ìîæåò áûòü âûðàæåíî ÷åðåç ∆l ∆x = ∆l · (1 − cos α). (2)

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Ïîäñòàâëÿÿ (2) â (1), ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ñèëû F = F (α), íåîáõîäèìîé äëÿ îòðûâàíèÿ ëåíòû îò ñòîëà ïîä íåêîòîðûì óãëîì: F =

σd . 1 − cos α

Ñèëà ïðèíèìàåò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ïðè ìàêñèìàëüíîì çíàìåíàòåëå , òî åñòü ïðè α = π. Òåïåðü ðàññìîòðèì âòîðîé ñëó÷àé. Ñèëû íàòÿæåíèÿ ëåíòû è íèòè ðàâíû ïî ìîäóëþ, òàê ÷òî áóäåì èõ îáîçíà÷àòü T . Èç óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ ãðóçà T = mg. Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè ñèëà íàòÿæåíèÿ T íå ïðåâûøàåò ñèëó îòðûâà ëåíòû äëÿ óãëà α1 , òî ëåíòà íå áóäåò îòðûâàòüñÿ è ñèñòåìà áóäåò ïîêîèòüñÿ. Ìàêñèìàëüíàÿ ñèëà T , êîòîðàÿ ìîæåò áûòü äîñòèãíóòà ïðè ðàâíîâåñèè ñèñòåìû T = σd/(1 − cos α1 ). Òîãäà ìàññà ãðóçà ðàâíà 1 − cos α = 2

m=

σd ≈ 0,068 (1 − cos α1 ) · g

êã.

Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé äîáàâëåíèÿ ãðóçà ìàññîé M . Äëÿ íà÷àëà îïðåäåëèì äëèíó ó÷àñòêà ëåíòû ∆L, êîòîðûé îòîðâàëñÿ îò ñòîëà äî ìîìåíòà îñòàíîâêè ãðóçîâ. Åãî ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç âûñîòó áëîêà H è óãëû α1 è α2 : ∆L =

H H − ≈ 0,732 · H = 0,732 tg α2 tg α1

ì.

Äëÿ íàõîæäåíèÿ ∆h èñïîëüçóåì óñëîâèå íà ñîõðàíåíèå ïîëíîé äëèíû íèòè è ëåíòû (ââèäó èõ íåðàñòÿæèìîñòè): ∆L + L1 = L2 + ∆h,

ãäå L1 = H/ sin α1 è L2 = H/ sin α2  ýòî ðàññòîÿíèÿ îò áëîêà äî òî÷êè îòðûâà ëåíòû îò ñòîëà â íà÷àëüíûé è êîíå÷íûé ìîìåíò ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà H H H H − + − = tg α2 tg α1 sin α1 sin α2   1 − cos α1 1 − cos α2 =H − ≈ 0,146 · H = 0,146 sin α1 sin α2 ∆h =

ì. Ïîëîæåíèå, â êîòîðîì îñòàíîâèòñÿ ñèñòåìà, îïðåäåëÿåòñÿ çàêîíîì èçìåíåíèÿ ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè: èçìåíåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ãðóçà (êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ â êðàéíèõ ïîëîæåíèÿõ ðàâíà íóëþ) ðàâíî ðàáîòå ïî îòðûâó ëåíòû: (m + M )g · ∆h = A = σd∆L.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Îòñþäà

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

êã = 32 ã. Óñêîðåíèÿ ãðóçîâ â íà÷àëüíûé è êîíå÷íûé ìîìåíòû âðåìåíè íàõîäÿòñÿ èç âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà: M=

σd∆L − m ≈ 0,032 g∆h

(m + M )a1 = (m + M )g − T (α1 )

èëè (m + M )a1 = (m + M )g −

Èñêîìûå çíà÷åíèÿ: a1 = g −

σd . 1 − cos α1

σd ≈ 3,2 (m + M )(1 − cos α1 )

ì/ñ2 ,

ì/ñ2 . Çàìåòèì, ÷òî ïîñëå îñòàíîâêè óñêîðåíèÿ ãðóçîâ áóäóò ðàâíû íóëþ. a2 =

σd − g ≈ 4,9 (m + M )(1 − cos α2 )

Çàäà÷à 10-T4. Òðóáêà ñî ðòóòüþ

Ïóñòü ñìåùåíèå êîíöîâ ñòîëáèêà ðòóòè ïîñëå ïåðåâîðîòà òðóáêè ðàâíî h0 . Ðàçíîñòü äàâëåíèé âîçäóõà â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ òðóáêè ∆P = Pë − Pï óðàâíîâåøèâàåòñÿ èçáûòî÷íûì ãèäðîñòàòè÷åñêèì äàâëåíèåì ðòóòè 2ρgh0 . Èñïîëüçóÿ çàêîí Áîéëÿ-Ìàðèîòòà, íàéäåì: Pë = PÀ

òè:

l , l − h0

Pï = PÀ

l . l + h0

Çàïèøåì óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ ñòîëáèêà ðòóPÀ

l l − PÀ = 2ρgh0 . l − h0 l + h0

Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì: Ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ

2lh0 PÀ = 2ρgh0 . l2 − h20

s  h0 = 0, h0 = ±

 PÀ l l− . ρg

h0

Óñòàíîâëåíèå ðàâíîâåñèÿ

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Ïðè PÀ = 750 ìì ðò.ñò. > 625 ìì ðò.ñò. = ρgl ïîäõîäèò òîëüêî îäèí èç êîðíåé h0 = 0. Òàêèì îáðàçîì, ñðàçó ïîñëå ïåðåâîðîòà ñòîëáèê ðòóòè íå ñìåùàåòñÿ. Ïîíèæåíèå òåìïåðàòóðû äî 0,8 T0 ñîîòâåòñòâóåò èçìåíåíèþ íà÷àëüíîãî äàâëåíèÿ âîçäóõà (äàâëåíèÿ âîçäóõà â òðóáêå ñ çàïàÿííûìè êîíöàìè äî å¼ ïåðåâîðîòà) ñ PA äî P1 = 0,8 PA = ρgL1 , ãäå L1 = 0,8 · 750 ìì = 600 ìì.  ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò ðåøåíèå: s  h1 = l l −

P1 ρg

p p = l (l − L1 ) = 0,625 (0,625 − 0,600)

ì = 5l = 125 ìì.

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èìåííî ýòî ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóåò óñòîé÷èâîìó ïîëîæåíèþ ñòîëáèêà ðòóòè. Êîðåíü h1 = 0 ìì ñîîòâåòñòâóåò íåóñòîé÷èâîìó ïîëîæåíèþ, òî åñòü ïðè íåáîëüøîì ñìåùåíèè ñòîëáèêà ðòóòè èçáûòî÷íîå ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå ïðåâûøàåò ðàçíîñòü äàâëåíèé âîçäóõà â ëåâîì è ïðàâîì ó÷àñòêàõ òðóáêè è ðòóòü ñòðåìèòñÿ çàíÿòü ïîëîæåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå óñòîé÷èâîìó ïîëîæåíèþ. Ïîêàæåì, ÷òî êîðåíü h1 = 125 ìì ñîîòâåòñòâóåò óñòîé÷èâîìó ðàâíîâåñèþ. Ïóñòü îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñòîëáèê ðòóòè ñìåñòèëàñü äîïîëíèòåëüíî íà íåêîòîðîå ìàëîå ðàññòîÿíèå x, òîãäà äàâëåíèå ãàçà â ëåâîé ÷àñòè ñîñóäà: lP1 lP1 lP1 1 Pë (x) = = · x ≈ l − h1 − x l − h1 1 − l−h1 l − h1

x 1+ l − h1

! =

lP1 xlP1 . + l − h1 (l − h1 )2

Àíàëîãè÷íî äëÿ äàâëåíèÿ â ïðàâîé ÷àñòè ñîñóäà: Pï (x) =

lP1 lP1 xlP1 ≈ − . l + h1 + x l + h1 (l + h1 )2

Ñóììàðíàÿ ñèëà äàâëåíèÿ ãàçà, ñòðåìÿùàÿñÿ âåðíóòü ñòîëáèê ðòóòè â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ, ðàâíà  Fä (x) = (Pë − Pï )S ≈

lP1 lP1 − l − h1 l + h1 = Fä (0) +

 S+

1 1 + (l − h1 )2 (l + h1 )2

 xlP1 S =

2(l2 + h21 ) xlP1 S. (l2 − h21 )2

Ñèëà, ðàâíàÿ ðàçíîñòè ñèë òÿæåñòåé, äåéñòâóþùèõ íà ñòîëáèêè ðòóòè â ðàçíûõ ÷àñòÿõ ñîñóäà, ñòðåìèòñÿ âûâåñòè ñòîëáèê ðòóòè èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ: Fò (x) = ρS(l/4 + h1 + x) − ρS(l/4 − h1 − x) = 2ρgSh1 + 2ρgSx = Fò (0) + 2ρgSx.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Íàéäåì ðàçíîñòü âîçâðàùàþùåé è âûâîäÿùåé èç ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñèë ñ ó÷¼òîì ðàâåíñòâà Fä (0) = Fò (0) â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ: ∆F = Fä − Fò = 2

! (l2 + h21 )lL1 − 1 ρgSx. (l2 − h21 )2

Ïîäñòàâèâ â âûðàæåíèå êîðåíü h1 = 0, ïîëó÷èì: ∆F = Fä − Fò = 2

! (l2 + 02 )lL1 − 1 ρgSx = 2 (l2 − 02 )2

! L1 − 1 ρgSx = l

ìì − 1 ρgSx < 0, =2 ìì ò. å. ñóììàðíàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ñèñòåìó, áóäåò âûâîäèòü å¼ èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, è h1 = 0 ìì ñîîòâåòñòâóåò íåóñòîé÷èâîìó ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ. Ïîäñòàâèâ h1 = l/5, ïîëó÷èì: 600 625

∆F = Fäàâë − Fòÿæ = 2

=2

! (l2 + (l/5)2 )lL1 − 1 ρgSx = (l2 − (l/5)2 )2

ìì − 1 ρgSx = ìì

! 25 · 26 · L1 25 · 26 · 600 − 1 ρgSx = 2 2 24 · l 242 · 625 ! 26 − 1 ρgSx > 0, =2 24

ò. å. ñóììàðíàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ñèñòåìó, áóäåò ñòðåìèòüñÿ âåðíóòü å¼ â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ, è h1 = l/5 = 125 ìì ñîîòâåòñòâóåò óñòîé÷èâîìó ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ. Ðàñ÷¼ò ïî ïîëó÷åííîé ôîðìóëå äëÿ ñìåùåíèÿ ïðè íà÷àëüíîì äàâëåíèè P2 = 0,7 PA = ρgL2 , ãäå L2 = 0,7·750 ìì = 525 ìì, ñîîòâåòñòâóþùåãî òåìïåðàòóðå T2 = 0,7 T0 , äà¼ò ðåçóëüòàò: s 

P2 h2 = l l − ρg

p = 0,625 (0,625 − 0,525)

ì = 0,25 ì = 250 ìì = 2l5 > 4l .

Íî â ýòîì ñëó÷àå ñòîëáèê ðòóòè öåëèêîì ïåðåìåùàåòñÿ â îäíó èç ÷àñòåé òðóáêè è âûðàæåíèå äëÿ èçáûòî÷íîãî ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ 2ρgh2 äîëæíî áûòü çàìåíåíî íà ρgl/2.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Ïóñòü ñòîëáèê ðòóòè öåëèêîì ïåðåø¼ë â îäíó èç ÷àñòåé òðóáêè è åãî íèæíèé êîíåö ïåðåìåñòèëñÿ âíèç íà h2 , òîãäà â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ òðóáêè äàâëåíèå áóäåò ñîîòâåòñòâåííî ðàâíî: P ë = P2

l ρglL2 = , l − h2 l − h2

Pï = P2

ρglL2 l = . l + h2 l + h2

Óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ ñòîëáèêà âûãëÿäèò òåïåðü ñëåäóþùèì îáðàçîì: ρgl 2ρglL2 h2 . = l2 − h22 2

Ïîëó÷èì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå: h22 + 4L2 h2 − l2 = 0,

êîòîðîå èìååò êîðíè h2 = −2L2 ±

4L22 + l2 .

Îòáðîñèâ îòðèöàòåëüíûé êîðåíü, ïîëó÷àåì îòâåò: v u u h2 = t4 ·

T2 PA T0 ρg

!2 + l2 −

2T2 PA p = 4 · 0,5252 + 0,6252 T0 ρg

ìì−2·0,525 ìì ≈ 172 ìì.

Ïîêàæåì, ÷òî h2 ≈ 172 ìì ñîîòâåòñòâóåò óñòîé÷èâîìó ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ. Ïóñòü îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ðòóòü äîïîëíèòåëüíî ñìåñòèëàñü íà ìàëîå ðàññòîÿíèå x > 0, òîãäà äàâëåíèå ãàçà â ëåâîé ÷àñòè ñîñóäà: Pë (x) =

lP2 1 lP2 lP2 = · + ∆P1 , ∆P1 > 0. x = l − h2 − x l − h2 1 − l−h l − h2 2

Àíàëîãè÷íî íàõîäèì äàâëåíèå ãàçà â ïðàâîé ÷àñòè ñîñóäà: Pï (x) =

lP2 lP2 1 lP2 = · − ∆P2 , ∆P2 > 0. x = l + h2 + x l + h2 1 + l+h2 l + h2

Ñóììàðíàÿ ñèëà äàâëåíèÿ ãàçà, ñòðåìÿùàÿñÿ âåðíóòü ñòîëáèê ðòóòè â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ, ðàâíà  Fä = (Pë − Pï )S ≈

lP2 lP2 − l − h2 l + h2

 S + (∆P1 + ∆P2 ) S =

= Fä0 + (∆P1 + ∆P2 ) S.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Ñèëà òÿæåñòè íå èçìåíÿåòñÿ ïðè äâèæåíèè ñòîëáà æèäêîñòè âíóòðè îäíîé ÷àñòè ñîñóäà: Fò = ρSlg/2.

Íàéäåì ðàçíîñòü âîçâðàùàþùåé è âûâîäÿùåé èç ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñèë ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà Fä0 = Fò â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ: ∆F = Fä − Fò = (∆P1 + ∆P2 ) S > 0,

ò. å. ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà ïîëîæèòåëüíà è ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ óñòîé÷èâî. Çàäà÷à 10-T5. Òåðìèñòîð

Ïóñòü U0  íîìèíàëüíîå íàïðÿæåíèå èñòî÷íèêà. Òåïëîâàÿ ìîùíîñòü, âûäåëÿþùàÿñÿ íà òåðìèñòîðå, äîëæíà â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå ðàññåèâàòüñÿ â îêðóæàþùèé âîçäóõ. Ïîýòîìó U02 G(t) = k(t − tâ ), (*) ãäå t  ñîáñòâåííàÿ òåìïåðàòóðà òåðìèñòîðà, tâ  òåìïåðàòóðà âîçäóõà, à k  êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè â çàêîíå Íüþòîíà-Ðèõìàíà. Îïðåäåëÿÿ ïî ãðàôèêó çíà÷åíèå ïðîâîäèìîñòè ïðè òåìïåðàòóðå t = 29 ◦ C G(29 ◦ C) = 1,2 G25 è ïîäñòàâëÿÿ tâ = 27 ◦ C, ïîëó÷èì, ÷òî 1 k = 0,6 ◦ · U02 G25 .

C Ïóñòü òåïåðü òåìïåðàòóðà âîçäóõà ðàâíà t1 , à òåìïåðàòóðà òåðìèñòîðà, ñîîòâåòñòâåííî, (t1 + 1 ◦ C). Ïîäñòàâèì ýòè çíà÷åíèÿ â (∗): U02 G(t1 + 1 ◦ C) = k · 1 ◦ C ⇒ G(t1 + 1 ◦ C) = 0,6G25 . Äàííîå çíà÷åíèå ïðîâîäèìîñòè (òî÷êà 1 íà ðèñ.) ñîîòâåòñòâóåò òåìïåðàòóðå t1 + 1 ◦ C = 14 ◦ C, îòêóäà t1 = 13 ◦ C.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

G/G25

B 2

1 t, ◦

10

20

30

40

50

60

Ïóñòü òåïåðü tâ = 38,5 ◦ C. Òîãäà C

C C Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ðåøèì ãðàôè÷åñêè, ïîñòðîèâ ïðÿìóþ, çàäàííóþ ýòèì óðàâíåíèåì, ïîâåðõ äàííîãî â óñëîâèè ãðàôèêà (ïðÿìàÿ A íà ðèñ.). Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóåò òåìïåðàòóðå òåðìèñòîðà t = 42 ◦ C. Ïóñòü ïðè íàïðÿæåíèè èñòî÷íèêà 2U0 è òåìïåðàòóðå âîçäóõà tâ = 24 ◦ C, òåðìèñòîð â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå èìååò òåìïåðàòóðó t2 . Çàïèøåì óñëîâèå òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ äëÿ òåðìèñòîðà è ïîäñòàâèì â íåãî âûðàæåíèå äëÿ k: U02 G(t) = k(t − 38,5 ◦ )

G(t) 1 = 0,6 ◦ · (t − 38,5 ◦ ). G25

C C Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ñíîâà ðåøèì ãðàôè÷åñêè, ïîñòðîèâ ïðÿìóþ, çàäàííóþ ýòèì óðàâíåíèåì (ïðÿìàÿ B íà ðèñ.): t2 = 34 ◦ C, G(t2 ) = 1,5G25 . Îäíàêî ýêðàí ïðèáîðà áóäåò ïîêàçûâàòü íå çíà÷åíèå t2 , à ñîâåðøåííî äðóãîå ÷èñëî t∗ ̸= t2 ! Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî âñòðîåííûé êîìïüþòåð, ïåðåâîäÿùèé ïîêàçàíèÿ àìïåðìåòðà â çíà÷åíèå òåìïåðàòóðû, âûâîäèìîå íà ýêðàí íàñòðîåí 4U02 G(t2 ) = k(t2 − tâ )

G(t2 ) 1 = 0,15 ◦ · (t2 − 24 ◦ ). G25

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

íà íàïðÿæåíèå U0 . ×òîáû íàéòè ôîðìóëó äëÿ ïåðåñ÷¼òà, çàïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ ñèëû òîêà ÷åðåç òåðìèñòîð â äâóõ ñëó÷àÿõ: 1) íàïðÿæåíèå ðàâíî U0 , òåìïåðàòóðà ðàâíà t∗ ; 2) íàïðÿæåíèå ðàâíî 2U0 , òåìïåðàòóðà  t2 I1 = U0 G(t∗ ) è I2 = 2U0 G(t2 ). Ïðèðàâíèâàÿ èõ, ïîëó÷èì G(t∗ ) = 3. G25

G(t∗ ) = 2G(t2 )

Îòñþäà, ïî ãðàôèêó (òî÷êà 2 íà ðèñ.), îïðåäåëÿåì, ÷òî t∗ ≈ 51,5 ◦ C. Çàäà÷à 11-T1. Ïî îêðóæíîñòè è ïîáûñòðåå

⃗aτ

òð

F⃗

α ⃗an

 ðàìêàõ ïðåäïîëîæåíèé óñëîâèÿ ìàêñèìàëüíàÿ âåëè÷èíà ñèëà òðåíèÿ êîëåñ î ïîâåðõíîñòü äîðîãè ðàâíà |F⃗òð | = µN = µmg, ãäå m  ìàññà àâòîìîáèëÿ, è ïðè ýòîì åå ìîæíî íàïðàâèòü ëþáîì íàïðàâëåíèè â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè äîðîãè. Òàê êàê äðóãèå ãîðèçîíòàëüíûå ñèëû íà àâòîìîáèëü íå äåéñòâóþò, òî èìåííî ñèëà òðåíèÿ è ðàçãîíÿåò àâòîìîáèëü, è óäåðæèâàåò åãî íà íóæíîé òðàåêòîðèè. Ïóñòü α  óãîë ìåæäó ñêîðîñòüþ àâòîìîáèëÿ è íàïðàâëåíèåì ñèëû òðåíèÿ â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè (ñì. ðèñóíîê). Òîãäà óðàâíåíèÿ äëÿ êàñàòåëüíîé è öåíòðîñòðåìèòåëüíîé êîìïîíåíò óñêîðåíèÿ àâòîìîáèëÿ èìåþò âèä 

maτ = m dv dt2 = µmg · cos(α) man = m vR = µmg · sin(α)

 ⇒

dv dt = µg · cos(α) 2

v = µgR · sin(α)

(1)

Âèäíî, ÷òî ðàçãîí àâòîìîáèëÿ çàâåðøàåòñÿ dv/dt = 0 è ñêîðîñòü äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî âîçìîæíîãî çíà÷åíèÿ vm = √µgR = 20 ì/ñ ïðè α = 90◦ . Äàëåå óãîë α è ñêîðîñòü àâòîìîáèëÿ ïîääåðæèâàþòñÿ ïîñòîÿííûìè. Îòâåò íà âòîðîé âîïðîñ ìîæíî ïîëó÷èòü íåñêîëüêèìè ñïîñîáàìè. Óðàâíåíèå äëÿ êàñàòåëüíîé êîìïîíåíòû óñêîðåíèÿ ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: v · dv 1 d(v 2 ) d(v 2 ) = = µg · cos(α) ⇒ = 2µg · cos(α). v · dt 2 ds ds

(2)

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Çäåñü s  ïóòü, ïðîéäåííûé àâòîìîáèëåì îò ìîìåíòà ñòàðòà. Äàëåå ìîæíî äåéñòâîâàòü êàê ìèíèìóì òðåìÿ ïóòÿìè. Ïîäñòàâèâ â (2) êâàäðàò ñêîðîñòè èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ (1), íàõîäèì, ÷òî Ñïîñîá 1.

dα 2 d(sin(α)) = µgR · cos(α) = 2µg · cos(α) ⇒ dα = ds. ds ds R s = 0 α = 0

µgR

Íà ñòàðòå è , òî åñòü ïîñëå ñóììèðîâàíèÿ ïðèðàùåíèé â ýòîì ñîîòíîøåíèè îò ñòàðòà äî ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè â ïðîöåññå ðàçãîíà ïîëó÷àåì ñâÿçü óãëà α ñ ïðîéäåííûì àâòîìîáèëåì ðàññòîÿíèåì α(s) = 2s/R. Çíà÷èò, ðàçãîí çàâåðøèòñÿ â ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà α = π/2 ⇒ s = πR/4, òî åñòü òî÷íî â òî÷êå C . Âûðàçèâ sin(α) = v2 /µgR = (v/vm )2 è ïîäñòàâèâ ýòî ñîîòíîøåíèå â óðàâíåíèå (2), ïðèâîäèì åãî ê âèäó Ñïîñîá 2.

d(v 2 ) = 2µg · ds

 1−

v vm

4 .

Ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ y ≡ (v/vm )2 , è ïîëó÷èì óðàâíåíèå 2p 2 dy dy = 1 − y 2 ⇒ ds = p . ds R R 1 − y2

Èíòåãðèðóÿ åãî ïî ëþáîìó ó÷àñòêó ïóòè íà äóãå AC , íàõîäèì, ÷òî 2 s= R

2 (v /v Z m)

dy p

1 − y2

 = arcsin

v2 2 vm

2 ⇒ v 2 (s) = vm · sin

2s R

 .

Êàê âèäíî, ñêîðîñòü äîñòèãàåò ìàêñèìóìà ïðè s = πR/4, òî åñòü òî÷íî â òî÷êå C . Ñîñòàâèâ ñèñòåìó èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ â (1) è (2), ìîæíî ïîëó÷èòü èç íåå óðàâíåíèå äëÿ çàâèñèìîñòè v2 (s) íà ó÷àñòêå AC Ñïîñîá 3.

d(v 2 ) ds = 2µg · cos(α) 2

v = µgR · sin(α) ( 2 ⇒

( ⇒

d(v 2 ) ds = 2µg · cos(α) d(v 2 ) dα ds = µgR · cos(α) ds

d (v 2 ) dα ds2 = −2µg · sin(α) ds dα 2 ds = R

) ⇒

Äåéñòâèòåëüíî, ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèå äëÿ d2 (v2 )/ds2 ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ sin(α) è dα/ds, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

d2 (v 2 ) 4 + 2 v 2 = 0. ds2 R

Ñ ó÷åòîì óñëîâèé v2 (0) = 0 è (v2 )′s (0) = µgR ïðèõîäèì ê ðåøåíèþ 2

2 v (s) = vm · sin

2s R

 .

Êàê âèäíî, ñêîðîñòü äîñòèãàåò ìàêñèìóìà ïðè s = πR/4, òî åñòü òî÷íî â òî÷êå C . Òàêèì îáðàçîì, âî âðåìÿ çàåçäà ñ ìèíèìàëüíûì âðåìåíåì ïðîõîæäåíèÿ ïîëóîêðóæíîñòè ñêîðîñòü √ àâòîìîáèëÿ â òî÷êàõ C , D è B ðàâíà ìàêñèìàëüíîé: vC = vD = vB = vm = µgR = 20 ì/ñ. ßñíî, ÷òî âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ ó÷àñòêà ïîëóîêðóæíîñòè îò C äî B ðàâíî 3πR 3π tCB = = 4vm 4

R . µg

 çàâèñèìîñòè îò ñïîñîáà ðåøåíèÿ â ïóíêòå 2 äàëåå ìîæíî èñïîëüçîâàòü ðàçíûå ñïîñîáû ðåøåíèÿ è â ýòîì ïóíêòå. Èñêëþ÷èì óãîë α èç óðàâíåíèé (1): íà ó÷àñòêå AC Ñïîñîá 1.

v2 dv sin(α) = ⇒ = µg · µgR dt

 1−

v vm

4

dx vm ·√ = ⇒ dt = µg 1 − x4

R dx ·√ , µg 1 − x4

ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå x ≡ v/vm . Íà ýòîì ó÷àñòêå âåëè÷èíà x èçìåíÿåòñÿ îò 0 äî 1, è ïîýòîìó, â ñîîòâåòñòâèè ñ óêàçàíèåì èç óñëîâèÿ s tAC =

R · µg

Z1 0

òî:

Ñïîñîáû 2 è 3.

dx √ =β 1 − x4

ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå x ≡ sin

2s R

R . µg

Ïîñêîëüêó íà ó÷àñòêå AC v(s) = vm sin (2s/R) = ds/dt, ds 1 q = dt = vm sin 2s

= x2 ⇒ 2 cos

p 

R dx √ , µg 1 − x4

. Îòìåòèì, ÷òî

sin (2s/R)  2s ds ds x = 2xdx ⇒ =√ dx. R R R 1 − x4

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Íà ýòîì ó÷àñòêå âåëè÷èíà x èçìåíÿåòñÿ îò 0 äî 1, è ïîýòîìó, â ñîîòâåòñòâèè ñ óêàçàíèåì èç óñëîâèÿ s tAC =

R · µg

Z1 0

dx √ =β 1 − x4

R . µg

 èòîãå îáùåå âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ ïîëóîêðóæíîñòè AB  T = tAC + tCB =

3π β+ 4

s

R ≈ 14,7 . µg

Çàäà÷à 11-T2. Êëåéêàÿ ëåíòà

Ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 10-T3. Çàäà÷à 11-T3. Áûñòðûå ïîðøíè

Ïîñêîëüêó ïîðøíè ë¼ãêèå è ìîãóò ïåðåìåùàòüñÿ áåç òðåíèÿ, äàâëåíèå âíóòðè è ñíàðóæè îäèíàêîâîå (ðàâíî p0 ). Îáú¼ì ãàçà ïîä ïîðøíåì V = πr2 h, ãäå h  âûñîòà ðàñïîëîæåíèÿ ïîðøíÿ. Óðàâíåíèå Ìåíäåëååâà-Êëàïåéðîíà äëÿ ãàçà âíóòðè öèëèíäðà 2 p0 πr h = νRT.

Äëÿ ìàëûõ èçìåíåíèé âûñîòû è òåìïåðàòóðû p0 πr2 dh = νRdT,

ãäå dh = vdt. Èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû ãàçà ïðîèñõîäèò èçîáàðè÷åñêè. Óðàâíåíèå òåïëîâîãî áàëàíñà äëÿ ìàëîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè αh2πr(T0 − T )dt = νCp dT . Èç òð¼õ çàïèñàííûõ óðàâíåíèé íàõîäèì ñâÿçü ñêîðîñòè è òåìïåðàòóðû: v=

针֌

2ανR2 · T (T0 − T ). πCp p20 r3

v(T ) = aT (T0 − T ),

ãäå a = (2ανR2 )/(πCp p20 r3 ) = const. Ãðàôè÷åñêîå îòîáðàæåíèå ïîëó÷åííîé çàâèñèìîñòè  ïàðàáîëà, ïåðåñåêàþùàÿ îñü àáñöèññ â òî÷êàõ 0 è T0 . Äëÿ ãîðÿ÷åãî öèëèíäðà ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ñêîðîñòè äîñòèãàåòñÿ â íà÷àëüíîé òî÷êå äâèæåíèÿ ïðè T = Tã è ðàâíî ïî ìîäóëþ vãmax = aTã (Tã − T0 ).

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

v max T0

T0 /2

−v max

Äëÿ õîëîäíîãî öèëèíäðà ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ñêîðîñòè íå îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî. Ïðè Tõ ⩾ T0 /2 îíî òàêæå äîñòèãàåòñÿ â íà÷àëüíîé òî÷êå äâèæåíèÿ ïðè T = Tõ è ðàâíî max = aTõ (T0 − Tõ ).

võ

Åñëè Tõ < T0 /2, òî ìàêñèìóì ñêîðîñòè ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèþ T = T0 /2 (âåðøèíà ïàðàáîëû) è ðàâåí max 2 võ

= aT0 /4.

Ïðèðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ äëÿ ñêîðîñòåé vãmax = võmax , íàõîäèì èñêîìîå. Ïðè Tõ ⩾ T0 /2 ïîëó÷èì Tã (Tã − T0 ) = Tõ (T0 − Tõ ). Ðåøàåì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå (îòíîñèòåëüíî Tã ): Tã2 − Tã T0 − Tõ (T0 − Tõ ) = 0,

îñòàâëÿåì òîëüêî ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü. Èòàê: p 2 Tã =

T0 + 4Tõ (T0 − Tõ ) . 2 Tã (Tã − T0 ) = T02 /4 T0 +

. Ðåøàåì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå

Ïðè Tõ < T0 /2 ïîëó÷èì (îòíîñèòåëüíî Tã ): 2

Tã − Tã T0 − T02 /4 = 0,

îñòàâëÿåì òîëüêî ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü. Èòàê:

√ 1+ 2 Tã = T0 · . 2 √  1 + 2   T0 · , Tõ < T0 /2;  2 Tã = p 2    T0 + T0 + 4Tõ (T0 − Tõ ) , Tõ ⩾ T0 /2. 2

åñëè

åñëè

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Çàäà÷à 11-T4. Çàðÿä íà ðåçèíêå

⃗ B ⃗v

óïð

F⃗

α 90◦ − α

Ëîð

F⃗

Ïóñòü îñü x ãîðèçîíòàëüíà è íàïðàâëåíà îò ñïèöû, îñü y íàïðàâëåíà ââåðõ âäîëü ñïèöû. Íà÷àëî êîîðäèíàò íàõîäèòñÿ ê òî÷êå íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ çàðÿäà. Çàïèøåì ïðîåêöèè âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà: 

mẍ = −kx + qvB cos (90◦ − α), mÿ = −qvB sin (90◦ − α).

Ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ: 

mẍ = −kx + qvB sin (α), mÿ = −qvB cos (α). 

mẍ = −kx + qB ẏ, mÿ = −qB ẋ.

Ñïîñîá 1.

Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî âðåìåíè ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû. Òîãäà ... m x = −k ẋ + qB ÿ, ...x + k + qB 2 ẋ = 0. "

Îáîçíà÷èì β 2 = mk + qB : m 

 #

2

...x + β 2 ẋ = 0.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Îòêóäà Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ:

ẋ(t) = C1 cos (βt) + C2 sin (βt) .

Òàêèì îáðàçîì,

Çàìåòèì, ÷òî

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

ẋ(0) = v0 ⇒ C1 = v0 , ẍ(0) = 0 ⇒ C2 = 0.

    

ẋ(t) = v0 cos (βt), x(t) = vβ0 sin (βt), 0 ẏ(t) = −qBv  mβ sin (βt),    y(t) = qBv0 (cos (βt) − 1). mβ 2 x(t)

!2

v0 β

0 y(t) + qBv mβ 2

!2 = 1.

qBv0 mβ 2

Òî åñòü óðàâíåíèå òðàåêòîðèè ïðè íàòÿíóòîé ðåçèíêå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýëëèïñ ñ öåíòðîì â  (x0 ,y0 ) =

0, −

áîëüøîé ïîëóîñüþ a=

ìàëîé ïîëóîñüþ b=

qBv0 mβ 2

 =

 0, −

qBmv0 km + (qB)2

 ,

mv0 v0 =p = Rγ, β km + (qB)2

qBv0 qBmv0 = = Rγ 2 , mβ 2 km + (qB)2

mk < 1. ãäå R = mv0 /qB è γ = 1 1 + (qB) Îäíàêî ïðè íåäåôîðìèðîâàííîì øíóðå (òî åñòü êîãäà êîîðäèíàòà x áóäåò ìåíüøå 0) çàðÿä áóäåò äâèãàòüñÿ ïî äóãå îêðóæíîñòè ðàäèóñà R = (mv0 )/(qB). Èç mÿ = −qB ẋ ïîëó÷èì:

q

Ñïîñîá 2.

dvy = −

qB dx = −Ωdx. m

Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî â íà÷àëå äâèæåíèÿ vy = 0, x = 0 è ñóììèðóÿ ìàëûå èçìåíåíèÿ ýòèõ âåëè÷èí, ïîëó÷àåì, ÷òî vy = −Ωx.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

t=T 2 (R − b)

t=0 l0

2b

Ñèëà Ëîðåíöà íå ñîâåðøàåò ðàáîòû, è, ñîãëàñíî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè: m(vx 2 + vy 2 ) kx2 mv0 2 = + . 2 2 2

Îòêóäà: vx 2 = v0 2 − (Ω2 +

ãäå β 2 = Ω2 + mk . Âûðàçèì: Îòêóäà:

k 2 )x = v0 2 − β 2 x2 , m

dy vy Ωx = =p . 2 dx vx v0 − β 2 x 2

p Ω xdx √ = γd( a2 − x2 ), β a2 − x2 q q  2 mk a = v0 /β = (mv0 ) km + (qB) γ = Ω/β = 1 1 + (qB) 2 < 1. dy = −

ãäå

è Ñóììèðóÿ ìàëûå èçìåíåíèÿ ýòèõ âåëè÷èí, ïîëó÷èì: p y − 0 = γ( a2 − x2 − a)

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Îòêóäà:

y + γa γa

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

2 +

 x 2 a

= 1.

Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ýòî óðàâíåíèå ýëëèïñà. p Êîîðäèíàòû öåíòðà ýëëèïñà , åãî áîëüøàÿ ïîëóîñü ðàâíà a = (mv0 ) km + (qB)2 = Rγ , à ìàëàÿ b = . Ýòî óðàâíåíèå îïèñûâàåò òðàåêòîðèþ âïëîòü äî âîçâðàùåíèÿ äëèíû ðåçèíêè ê èñõîäíîé. Äàëåå çàðÿä ïîïàäàåò â îáëàñòü, ãäå ðåçèíêà ïðîâèñàåò, è îí äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñà R = v0 /Ω = mv0 /qB äî âîçâðàùåíèÿ äëèíû ðåçèíêè ê èñõîäíîé, ïîñëå ÷åãî ðåçèíêà íàòÿãèâàåòñÿ è äâèæåíèå ïîâòîðÿåòñÿ. Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû mÿ = −qB ẋ ïîëó÷èì:

(0, − γa)  γa = (qBmv0 ) km + (qB)2 = Rγ 2

Ñïîñîá 3.

dvy = −

qB dx = −Ωdx. m

Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî â íà÷àëå äâèæåíèÿ vy = 0, x = 0 è ñóììèðóÿ ìàëûå èçìåíåíèÿ ýòèõ âåëè÷èí, ïîëó÷àåì, ÷òî vy = −Ωx.

Ïîäñòàâèì ýòî â ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû: mẍ = −kx − qBΩx.   k ẍ = − + Ω2 x m

Îáîçíà÷èì β 2 = Ω2 + mk . x = C1 cos(βt) + C2 sin(βt)

Èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé: 

x(0) = 0 ⇒ C1 = 0, ẋ(0) = v0 ⇒ C2 = vβ0 . x=

Ïîäñòàâèì â âûðàæåíèå äëÿ vy :

v0 sin(βt) β

ẏ = −Ωx = −

Ωv0 sin(βt). β

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷àåì: y=

Çàìåòèì, ÷òî x(t)

Ωv0 (cos(βt) − 1) . β2

!2 +

v0 β

0 y(t) + qBv mβ 2

qBv0 mβ 2

!2 = 1.

Òî åñòü óðàâíåíèå òðàåêòîðèè ïðè íàòÿíóòîé ðåçèíêå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýëëèïñ ñ öåíòðîì â  (x0 ,y0 ) =

0, −

áîëüøîé ïîëóîñüþ a=

ìàëîé ïîëóîñüþ b=

qBv0 mβ 2

 =

 0, −

qBmv0 km + (qB)2

 ,

mv0 v0 =p = Rγ, β km + (qB)2

qBmv0 qBv0 = = Rγ 2 , mβ 2 km + (qB)2

mk ãäå R = mv0 /qB è γ = 1 1 + (qB) < 1. Îäíàêî ïðè íåäåôîðìèðîâàííîì øíóðå (òî åñòü êîãäà êîîðäèíàòà x áóäåò ìåíüøå 0) çàðÿä áóäåò äâèãàòüñÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñà R = mv0 /qB . Ïðè ïîëîæèòåëüíîì óäëèíåíèè øíóðà ∆x >p0 òðàåêòîðèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ ýëëèïñà ñ áîëüøîé è ìàëîé ïîëóîñÿìè: a = mv0 / km + (qB)2 , b = qBmv0 /(km + (qB)2 ). Ïðè íåíàòÿíóòîì øíóðå ∆x = 0 òðàåêòîðèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ îêðóæíîñòè ñ ðàäèóñîì R = mv0 /qB .  öåëîì òðàåêòîðèÿ ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíî ÷åðåäóþùèõñÿ ïîëîâèíîê ýëëèïñà è îêðóæíîñòè, êîòîðûå áåç èçëîìà è áåç ðàçðûâà ïåðåõîäÿò äðóã â äðóãà ïðè x = 0. Îïðåäåëèì ïåðèîä äâèæåíèÿ çàðÿäà:

q

  πm  π π qB + 1 . T =r  2 + qB = qB q 2 qB k m km + (qB) m + m

Òîãäà äðåéôîâàÿ ñêîðîñòü u=

2 (R − b) = T

2kmv0  . q 2 2 km + (qB) qB + km + (qB)

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Çàäà÷à 11-T5. Öèëèíäð

Çàìåòèì, ÷òî ïî óñëîâèþ ôîòîãðàôèðîâàíèå ïðîèñõîäèò ñ áîëüøîãî ðàññòîÿíèÿ, ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî óâåëè÷åíèå öèëèíäðà â íàïðàâëåíèè åãî îñè îòñóòñòâóåò. Äîïîëíèòåëüíî ìîæíî óáåäèòüñÿ â ýòîì, ïðîâåðèâ, ÷òî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ëèíèé ìèëëèìåòðîâêè è èõ èçîáðàæåíèé ëåæàò ïðèìåðíî íà îñè öèëèíäðà. Òåïåðü èññëåäóåì óâåëè÷åíèå äëÿ ïàðàêñèàëüíûõ ëó÷åé â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì îñè öèëèíäðà. Ïóñòü ðàññòîÿíèå îò îñè öèëèíäðà äî ïëîñêîñòè ðàâíî h. Áóäåì ñ÷èòàòü åãî ïîëîæèòåëüíûì, åñëè îñòàëîñü áîëüøå ïîëîâèíû öèëèíäðà. Ðàññìîòðèì òî÷êó, ñìåù¼ííóþ îò ïëîñêîñòè ñèììåòðèè ñèñòåìû íà ìàëîå ðàññòîÿíèå x. Íàéä¼ì ïîëîæåíèå å¼ èçîáðàæåíèÿ, îáðàçîâàííîãî ïàðàêñèàëüíûìè ëó÷àìè. γ

β R

h α x y H

Γx

Èç çàêîíà ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà ïîëó÷àåì: γ = nβ =

nx . h+R

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Çàïèøåì ãåîìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ. x(h + H) nx(h + H + R) = Γx = . h h+R

Âûðàçèì è ïîäñòàâèì çíà÷åíèå H .

H = h(Γ − 1) Γ(h + R) = n (Γh + R) .

Ïîëó÷àåì èñêîìîå óâåëè÷åíèå: Γ=

nR . R − (n − 1)h

Çàìåòèì, ÷òî ìû âèäèì íå âñþ ìèëëèìåòðîâêó, êîòîðóþ çàêðûâàåò öèëèíäð. Òàêîå ìîæåò áûòü òîëüêî â ñëó÷àå h > 0, òî åñòü îòðåçàëè ìåíüøå ïîëîâèíû öèëèíäðà. Ïî ôîòîãðàôèè âèäíî, ÷òî îáëàñòü âèäèìîñòè îãðàíè÷èâàþò ëó÷è, èäóùèå ïî êàñàòåëüíîé ê öèëèíäðó.

θ d

2R

Èç çàêîíà ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà èìååì: cos θ =

1 , n

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

d = 2 (R − htgθ) , √ d h n2 − 1 =1− . 2R R

Òåïåðü äîñòàòî÷íî èçìåðèòü ïî ôîòîãðàôèè Γ è d/R. Òîãäà ó íàñ áóäåò ñèñòåìà èç äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè.

Ïðîâåä¼ì îñü öèëèíäðà, âåðòèêàëüíóþ ëèíèþ ìèëëèìåòðîâêè è êàñàòåëüíóþ ê å¼ èçîáðàæåíèþ â òî÷êå íà îñè öèëèíäðà. Îòðåçîê CA  ïåðïåíäèêóëÿð èç òî÷êè êàñàòåëüíîé íà îñü öèëèíäðà. Òîãäà óâåëè÷åíèå ìîæíî íàéòè ïî ôîòîãðàôèè: Γ=

AC ≈ 2,0. AB

Äëÿ ïîèñêà îáëàñòè âèäèìîñòè ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ïîäîáèåì: äëÿ ëþáîé ïðÿìîé ìîæåì îïðåäåëèòü, êàêóþ å¼ ÷àñòü âèäíî ÷åðåç öèëèíäð. Âîñïîëüçóåìñÿ ãîðèçîíòàëüíîé ëèíèåé íà ìèëëèìåòðîâêå: çàêðûòî öèëèíäðîì 22 ìì, âèäíî ÷åðåç öèëèíäð 9 ìì. d ≈ 0,41. 2R

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Äëÿ óäîáñòâà ââåä¼ì îáîçíà÷åíèå ξ = h/R. n ; 1 − (n − 1)ξ √  0,41 = 1 − ξ n2 − 1 .  

2=

ξ=√

0,59 2−n . = 2 2(n − 1) n −1

Ïîëó÷èëè óðàâíåíèå íà n, êîòîðîå ìîæíî ðåøèòü ÷èñëåííî: n = 1,48. Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå â ôîðìóëû äëÿ ξ, ïîëó÷àåì: ξ = 0,54.

Ïðè ýòîì èñêîìàÿ âåëè÷èíà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ξ: y R−h = = 1 − ξ = 0,46. R R

Задания и решения — прак.

Ìèíèñòåðñòâî ïðîñâåùåíèÿ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè Öåíòðàëüíàÿ ïðåäìåòíî-ìåòîäè÷åñêàÿ êîìèññèÿ Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå

Âñåðîññèéñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå Ðåãèîíàëüíûé ýòàï Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

Ìîñêâà, 2026 ã.

Êîìïëåêò çàäà÷ ïîäãîòîâëåí öåíòðàëüíîé ïðåäìåòíî-ìåòîäè÷åñêîé êîìèññèåé Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå E-mail: physolymp@gmail.com

Àâòîðû çàäà÷ Òåîðåòè÷åñêèé òóð 7-9 êëàññ

10-11 êëàññ

ˆ 7-E1. Äåíèñ Ðóáöî⠈ 10-E1. Àëåêñàíäð Àïîëîíñêèé, Äåíèñ Ïåðåâîùèêî⠈ 7-E2. Èãîðü Ãîâîðóí ˆ 10-E2. Àëåêñàíäð Àïîëîíñêèé, ˆ 8-E1. Äåíèñ Ðóáöî⠈ 8-E2. Èãîðü Ãîâîðóí, Îëüãà Èíèøå- Èâàí Ãóðüÿíîâ, Àëåêñàíäð Âîðîíöîâ âà ˆ 11-E1. Àëåêñàíäð Àïîëîíñêèé, Äåˆ 9-E1. Äåíèñ Ðóáöî⠈ 9-E2. Àëåêñàíäð Àïîëîíñêèé, Àí- íèñ Ïåðåâîùèêî⠈ 11-E2. Àëåêñàíäð Àïîëîíñêèé, òîí Âåðãóíîâ Êîíñòàíòèí Ñîëîìàòèí

Êàê ãîòîâèòüñÿ ê ðåãèîíàëüíîìó ýòàïó?

 ÌÔÒÈ çàïóùåí êëàññíûé ïðîåêò ¾Ôèçòåõ-ðåãèîíàì¿ (https://os.mipt.ru), ãäå â ïóáëè÷íîì áåñïëàòíîì äîñòóïå ëåæàò ëåêöèè è ñåìèíàðû ïî âñåì êëàññàì è ïî âñåì òåìàì. Òàì æå âûëîæåíû ïîäáîðêè çàäà÷ ïî òåìàì. Óðîâåíü ìàòåðèàëîâ ïîçâîëÿåò õîðîøî ïîäãîòîâèòüñÿ ê ìóíèöèïàëüíîìó è ðåãèîíàëüíîìó ýòàïó Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå.  ýòîì ãîäó â ðàìêàõ ðàáîòû ïðîåêòà ñíÿòû âèäåîðåøåíèÿ (https://os-lms.mipt.ru/course/view.php?id=21) ýêñïåðèìåíòàëüíîãî òóðà ðåãèîíàëüíîãî ýòàïà Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå. Èñïîëüçóéòå ýòè ìàòåðèàëû äëÿ ñàìîïîäãîòîâêè ê áóäóùèì îëèìïèàäàì.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

7 êëàññ Çàäà÷à 1. Çàêðûòàÿ áóòûëî÷êà

Âàì âûäàíà ïðîçðà÷íàÿ áóòûëî÷êà. Áóòûëî÷êà ÷àñòè÷íî çàïîëíåíà âîäîé è ïëîòíî çàêðûòà ïðîáêîé. Îáúåì âîäû Vâîäû = 30,0 ìë. Îòêðûâàòü ïðîáêó ñòðîãî 3 çàïðåùåíî. Ïëîòíîñòü âîäû èçâåñòíà è ðàâíà ρ0 = 1000 êã/ì . Ìàññîé è îáúåìîì ïðîáêè è çàâîäñêîé ýòèêåòêè (ïðè íàëè÷èè) ìîæåòå ïðåíåáðå÷ü. Îöåíêà ïîãðåøíîñòåé â çàäà÷å íå òðåáóåòñÿ. 1. Îïðåäåëèòå ïîëíóþ âìåñòèìîñòü (âíóòðåííèé îáúåì) Vâíó çàêðûòîé ïðîáêîé áóòûëî÷êè, à òàêæå ïëîùàäü ñå÷åíèÿ Sâíó âíóòðåííåé öèëèíäðè÷åñêîé ÷àñòè áóòûëî÷êè. 2. Îïðåäåëèòå ïëîùàäü ñå÷åíèÿ Sâíå âíåøíåé öèëèíäðè÷åñêîé ÷àñòè áóòûëî÷êè. 3. Îïðåäåëèòå ìàññó ïóñòîé áóòûëî÷êè m. 4. Îïðåäåëèòå ïëîòíîñòü ñòåêëà ρ, èç êîòîðîãî èçãîòîâëåíà áóòûëî÷êà. Îáîðóäîâàíèå: ñòåêëÿííàÿ áóòûëî÷êà, ñîäåðæàùàÿ 30,0 ìë âîäû è çàêðûòàÿ ïðîáêîé; ýëåêòðîííûå âåñû; äåðåâÿííàÿ ëèíåéêà; íèòü; øïðèö 20 ìë; 2 ïëàñòèêîâûõ ñòàêàí÷èêà, ÷àñòè÷íî çàïîëíåííûå âîäîé; 2 ñàìîêëåÿùèõñÿ öåííèêà; ñàëôåòêè äëÿ ïîääåðæàíèÿ ÷èñòîòû. Çàäà÷à 2. Óòêè â øïðèöå Îáîðóäîâàíèå: øïðèö îáú¼ìîì 20 ìë, â êîòîðîì íàõîäÿòñÿ íåñêîëüêî ìèíè-

ôèãóðîê; âåñû ýëåêòðîííûå; ¼ìêîñòü ñ íåèçâåñòíîé æèäêîñòüþ; ñàëôåòêè äëÿ ïîääåðæàíèÿ ÷èñòîòû. Âàæíàÿ èíôîðìàöèÿ:

ˆ Ìàññà øïðèöà áåç ôèãóðîê mø = 10,98 ã (ìàññà âàøåãî øïðèöà ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò óêàçàííîé, å¼ äîëæíû ñîîáùèòü îðãàíèçàòîðû). ˆ Ìàññà øïðèöà óêàçàíà ñ ó÷¼òîì ìàññû ñàìîðåçà. ˆ Ðàçáèðàòü øïðèö è ÷òî-ëèáî äîñòàâàòü îòòóäà â ïðîöåññå âûïîëíåíèÿ ðàáîòû êàòåãîðè÷åñêè çàïðåùàåòñÿ. ˆ Ïî îêîí÷àíèè ðàáîòû øïðèö ñ ôèãóðêàìè ìîæíî çàáðàòü ñ ñîáîé. 1. Ïîíåìíîãó íàáèðàéòå íåèçâåñòíóþ æèäêîñòü â øïðèö. Ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîëó÷èòå çàâèñèìîñòü ìàññû øïðèöà îò îáúåìà íàáðàííîé â øïðèö æèäêîñòè (èëè îò ïîëíîãî îáúåìà ñîäåðæèìîãî ïîä ïîðøíåì) (íå ìåíåå 7 òî÷åê). Âàæíî! Íå êëàäèòå ìîêðûé øïðèö íà âåñû  æèäêîñòü ìîæåò ïîïàñòü âíóòðü ïðèáîðà è ïîâðåäèòü åãî. Ïåðåä âçâåøèâàíèÿìè ïðîòèðàéòå øïðèö ñàëôåòêàìè íàñóõî! 2. Ïîñòðîéòå ãðàôèê ïîëó÷åííîé çàâèñèìîñòè. 3. Ïðè ïîìîùè ïîñòðîåííîãî ãðàôèêà îïðåäåëèòå ïëîòíîñòü íåèçâåñòíîé æèäêîñòè. 4. Îïðåäåëèòå ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà, èç êîòîðîãî èçãîòîâëåíû ìèíè-ôèãóðêè.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

8 êëàññ Çàäà÷à 1. Øïðèö

Âàì âûäàí øïðèö îáú¼ìîì 10 ìë áåç èãëû. Ìàññà öèëèíäðè÷åñêîé ÷àñòè áåç ïîðøíÿ ðàâíà m1 , ìàññà ïîðøíÿ  m2 (ñì. ðèñóíîê). Êîîðäèíàòó öåíòðà ìàññ öèëèíäð, m1 ïîðøåíü, m2 ñèñòåìû ¾öèëèíäð + ïîðøåíü + ñîäåðæèìîå¿ áóäåì îáîçíà÷àòü xCi è îòñ÷èòûâàòü âäîëü øêàëû øïðèöà â ìë. 1. Èçìåðüòå çàâèñèìîñòü (íå ìåíåå 10 òî÷åê) êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ ñèñòåìû xC1 (â ìë) îò ïîêàçàíèé øïðèöà V  îáú¼ìà âîçäóõà â í¼ì (â ìë). Ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè xC1 (V ) è îïðåäåëèòå ïî íåìó îòíîøåíèå ìàññ m1 /m2 . 2. Ïîâòîðèòå èçìåðåíèÿ, çàïîëíÿÿ øïðèö âîäîé îáú¼ìîì V . Äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ V îïðåäåëèòå êîîðäèíàòó öåíòðà ìàññ xC2 (íå ìåíåå 10 òî÷åê). Ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè xC2 (V ) íà òîé æå êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, ÷òî è â ïóíêòå 1. Îïðåäåëèòå ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå xmin C2 . 3. Ïîëó÷èòå âûðàæåíèå, ñâÿçûâàþùåå ìåæäó ñîáîé xC1 (V ) è xC2 (V )  êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ øïðèöà â ñëó÷àÿõ, êîãäà âíóòðè íåãî V ìë âîçäóõà èëè âîäû ñîîòâåòñòâåííî.  ïîëó÷åííîì âûðàæåíèè äîëæíû ñîäåðæàòüñÿ ëèøü m1 , m2 , V , xC1 , xC2 è ïëîòíîñòü âîäû ρ0 . 4. Çàâèñèìîñòü, ïîëó÷åííóþ â 3 ïóíêòå, ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó Y = kX , ãäå Y è X  ïåðåìåííûå, çàâèñÿùèå îò èçìåðÿåìûõ ïàðàìåòðîâ (V , xC1 , xC2 ), à k  ïîñòîÿííûé êîýôôèöèåíò, ñâÿçàííûé ñ ìàññàìè m1 è m2 . Ïðåäëîæèòå ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðåìåííûå Y è X . Ïîñòðîéòå ëèíåéíûé ãðàôèê Y (X) è ïî åãî ïàðàìåòðàì îïðåäåëèòå ìàññû m1 è m2 . Ïëîòíîñòü âîäû ρ0 = 1000 êã/ì3 , ìàññîé âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü. ˆ Âûíèìàòü ïîðøåíü øïðèöà èç öèëèíäðà çàïðåùåíî. ˆ Îöåíèâàòü ïîãðåøíîñòü â ýòîé çàäà÷å íå òðåáóåòñÿ. Îáîðóäîâàíèå: øïðèö 10 ìë áåç èãëû; íèòü; êóñî÷åê ìàëÿðíîãî ñêîò÷à; ñòàêàí ñ âîäîé; ìàñøòàáíî-êîîðäèíàòíàÿ áóìàãà äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêîâ. Çàäà÷à 2. Êîíóñ Îáîðóäîâàíèå: îáðåçàííûé êîíóñ ñî øïàæêîé, íà êîòîðîì íàíåñåíû ïîìåò-

êè ñ øàãîì 1 ñì, âåñû ýëåêòðîííûå, ïëàñòèêîâûé ïðîçðà÷íûé ñòàêàí÷èê îáú¼ìîì 200 ìë, äâå ëèíåéêè 30 ñì, øòàòèâ ñ ëàïêîé, øïðèö 20 ìë, òðóáêà, ñàëôåòêè äëÿ ïîääåðæàíèÿ ÷èñòîòû íà ðàáî÷åì ìåñòå, ñîñóä ñ âîäîé, ëèñò ìèëëèìåòðîâîé áóìàãè äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà(îâ). Îáúåì ïîëíîãî (íåîáðåçàííîãî) êîíóñà îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå V = kL30 , ãäå k  ïîñòîÿííûé äëÿ äàííîãî êîíóñà êîýôôèöèåíò, L0  äëèíà îáðàçóþùåé êîíóñà (ñì. Ðèñ. 1). Èñïîëüçóÿ âûäàííîå îáîðóäîâàíèå, Âàì íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü:

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

1. âåëè÷èíó äëèíû îáðàçóþùåé ïîëíîãî (íåîáðåçàííîãî) êîíóñà L0 ; 2. çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà k ; 3. ìàññó ïîëíîãî êîíóñà M . Ïðè âûïîëíåíèè ðàáîòû íåîáõîäèìî ïðèäåðæèâàòüñÿ ñëåäóþùèõ îáîçíà÷å-

íèé: ˆ m  ìàññà âûäàííîãî îáðåçàííîãî êîíóñà; ˆ l  äëèíà îáðàçóþùåé îáðåçàííîãî êîíóñà. Ïðèìå÷àíèÿ. Ìàññà øïàæêè ñîñòàâëÿåò 1,45 ã, ïëîòíîñòü âîäû ρ = 1 ã/ñì3 . Îáðàçóþùåé ïîëíîãî (íåîáðåçàííîãî) êîíóñà íàçûâàåòñÿ îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé âåðøèíó êîíóñà ñ òî÷êîé íà îêðóæíîñòè åãî îñíîâàíèÿ. Âûíèìàòü øïàæêó èç êîíóñà çàïðåùåíî.

L0

Ðèñ. 1

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

9 êëàññ Çàäà÷à 1. Øïðèö

Âàì âûäàí øïðèö îáú¼ìîì 10 ìë áåç èãëû. Ìàññà öèëèíäðè÷åñêîé ÷àñòè áåç ïîðøíÿ ðàâíà m1 , ìàññà ïîðøíÿ  m2 (ñì. ðèñóíîê). Êîîðäèíàòó öåíòðà ìàññ öèëèíäð, m1 ïîðøåíü, m2 ñèñòåìû ¾öèëèíäð + ïîðøåíü + ñîäåðæèìîå¿ áóäåì îáîçíà÷àòü xCi è îòñ÷èòûâàòü âäîëü øêàëû øïðèöà â ìë. 1. Èçìåðüòå çàâèñèìîñòü (íå ìåíåå 10 òî÷åê) êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ ñèñòåìû xC1 (â ìë) îò ïîêàçàíèé øïðèöà V  îáú¼ìà âîçäóõà â í¼ì (â ìë). Ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè xC1 (V ) è îïðåäåëèòå ïî íåìó îòíîøåíèå ìàññ m1 /m2 . 2. Ïîâòîðèòå èçìåðåíèÿ, çàïîëíÿÿ øïðèö âîäîé îáú¼ìîì V . Äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ V îïðåäåëèòå êîîðäèíàòó öåíòðà ìàññ xC2 (íå ìåíåå 10 òî÷åê). Ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè xC2 (V ) íà òîé æå êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, ÷òî è â ïóíêòå 1. Îïðåäåëèòå ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå xmin C2 . 3. Ïîëó÷èòå âûðàæåíèå, ñâÿçûâàþùåå ìåæäó ñîáîé xC1 (V ) è xC2 (V )  êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ øïðèöà â ñëó÷àÿõ, êîãäà âíóòðè íåãî V ìë âîçäóõà èëè âîäû ñîîòâåòñòâåííî.  ïîëó÷åííîì âûðàæåíèè äîëæíû ñîäåðæàòüñÿ ëèøü m1 , m2 , V , xC1 , xC2 è ïëîòíîñòü âîäû ρ0 . 4. Çàâèñèìîñòü, ïîëó÷åííóþ â 3 ïóíêòå, ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó Y = kX , ãäå Y è X  ïåðåìåííûå, çàâèñÿùèå îò èçìåðÿåìûõ ïàðàìåòðîâ (V , xC1 , xC2 ), à k  ïîñòîÿííûé êîýôôèöèåíò, ñâÿçàííûé ñ ìàññàìè m1 è m2 . Ïðåäëîæèòå ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðåìåííûå Y è X . Ïîñòðîéòå ëèíåéíûé ãðàôèê Y (X) è ïî åãî ïàðàìåòðàì îïðåäåëèòå ìàññû m1 è m2 . Ïëîòíîñòü âîäû ρ0 = 1000 êã/ì3 , ìàññîé âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü. ˆ Âûíèìàòü ïîðøåíü øïðèöà èç öèëèíäðà çàïðåùåíî. ˆ Îöåíèâàòü ïîãðåøíîñòü â ýòîé çàäà÷å íå òðåáóåòñÿ. Îáîðóäîâàíèå: øïðèö 10 ìë áåç èãëû; íèòü; êóñî÷åê ìàëÿðíîãî ñêîò÷à; ñòàêàí ñ âîäîé; ìàñøòàáíî-êîîðäèíàòíàÿ áóìàãà äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêîâ. Çàäà÷à 2. Ñåðûé ÿùèê

Âíóòðè ñåðîãî ÿùèêà íàõîäÿòñÿ ïîòåíöèîìåòð è íåèçâåñòíûé ýëåìåíò, ñîåäèí¼ííûå òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Ðó÷êà ïîòåíöèîìåòðà, à òàêæå ïðîâîäà ¾À¿, ¾Á¿ è ¾Â¿ âûâåäåíû íàðóæó ñåðîãî ÿùèêà. 1. Ñ ïîìîùüþ ïðåäîñòàâëåííîãî îáîðóäîâàíèÿ îïðåäåëèòå íîìèíàëüíîå (ïîëíîå) ñîïðîòèâëåíèå ïîòåíöèîìåòðà. Ïðè ðåøåíèè ýòîãî ïóíêòà ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ íå òðåáóåòñÿ. Ïîäðîáíî îïèøèòå ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ ïîëíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ.

ÍÝ

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

2. Èçìåðüòå âîëüò-àìïåðíóþ õàðàêòåðèñòèêó íåèçâåñòíîãî ýëåìåíòà, ïîäêëþ÷èâ ¾+¿ èñòî÷íèêà ê âûâîäó ¾À¿. Èçìåðåíèÿ íåîáõîäèìî ïðîâåñòè â ìàêñèìàëüíî øèðîêîì äèàïàçîíå íàïðÿæåíèé, ïîëó÷èâ íå ìåíåå 15 òî÷åê, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ ïî îñè íàïðÿæåíèÿ. 3. Ïîñòðîéòå ãðàôèê ïîëó÷åííîé âàìè âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêè. Îáîðóäîâàíèå: ñåðûé ÿùèê; ñîåäèíèòåëüíûå ïðîâîäà; ìóëüòèìåòð (â ðåæèìå âîëüòìåòðà è îììåòðà) ñ ùóïàìè; äåðæàòåëü äëÿ áàòàðååê; äâå áàòàðåéêè òèïà ÀÀ; ìàñøòàáíî-êîîðäèíàòíàÿ áóìàãà äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà. ˆ Êîìïëåêò äëÿ èçìåðåíèé íå ðàçáèðàòü! ˆ Âî èçáåæàíèå ðàçðÿäà áàòàðåéêè íå äåðæèòå öåïü çàìêíóòîé, êî ãäà íå ïðîèçâîäèòå èçìåðåíèé!

ˆ Ðåæèìîì àìïåðìåòðà ïîëüçîâàòüñÿ çàïðåùåíî! ˆ Äëÿ ìóëüòèìåòðà ïðèìèòå ïîãðåøíîñòü ïðÿìîãî èçìåðåíèÿ ðàâ íîé 3 åäèíèöàì ïîñëåäíåãî ðàçðÿäà, íî íå ìåíåå 1% îò èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

10 êëàññ Çàäà÷à 1. Ïðóæèíà íà âåñàõ Îáîðóäîâàíèå

Ïðóæèíà ¾Slinky¿, âåñû ýëåêòðîííûå, äåðåâÿííàÿ ëèíåéêà 40 ñì, äåðåâÿííàÿ ëèíåéêà 20 ñì, 2 äåðåâÿííûõ ïðÿìîóãîëüíûõ áðóñî÷êà, ìàëÿðíûé ñêîò÷, ìèëëèìåòðîâàÿ áóìàãà äëÿ ãðàôèêîâ. Çàäàíèå

0. Çàïèøèòå íîìåð óñòàíîâêè. 1. Èçìåðüòå çàâèñèìîñòü âåñà ïðóæèíû P , óñòàíîâëåííîé íà âåñû îäíèì èç îñíîâàíèé, îò âåðòèêàëüíîé êîîðäèíàòû x âåðõíåãî âèòêà ïðóæèíû. Ïîëó÷åííûå äàííûå ïðåäñòàâüòå â âèäå: ∆P = P − P0 , ãäå P0 − âåñ âñåé ïðóæèíû è ∆x = x−x0 , ãäå x0 − âåðòèêàëüíàÿ êîîðäèíàòà âåðõíåãî âèòêà ïðóæèíû, êîãäà âñÿ ïðóæèíà ïîêîèëàñü íà âåñàõ. 2. Ïðåäëîæèòå òåîðåòè÷åñêóþ çàâèñèìîñòü ∆P (∆x) äëÿ áîëüøîãî ÷èñëà âèòêîâ, èçìåíèâøèõ ñâî¼ ïîëîæåíèå. 3. Íà îñíîâàíèè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ïóíêòà 1 ñ ïîìîùüþ ãðàôèêà ïðîâåðüòå ñîîòâåòñòâèå òåîðèè è ýêñïåðèìåíòà. 4. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ïóíêòîâ 2 è 3, îïðåäåëèòå êîýôôèöèåíò æ¼ñòêîñòè îäíîãî âèòêà ïðóæèíû è îöåíèòå åãî ïîãðåøíîñòü. 5. Îöåíèòå ìîìåíò ñèëû, ñîçäàâàåìûé ïðóæèíîé ïðè ïîâîðîòå îäíîãî å¼ êîíöà îòíîñèòåëüíî äðóãîãî íà îäèí îáîðîò âîêðóã îñè ñèììåòðèè öèëèíäðè÷åñêîé ÷àñòè ïðóæèíû. Îïèøèòå ìåòîä. Ïðèìå÷àíèå

ˆ Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 9,8 ì/ñ2 . ˆ Ïðîâåðüòå âûäàííóþ âàì ïðóæèíó: íå äîëæíî áûòü ñëèïøèõñÿ âèòêîâ, âñå âèòêè äîëæíû áûòü ðîâíûìè è â íåðàñòÿíóòîì ñîñòîÿíèè ïëîòíî ïðèëåãàòü äðóã ê äðóãó. Çàäà÷à 2. Îïòè÷åñêèé ¾ñýíäâè÷¿ Îáîðóäîâàíèå: ôîíàðèê, óñòàíîâêà äëÿ ôèêñàöèè ôîíàðèêà, äâå îäèíàêîâûå ëèíçû Ôðåíåëÿ, ýêðàí, ÷åòûðå êàíöåëÿðñêèõ çàæèìà, ìåðíàÿ ëåíòà, øïðèö 5 ìë ñ ãëèöåðèíîì (ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ãëèöåðèíà nã = 1,47), 10 ñàëôåòîê äëÿ ïîääåðæàíèÿ ÷èñòîòû. Ñêîò÷ è íîæíèöû äëÿ íåãî  ïî òðåáîâàíèþ. Çàäàíèå

Ëèíçà Ôðåíåëÿ ìîæåò áûòü èçãîòîâëåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì: èç ñåãìåíòà ïðîçðà÷íîãî øàðà, âûðåçàþò ïëîñêèå ¾íåðàáîòàþùèå¿ ÷àñòè. Îñòàâøèåñÿ ÷àñòè ïåðåíîñÿò íà îäíó ïëîñêîñòü, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Îïòè÷åñêèå ñâîéñòâà òàêîé ëèíçû ïðàêòè÷åñêè èäåíòè÷íû ñâîéñòâàì îáû÷íîé ëèíçû, ò.ê. âñå êîëüöà èìåþò îäèíàêîâóþ îïòè÷åñêóþ ñèëó è ðàñïîëîæåíû â îäíîé ïëîñêîñòè.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

¾Îáû÷íàÿ¿ ëèíçà è ëèíçà Ôðåíåëÿ

Ðàññìîòðèì òîíêóþ ëèíçó, ó êîòîðîé îäíà ñòîðîíà ïëîñêàÿ, à äðóãàÿ èìååò ðàäèóñ êðèâèçíû R.  âîçäóõå å¼ îïòè÷åñêàÿ ñèëà ìîæåò áûòü íàéäåíà ïî ôîðìóëå n−1 D=± , R ãäå n  ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ìàòåðèàëà ëèíçû; çíàê ¾ïëþñ¿ ñîîòâåòñòâóåò ïëîñêî-âûïóêëîé ëèíçå, à çíàê ¾ìèíóñ¿  ïëîñêî-âîãíóòîé. 1. Îïðåäåëèòå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå îäíîé ëèíçû F0 . Ïðèâåäèòå ñõåìó óñòàíîâêè è îïèøèòå ìåòîä íàõîæäåíèÿ ôîêóñíîãî ðàññòîÿíèÿ. Åñëè ìåæäó äâóìÿ ëèíçàìè Ôðåíåëÿ êàïíóòü íåìíîãî æèäêîñòè, à çàòåì ïðèæàòü èõ äðóã ê äðóãó ñ ïîìîùüþ çàæèìîâ, òî ïîëó÷èâøèéñÿ ¾ñýíäâè÷¿ òîæå áóäåò îáëàäàòü ñâîéñòâàìè òîíêîé ëèíçû. 2a. Èçìåðüòå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå F1 ¾ñýíäâè÷à¿, â êîòîðîì ëèíçû Ôðåíåëÿ ïðèæàòû ïëîñêèìè ñòîðîíàìè. 2b. Èçìåðüòå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå F2 ¾ñýíäâè÷à¿, â êîòîðîì ðåáðèñòàÿ ñòîðîíà îäíîé ëèíçû ïðèæàòà ê ïëîñêîé ñòîðîíå äðóãîé. 3. Îïðåäåëèòå ðàäèóñ êðèâèçíû íåïëîñêîé ïîâåðõíîñòè ëèíçû Ôðåíåëÿ. 4. Îïðåäåëèòå ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ïëàñòèêà, èç êîòîðîãî èçãîòîâëåíû ëèíçû. 5. Îïðåäåëèòå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå F3 ¾ñýíäâè÷à¿, â êîòîðîì ëèíçû Ôðåíåëÿ ïðèæàòû ðåáðèñòûìè ñòîðîíàìè. Îöåíêà ïîãðåøíîñòåé â ýòîé çàäà÷å íå òðåáóåòñÿ.

Ïðèìå÷àíèÿ

ˆ Íåáîëüøèå ïÿòíà ãëèöåðèíà ìîæíî ïðîòåðåòü ñóõîé ñàëôåòêîé. Åñëè ïðîëü¼òå ìíîãî  ïîïðîñèòå ó îðãàíèçàòîðîâ âëàæíóþ òðÿïêó. ˆ Ïðèêëåèâàòü ñêîò÷ ê ëèíçàì Ôðåíåëÿ çàïðåùåíî!

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

11 êëàññ Çàäà÷à 1. Ïðóæèíà íà âåñàõ Îáîðóäîâàíèå

Ïðóæèíà ¾Slinky¿, âåñû ýëåêòðîííûå, äåðåâÿííàÿ ëèíåéêà 40 ñì, äåðåâÿííàÿ ëèíåéêà 20 ñì, 2 äåðåâÿííûõ ïðÿìîóãîëüíûõ áðóñî÷êà, ìàëÿðíûé ñêîò÷, ìèëëèìåòðîâàÿ áóìàãà äëÿ ãðàôèêîâ. Çàäàíèå

0. Çàïèøèòå íîìåð óñòàíîâêè. 1. Èçìåðüòå çàâèñèìîñòü âåñà ïðóæèíû P , óñòàíîâëåííîé íà âåñû îäíèì èç îñíîâàíèé, îò âåðòèêàëüíîé êîîðäèíàòû x âåðõíåãî âèòêà ïðóæèíû. Ïîëó÷åííûå äàííûå ïðåäñòàâüòå â âèäå: ∆P = P − P0 , ãäå P0 − âåñ âñåé ïðóæèíû è ∆x = x−x0 , ãäå x0 − âåðòèêàëüíàÿ êîîðäèíàòà âåðõíåãî âèòêà ïðóæèíû, êîãäà âñÿ ïðóæèíà ïîêîèëàñü íà âåñàõ. 2. Ïðåäëîæèòå òåîðåòè÷åñêóþ çàâèñèìîñòü ∆P (∆x) äëÿ áîëüøîãî ÷èñëà âèòêîâ, èçìåíèâøèõ ñâî¼ ïîëîæåíèå. 3. Íà îñíîâàíèè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ïóíêòà 1 ñ ïîìîùüþ ãðàôèêà ïðîâåðüòå ñîîòâåòñòâèå òåîðèè è ýêñïåðèìåíòà. 4. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ïóíêòîâ 2 è 3, îïðåäåëèòå êîýôôèöèåíò æ¼ñòêîñòè îäíîãî âèòêà ïðóæèíû è îöåíèòå åãî ïîãðåøíîñòü. 5. Îöåíèòå ìîìåíò ñèëû, ñîçäàâàåìûé ïðóæèíîé ïðè ïîâîðîòå îäíîãî å¼ êîíöà îòíîñèòåëüíî äðóãîãî íà îäèí îáîðîò âîêðóã îñè ñèììåòðèè öèëèíäðè÷åñêîé ÷àñòè ïðóæèíû. Îïèøèòå ìåòîä. Ïðèìå÷àíèå

ˆ Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 9,8 ì/ñ2 . ˆ Ïðîâåðüòå âûäàííóþ âàì ïðóæèíó: íå äîëæíî áûòü ñëèïøèõñÿ âèòêîâ, âñå âèòêè äîëæíû áûòü ðîâíûìè è â íåðàñòÿíóòîì ñîñòîÿíèè ïëîòíî ïðèëåãàòü äðóã ê äðóãó. Çàäà÷à 2. R ïëþñ C Îáîðóäîâàíèå

Ñåðûé ÿùèê ñ òðåìÿ âûâîäàìè, ìóëüòèìåòð, êîíäåíñàòîð ñ èçâåñòíîé ¼ìêîñòüþ C0 = 10 ìêÔ, ñîåäèíèòåëüíûå ïðîâîäà. Çàäàíèå

Ñåðûé ÿùèê ñ òðåìÿ ïðîíóìåðîâàííûìè âûâîäàìè ñîäåðæèò ðîâíî òðè ýëåìåíòà, ñîåäèí¼ííûõ ìåæäó ñîáîé ïî ñõåìå òèïà ¾çâåçäà¿ èëè òèïà ¾òðåóãîëüíèê¿ (ñì. ðèñóíîê). Ýòèìè ýëåìåíòàìè ìîãóò áûòü ðåçèñòîðû èëè êîíäåíñàòîðû. 1. Îïðåäåëèòå, ïî êàêîé èç äâóõ âîçìîæíûõ ñõåì ñîåäèíåíû ýëåìåíòû è ÷òî ýòî çà ýëåìåíòû. 2. Îïðåäåëèòå ïàðàìåòðû ýòèõ ýëåìåíòîâ (ñîïðîòèâëåíèÿ ðåçèñòîðîâ è ¼ìêîñòè êîíäåíñàòîðîâ).

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

1 ?

? ?

Ïðèìå÷àíèå

ˆ Âñå èñïîëüçóåìûå â ðàáîòå êîíäåíñàòîðû ÿâëÿþòñÿ íåïîëÿðíûìè. ˆ  ðàáîòå íå òðåáóåòñÿ ðàñ÷¼ò ïîãðåøíîñòåé, îäíàêî äåéñòâèÿ, íàïðàâëåííûå íà ïîâûøåíèå òî÷íîñòè ðåçóëüòàòà, áóäóò îöåíèâàòüñÿ. ˆ Íà âûáðàííîé ñõåìå óêàæèòå íîìåðà êîíòàêòîâ (öâåò êîíòàêòíûõ ïðîâîäîâ).

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

Âîçìîæíûå ðåøåíèÿ Çàäà÷à 7-E1. Çàêðûòàÿ áóòûëî÷êà

Âîäà çàíèìàåò îáúåì Vâîäû = Sâíó x â öèëèíäðè÷åñêîé ÷àñòè áóòûëî÷êè (ñì. ðèñ.). Èçìåðèì ëèíåéêîé âûñîòó ñòîëáà âîäû x = 3,0 ñì. Ëèíåéêó äåðæèì âåðòèêàëüíî íà ñòîëå, ïðèêëàäûâàÿ ê áóòûëî÷êå. Òîãäà âíóòðåííÿÿ ïëîùàäü ñå÷åíèÿ

Sâíó =

Vâîäû 30,0 ìë = = 10,0 ñì2 . x 3,0 ñì

Ïåðåâåðíåì áóòûëî÷êó. Òåïåðü âîçäóõ áóäåò â öèëèíäðè÷åñêîé ÷àñòè Vâíó − Vâîäû = Sâíó y . Èçìåðèì y = 2,7 ñì. Âíóòðåííèé îáúåì Vâíó = Vâîäû + Sâíó y = 56,0 ìë. Ýòàëîííûé îáúåì íà àâòîðñêîé óñòàíîâêå (èçìåðåííûé íàïðÿìóþ) 57 ìë. Îáìîòàåì äâàæäû íèòêîé âîêðóã öèëèíäðè÷åñêîé ÷àñòè áóòûëêè. Ïîëó÷åííàÿ óäâîåííàÿ äëèíà îêðóæíîñòè 2πD = 25,5 ñì, ãäå D  âíåøíèé äèàìåòð öèëèíäðè÷åñêîé ÷àñòè áóòûëî÷êè. Àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò ìîæíî áûëî ïîëó÷èòü ìåòîäîì ïðîêàòûâàíèÿ áóòûëî÷êè ïî ëèíåéêå èëè ëèíåéêè ïî áóòûëî÷êå. Îòêóäà âíåøíèé äèàìåòð D = 4,06 ñì. Òîãäà âíåøíÿÿ ïëîùàäü

Sâíå =

πD2 = 12,9 ñì2 . 4

Âçâåñèì áóòûëî÷êó ñ âîäîé: M = m + ρVâîäû = 87,5 ã. Îòñþäà ëåãêî îïðåäåëèòü ìàññó ïóñòîé áóòûëî÷êè m = M − ρVâîäû = 57,5 ã. Îïðåäåëèì âíåøíèé îáúåì áóòûëî÷êè. Ïîãðóçèì â ñòàêàí ñ âîäîé áóòûëî÷êó òàê, ÷òîáû îíà áûëà ïîëíîñòüþ ïîêðûòà âîäîé. Âîçìîæíî, äëÿ ýòîãî ïðèäåòñÿ äîáàâèòü èëè óáàâèòü âîäû â ñòàêàí. Îòìåòèì óðîâåíü âîäû â ñòàêàíå, íàêëåèâ íà íåãî öåííèê. Âûòàùèì áóòûëî÷êó èç ñòàêàíà. Ñòàðàåìñÿ, ÷òîáû íà áóòûëî÷êå ïî÷òè íå îñòàâàëîñü êàïåëü âîäû. Òåïåðü ïîëîæèì ñòàêàí íà âåñû è îáíóëèì èõ ïîêàçàíèÿ. Äîëüåì â ñòàêàí âîäó äî íàêëåéêè ñ ïîìîùüþ øïðèöà. Ïîêàçàíèÿ âåñîâ ðàâíû äîáàâëåííîé ìàññå âîäû. À åå îáúåì ðàâåí âíåøíåìó îáúåìó áóòûëî÷êè Vâíå = 81,5 ìë. Îòìåòèì, ÷òî èçìåðåíèå ìîæíî áûëî ïðîâåñòè â äðóãîì ïîðÿäêå: îòìå÷àåì óðîâåíü âîäû â ñòàêàíå íàêëåéêîé, ïîãðóæàåì â ñòàêàí áóòûëî÷êó, øïðèöåì

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

óáàâëÿåì óðîâåíü âîäû äî èñõîäíîãî. Âîäó èç øïðèöà âûëèâàåì âî âòîðîé ñòàêàí, ñòîÿùèé íà òàðèðîâàííûõ âåñàõ. Èòîãîâûå ïîêàçàíèÿ âåñîâ äåëèì íà ïëîòíîñòü âîäû è ïîëó÷àåì âíåøíèé îáúåì áóòûëî÷êè. Ïëîòíîñòü ñòåêëà m 57,5 ã = 2,3 ã/ñì3 . ρ= = Vâíå − Vâíó 81,5 ìë − 56,0 ìë Çàäà÷à 7-E2. Óòêè â øïðèöå

Ñ ïîìîùüþ âåñîâ îïðåäåëèì ìàññó øïðèöà ñ ìèíè-ôèãóðêàìè mø+ô = 16,58 ã. Âû÷òåì èç ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà ìàññó ïóñòîãî øïðèöà è íàéäåì ñóììàðíóþ ìàññó ôèãóðîê mô = 16,58 ã − 10,98 ã = 5,60 ã. Ñïîñîá 1

Ïîñëå ýòîãî íà÷èíàåì íàáèðàòü â øïðèö æèäêîñòü ïîðöèÿìè ïî 1 ìë (îòñëåæèâàåì îáúåì ïî èçìåíåíèþ ïîëîæåíèÿ ïîðøíÿ). Ïîñëå êàæäîãî íàáîðà ïðîèçâîäèì âçâåøèâàíèå.  êðàéíåì (ìàêñèìàëüíî ñæàòîì) ïîëîæåíèè, ïîðøåíü ìîæíî óñòàíîâèòü íà äåëåíèè Víà÷ = 12 ìë. Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé çàíîñèì â òàáëèöó. Èñïîëüçóåìûå îáîçíà÷åíèÿ: M  ìàññà øïðèöà ñ ôèãóðêàìè è æèäêîñòüþ, V0  îáúåì, ñîîòâåòñòâóþùèé òåêóùåìó ïîëîæåíèþ ïîðøíÿ íà îñíîâàíèè ïîêàçàíèé øêàëû øïðèöà, V  îáúåì çàëèòîé æèäêîñòè.

M, ã

16,58

19,23

20,30

21,34

22,41

23,50

24,60

25,64

26,80

V, ìë

V0 , ìë

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Ñïîñîá 2

Íàáåð¼ì æèäêîñòü â øïðèö òàê, ÷òîáû â êðàéíåì (ñæàòîì) ïîëîæåíèè ïîðøíÿ ìèíè-ôèãóðêè áûëè áû ïîëíîñòüþ ïîãðóæåíû â æèäêîñòü, ïðîñòðàíñòâî ìåæäó óòêàìè ïðè ýòîì çàïîëíåíî æèäêîñòüþ. Ïîñëå ýòîãî íàáèðàåì â øïðèö æèäêîñòü ïîðöèÿìè ïî 1 ìë (îòñëåæèâàåì îáúåì ïî èçìåíåíèþ ïîëîæåíèÿ ïîðøíÿ). Ïîñëå êàæäîãî íàáîðà ïðîèçâîäèì âçâåøèâàíèå. Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé çàíîñèì â òàáëèöó. Èñïîëüçóåìûå îáîçíà÷åíèÿ: M  ìàññà øïðèöà ñ ôèãóðêàìè è æèäêîñòüþ, V0  îáúåì, ñîîòâåòñòâóþùèé òåêóùåìó ïîëîæåíèþ ïîðøíÿ íà îñíîâàíèè ïîêàçàíèé øêàëû øïðèöà, V  îáúåì çàëèòîé æèäêîñòè.

M, ã

24,76

26,11

27,12

28,16

29,25

30,53

31,47

32,65

33,80

V, ìë

V0 , ìë

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

Ñïîñîá 1. Ïîñòðîèì ãðàôèê çàâèñèìîñòè ìàññû M îò îáú¼ìà V0 .

M, ã 30 25 20 15 10 5 V0 , ìë 00

10

15

20

25

Ñïîñîá 2. Ïîñòðîèì ãðàôèê çàâèñèìîñòè ìàññû M îò îáú¼ìà V0 .

40

M, ã

30

20

10 V0 , ìë 00

10

15

20

25

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ñïîñîá 1.

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

Ïîêàçàíèÿ âåñîâ ðàâíû:

M = mô + mæ + mø = (mô + mø ) + ρæ V. Ñ ó÷åòîì V0 = Víà÷ + V ïîëó÷àåì M = (mô + mø ) + ρæ (V0 − Víà÷ ). Óãëîâîé êîýôôèöèåíò íàêëîíà ïðÿìîé åñòü ïëîòíîñòü íåèçâåñòíîé æèäêîñòè ρæ . Ïî ãðàôèêó îïðåäåëÿåì ïëîòíîñòü ðàñòâîðà ρ = 1,133 ã/ñì3 . Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé ñ âåðòèêàëüíîé îñüþ ñîîòâåòñòâóåò mô + mæ − ρæ V0 = 4,12 ã (÷òî ñîâïàäàåò ñî çíà÷åíèåì íà ãðàôèêå). Ñïîñîá 2. Ïîêàçàíèÿ âåñîâ äëÿ äàííîãî ñïîñîáà ðàâíû:

M = mô + mæ + mø + m0 = (mô + mø ) + ρæ V + m0 , ãäå m0  ìàññà æèäêîñòè, íàáðàííîé â øïðèö äî íà÷àëà èçìåðåíèé. Òîãäà

M = (mô + mø + m0 ) + ρæ (V0 − Víà÷ ). Ïî óãëîâîìó êîýôôèöèåíòó ãðàôèêà, ïîñòðîåííîãî äëÿ äàííîãî ñïîñîáà, îïðåäåëèì ïëîòíîñòü æèäêîñòè ρ = 1,145 ã/ñì3 . Ïðè ýòîì ðåàëüíàÿ ïëîòíîñòü æèäêîñòè ðàâíà ρèñò = 1,13 ã/ñì3 . Èçíà÷àëüíî ïîðøåíü áûë â ïîëîæåíèè 12 ìë. Ýòî ñóììàðíûé îáú¼ì ôèãóðîê è âîçäóõà. Ìû ñäâèíóëè ïîðøåíü äî 20 ìë, íàáðàâ ïðè ýòîì â øïðèö 8 ìë æèäêîñòè. Ïðè ýòîì ïîëíûé îáúåì æèäêîñòè è ôèãóðîê â øïðèöå 12,5 ìë. Ýòî ëåãêî îïðåäåëÿåòñÿ, åñëè ïåðåâåðíóòü øïðèö íîñèêîì ââåðõ è àêêóðàòíî âäâèãàòü ïîðøåíü, ïîäæèìàÿ æèäêîñòü. Îáú¼ì ôèãóðîê òîãäà Vô = 4,5 ìë. À ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà, èç êîòîðîãî îíè èçãîòîâëåíû mô ρô = = 1,24 ã/ñì3 . Vô Îòâåò ìîæåò íåìíîãî îòëè÷àòüñÿ èç-çà ïóçûðüêîâ âîçäóõà, êîòîðûå ïðèëèïàþò ê ôèãóðêàì. Òàêæå íà òî÷íîñòü îòâåòà íåãàòèâíî âëèÿåò âûñîêàÿ ïîãðåøíîñòü øïðèöà (åãî öåíà äåëåíèÿ  1 ìë). Çàäà÷à 8-E1. Øïðèö

Âñå ðàññòîÿíèÿ áóäåì èçìåðÿòü ñ ïîìîùüþ øêàëû íà øïðèöå. Êîîðäèíàòû öåíòðîâ ìàññ áóäåì îïðåäåëÿòü, ïîäâåñèâ â ãîðèçîíòàëüíîì ïîëîæåíèè øïðèö íà íèòè. ×òîáû íå äåðæàòü øïðèö â ðóêàõ, òî÷êó ïîäâåñà çàêðåïèì ñêîò÷åì ê ñòîëó. Ïóñòü öåíòð ìàññ öèëèíäðà íàõîäèòñÿ â êîîðäèíàòå x1 , à öåíòð ìàññ ïîðøíÿ, êîãäà ïîêàçàíèÿ øïðèöà íóëåâûå, èìååò êîîðäèíàòó x2 . Âûäâèíåì ïîðøåíü òàê, ÷òîáû ïîêàçàíèÿ øïðèöà ñòàëè ðàâíûìè V . Òîãäà öåíòð ìàññ ïîðøíÿ ñìåñòèòñÿ â êîîðäèíàòó x2 + V . Öåíòð ìàññ âñåãî øïðèöà áóäåò íàõîäèòüñÿ â êîîðäèíàòå:

xC1 (V ) =

m1 x1 + m2 x2 m2 m1 x1 + m2 (x2 + V ) = + V. m1 + m2 m1 + m2 m1 + m2

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

Ñíèìåì ýòó çàâèñèìîñòü, ïîñòðîèì åå ãðàôèê.

xC1 , ìë

5,6

6,2

6,8

7,2

7,6

8,2

8,8

9,2

9,6

10

V, ìë

2 Èç óãëîâîãî êîýôôèöèåíòà k = m1m+m ≈ 0,49 îïðåäåëèì îòíîøåíèå m1 /m2 : 2

m1 ≈ 1,0. m2  ñëó÷àå, êîãäà âíóòðè øïðèöà íàõîäèòñÿ V ìë âîäû, êîîðäèíàòà åãî öåíòðà ìàññ âû÷èñëÿåòñÿ ÷óòü ñëîæíåå. Âàæíî ó÷åñòü, ÷òî ê ñóììàðíîé ìàññå m1 + m2 äîáàâëÿåòñÿ ìàññà âîäû ρ0 V , öåíòð ìàññ êîòîðîé íàõîäèòñÿ â êîîðäèíàòå V /2. Ôîðìóëà êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ ñèñòåìû xC2 â çàâèñèìîñòè îò îáú¼ìà âîäû V : 2

m1 x1 + m2 (x2 + V ) + ρ02V xC2 (V ) = . m1 + m2 + ρ0 V Ñíèìåì çàâèñèìîñòü xC2 (V ).

xC2 , ìë

5,6

5,4

5,2

5,2

5,4

5,6

5,8

6,2

6,4

6,8

7,2

V, ìë

10

Ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå xmin C2 ≈ 5,2 ìë.

xCi , ìë 10

xC1 xC2

9 8 7 6 5 V, ìë 0

2.5

7.5

10

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

Ïóñòü øïðèö ñîáñòâåííîé ìàññû m1 + m2 çàïîëíåí V ìë âîäû. Öåíòð ìàññ ñàìîãî øïðèöà (áåç âîäû) íàõîäèòñÿ â êîîðäèíàòå xC1 (V ). Öåíòð ìàññ âîäû íàõîäèòñÿ â êîîðäèíàòå V /2. Øïðèö, çàïîëíåííûé âîäîé, ïîäâåøåí çà íèòü â êîîðäèíàòå öåíòðà ìàññ ñèñòåìû ¾øïðèö+âîäà¿ xC2 (V ). Çàïèøåì ïðàâèëî ìîìåíòîâ äëÿ øïðèöà ñ âîäîé îòíîñèòåëüíî òî÷êè ïîäâåñà.  ýòîì ñëó÷àå ìîìåíò ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòè áóäåò ðàâåí íóëþ. Ìîìåíò ñèëû òÿæåñòè øïðèöà (áåç âîäû) áóäåò óðàâíîâåøåí ìîìåíòîì ñèëû òÿæåñòè âîäû:   V (m1 + m2 )(xC1 − xC2 ) = ρ0 V xC2 − . 2 Çàìåòèì, ÷òî çàâèñèìîñòü Y (X), ãäå Y = ρ0 V (xC2 − V /2) îò X = xC1 − xC2 , ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòüþ ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì m1 + m2 . Ñäåëàåì ïåðåñ÷¼ò çíà÷åíèé Y è X .

Y, ìë · ã

4,9

8,4

11,1

13,6

15,5

16,8

18,9

19,2

20,7

X, ìë

0,8

1,6

2,0

2,2

2,6

3,0

3,0

3,2

3,2

Ïîñòðîèì ãðàôèê ñîîòâåòñòâóþùåé çàâèñèìîñòè:

Y , ìë·ã 25 20 15 10 5 X , ìë 00

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Íàéäåì óãëîâîé êîýôôèöèåíò m1 + m2 ≈ 5,9 ã. Òîãäà:

m1 = m2 =

M ≈ 3,0 ã. 2

3.5

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

Çàäà÷à 8-E2. Êîíóñ

Îïðåäåëèì äëèíó îáðàçóþùåé ïîëíîãî êîíóñà L0 . Äëÿ êîíóñ ýòîãî âäîëü åãî îáðàçóþùåé ïðèêëàäûâàåì äâå ëèíåéêè, îïðåäåëÿÿ äëèíó îáðàçóþùåé ÷àñòè êîíóñà, êîòîðàÿ îòñóòñòâóåò (ñì. ðèñ. 2).  íàøåì ñëó÷àå l0 = 5,8 ñì, äëèíà îáðàçóþùåé âûäàííîãî (óñå÷¼ííîãî) êîíóñà ðàâíà l = 15 ñì, ïîýòîìó L0 = 20,8 ñì. Îïðåäåëèì êîýôôèöèåíò k . Îáú¼ì ÷àñòè êîíóñà, ïîãðól0 æåííîãî â âîäó, áóäåì îïðåäåëÿòü ìåòîäîì ãèäðîñòàòè÷åñêîãî âçâåøèâàíèÿ (èç ñèëû Àðõèìåäà). Ïîñòàâèì ñòàêàí÷èê íà âåñû, ïîìåñòèì â ñòàêàí÷èê êîíóñ òàê, ÷òîáû åãî áîêîëèíåéêè âàÿ ïîâåðõíîñòü íå êàñàëàñü ñòåíîê ñîñóäà, à åãî íèæíÿÿ Ðèñ. 2 ÷àñòü íàõîäèëàñü îêîëî äíà ñòàêàí÷èêà. Øïàæêó, âîòêíóòóþ â âåðõíþþ ÷àñòü êîíóñà, çàæì¼ì â ëàïêå øòàòèâà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû îïðåäåëèòü ìàññó âîäû, êîòîðàÿ ìîæåò íàõîäèòüñÿ â ñòàêàí÷èêå ïðè ìàêñèìàëüíîì ïîãðóæåíèè êîíóñà â ñòàêàí (êîíóñ ïîëíîñòüþ â ñòàêàí÷èê íå ïîìåùàåòñÿ), ìîæíî: ˆ ëèáî íàëèòü êàêîå-òî êîëè÷åñòâî æèäêîñòè â ñòàêàí÷èê, à çàòåì ïîãðóçèòü êîíóñ â æèäêîñòü íà ìàêñèìàëüíî âîçìîæíóþ ãëóáèíó. Ïðè ýòîì, åñëè íàëèòîé æèäêîñòè áóäåò ìíîãî, è âåðõíèé óðîâåíü æèäêîñòè ïðè ïîãðóæåíèè êîíóñà äîñòèãíåò âåðõíåãî êðàÿ ñòàêàí÷èêà, òî æèäêîñòü ñ ïîìîùüþ øïðèöà ìîæíî áóäåò èç ñòàêàí÷èêà çàáðàòü. Åñëè æå ïðè ìàêñèìàëüíîì ïîãðóæåíèè êîíóñà â æèäêîñòü óðîâåíü æèäêîñòè áóäåò çàìåòíî íèæå âåðõíåãî êðàÿ ñòàêàí÷èêà, òî ñ ïîìîùüþ øïðèöà æèäêîñòè ìîæíî äîáàâèòü â ñòàêàí÷èê; ˆ ëèáî îïóñòèâ êîíóñ â ïóñòîé ñòàêàí÷èê íà ìàêñèìàëüíî âîçìîæíóþ ãëóáèíó, äîáàâèì ñ ïîìîùüþ øïðèöà â ñòàêàí÷èê âîäó. Ïîñëå ýòîãî çà øïàæêó àêêóðàòíî ïîäíèìåì êîíóñ, òàê ÷òîáû îí ïîëíîñòüþ âûøåë èç âîäû ïîìåñòèì ñòàêàí÷èê ñ âîäîé íà âåñû, îáíóëèì ïîêàçàíèÿ âåñîâ ñ ïîìîùüþ êíîïêè ¾tare¿. Ïîñòàâèì ñòàêàí÷èê ñ âîäîé íà âåñû, îáíóëèì ïîêàçàíèÿ âåñîâ ñ ïîìîùüþ êíîïêè ¾tare¿. Áóäåì óâåëè÷èâàòü ãëóáèíó ïîãðóæåíèÿ êîíóñà â æèäêîñòü, çàïèñûâàÿ ïîêàçàíèÿ âåñîâ, êîãäà óðîâåíü âîäû áóäåò ñîâïàäàòü ñ ìåòêîé íà êîíóñå. Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé ïðèâåäåíû â òàáëèöå. Îáîçíà÷èì lx  äëèíó îáðàçóþùåé êîíóñà ïîä âîäîé, M  ïîêàçàíèÿ âåñîâ.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

lx , ñì

MÂ , ã

(l0 + lx )3 , ñì3

1,0

2,85

314

2,0

8,43

475

3,0

16,55

682

4,0

23,82

941

5,0

35,29

1260

6,0

49,41

1643

7,0

66,90

2097

8,0

83,21

2628

9,0

103,51

3242

Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ñèëû Àðõèìåäà è îïðåäåëèì ïîêàçàíèÿ âåñîâ MÂ

FÀðõ = ρgk(l0 + lx )3 − ρgkl03 ; MÂ = ρk((l0 + lx )3 − l03 ) = ρk(l0 + lx )3 − ρkl03 . Óðàâíåíèå âûøå îïèñûâàåò ïðÿìóþ â êîîðäèíàòàõ ((l0 + lx )3 ,MÂ ) ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì ρk è ñâîáîäíûì êîýôôèöèåíòîì ρkl03 . Ïîñòðîèì ãðàôèê çàâèñèìîñòè ïîêàçàíèé âåñîâ MÂ îò (l0 + lx )3 (ñì. ðèñ. íèæå). Äëÿ ýòîãî äîïîëíèì òàáëèöó èçìåðåíèé ñòîëáöîì ñ ðàñ÷¼òîì (l0 + lx )3 .

MÂ , ã 100 75 50 25 (l + l0 )3 · 10−3 ñì3 00

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

Ïî ãðàôèêó îïðåäåëèì óãëîâîé êîýôôèöèåíò íàêëîíà ïðÿìîé:

ρk =

∆MÂ ã = 0,035 . 3 ∆(l0 + lx ) ñì3

Îïðåäåëèì êîýôôèöèåíò k :

k=

1 ∆MÂ · = 0,035. ρ ∆(l0 + lx )3

Îïðåäåëèì ìàññó âûäàííîãî êîíóñà (ñî øïàæêîé)

mê+ø = 6,73 ã. Âû÷èòàÿ ìàññó øïàæêè, ïîëó÷èì

m = 6,73 − 1,45 = 5,28 ã. Ïîñ÷èòàåì îáú¼ì ïîëíîãî êîíóñà, çíàÿ âåëè÷èíó ïîëíîé îáðàçóþùåé,

V = kL30 ⇒ V = 0,035 · (20,8)3 = 315 ñì3 . Ñ÷èòàÿ, ÷òî ìàòåðèàë êîíóñà îäíîðîäåí, îïðåäåëèì ìàññó ïîëíîãî êîíóñà M :

M =m

M = 5,28 ·

L30 ; 3 L0 − l03

20,83 = 5,40 ã. 20,83 − 5,83

Çàäà÷à 9-E1. Øïðèö

Ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 8-E1. Çàäà÷à 9-E2. Ñåðûé ÿùèê

Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîëíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ïîòåíöèîìåòðà ñîåäèíèì åãî êðàéíèå âûâîäû (¾À¿ è ¾Â¿) è ïîäêëþ÷èì îììåòð ê âûâîäàì ¾À¿ è ¾Á¿ (ñì. ðèñóíîê 1). Îáîçíà÷èì ïîëíîå íîìèíàëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ïîòåíöèîìåòðà R0 , à ñîïðîòèâëåíèå ïîòåíöèîìåòðà ìåæäó êîíòàêòàìè ¾Á¿ è ¾Â¿  Rx . Òîãäà ïîêàçàíèÿ îììåòðà RΩ ðàâíû:

1 1 1 = + ; RΩ Rx R0 − Rx

ÍÝ

R0 − Rx

Ðèñ. 1

Rx

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

RΩ = Rx −

Rx2 . R0

Ìàêñèìóì RΩ áóäåò íàáëþäàòüñÿ ïðè Rx = R0 /2. Ïîâîðà÷èâàÿ ðó÷êó ïîòåíöèîìåòðà, èçìåðèì ìàêñèìàëüíûå ïîêàçàíèÿ ïðèáîðà: Rmax = (27,2 ± 0,3) Îì. Òîãäà: R0 = 4Rmax = (108,8 ± 1,2) Îì. Äëÿ èçìåðåíèÿ âîëüò-àìïåðíîé õàðàêòåðèñòèêè íåèçâåñòíîãî ýëåìåíòà ñîáåð¼ì ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü, ñõåìà êîòîðîé èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå 2. Ïðè òàêîì ñîåäèíåíèè íàïðÿæåíèå UÍÝ íà íåèçâåñòíîì ýëåìåíòå áóäåò ðàâíî íàïðÿæåíèþ, èçìåðåííîìó ñ ïîìîùüþ âîëüòìåòðà, ïîäêëþ÷åííîãî ê âûâîäàì ¾À¿ è ¾Â¿. Ñèëà òîêà IÍÝ ÷åðåç íåèçâåñòíûé ýëåìåíò áóäåò ðàâíÿòüñÿ òîêó ÷åðåç Rx . Ñëåäîâàòåëüíî:

IÍÝ =

ÍÝ

R0 − Rx

U0

Rx

Ðèñ. 2

Ux , Rx

ãäå Ux  íàïðÿæåíèå íà Rx , êîòîðîå áóäåì èçìåðÿòü ïîäêëþ÷àÿ âîëüòìåòð ê âûâîäàì ¾Á¿ è ¾Â¿. Äëÿ íàõîæäåíèÿ òåêóùåãî çíà÷åíèÿ Rx ïîäêëþ÷èì èñòî÷íèê íàïðÿæåíèÿ ′ ′ íàïðÿæåíèé íà R0 è Rx , ê âûâîäàì ¾À¿ è ¾Â¿. Èñïîëüçóÿ îòíîøåíèå UÁ /UÀ ìîæåì îïðåäåëèòü IÍÝ : ′ ′ UÀ U′ U′ Ux · UÀ = Á ; ⇒ Rx = Á · R0 ; ⇒ IÍÝ = ′ . ′ R0 Rx UÀ UÁ · R0

UÍÝ , Â

Ux , Â

′ UÀÂ ,Â

′ UÁÂ ,Â

IÍÝ , À

∆IÍÝ , À

1,81

0,83

2,66

0,23

0,090

0,004

1,69

0,94

2,65

0,26

0,088

0,004

1,55

1,07

2,64

0,31

0,084

0,003

1,46

1,16

2,64

0,35

0,080

0,003

1,37

1,25

2,63

0,39

0,078

0,003

1,24

1,38

2,62

0,46

0,072

0,003

1,16

1,47

2,62

0,50

0,070

0,003

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

UÍÝ , Â

Ux , Â

′ , UÀÂ

′ , UÁÂ

IÍÝ , À

∆IÍÝ , À

1,05

1,57

2,62

0,58

0,065

0,003

0,95

1,68

2,62

0,66

0,062

0,002

0,84

1,79

2,62

0,74

0,058

0,002

0,75

1,87

2,62

0,83

0,054

0,002

0,64

1,99

2,61

0,94

0,051

0,002

0,55

2,10

2,60

1,03

0,049

0,002

0,44

2,18

2,60

1,19

0,044

0,002

0,36

2,26

2,60

1,38

0,039

0,002

0,28

2,34

2,60

1,70

0,033

0,001

0,20

2,42

2,56

2,00

0,028

0,001

0,11

2,50

2,55

2,52

0,023

0,001

I , ìÀ 100

75

50

25 U, Â 00

0.5

1.0

1.5

2.0

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

Çàäà÷à 10-E1. Ïðóæèíà íà âåñàõ

Çàïèøåì íîìåð óñòàíîâêè, óêàçàííûé íà ïðóæèíå. Ïðè ïîìîùè ìàëÿðíîãî ñêîò÷à çàêðåïèì äåðåâÿííóþ ëèíåéêó 40 ñì ê îäíîìó èç áðóñî÷êîâ, òàê ÷òîáû ðàñïîëîæèâ áðóñî÷åê íà áîêîâîé ñòîðîíå, ëèíåéêà îêàçàëàñü â âåðòèêàëüíîì ïîëîæåíèè. Ïðè ïîìîùè ìàëÿðíîãî ñêîò÷à çàêðåïèì äåðåâÿííóþ ëèíåéêó 20 ñì êî âòîðîìó áðóñî÷êó, òàê ÷òîáû ïîëîæèâ áðóñî÷åê îäíîé èç áîëüøèõ ãðàíåé íà ñòîë ëèíåéêà îêàçàëàñü ïàðàëëåëüíà ñòîëó. Íèæíèé âèòîê ïðóæèíû ïîìåñòèì íà âåñû, à âåðõíèé âèòîê ïðóæèíû çàöåïèì ëèíåéêîé 20 ñì è, ïðèæèìàÿ âòîðîé áðóñîê ê ïåðâîìó, íà÷íåì àêêóðàòíî ïîäíèìàòü âòîðîé áðóñîê ïî ïîâåðõíîñòè ïåðâîãî.  õîäå èçìåðåíèé ïðóæèíà íå äîëæíà ñîñêàëüçûâàòü ñ èçìåðÿåìîé îáëàñòè âåñîâ. Ïîëó÷åííûå äàííûå ïðåäñòàâèì â âèäå òàáëèöû. 

m, ã

20,37

15,32

13,41

12,41

11,32

9,89

8,84

8,13

|∆P |,ìÍ

49

68

78

89

103

113

120

x, ñì

6,2

7,0

7,5

8,0

8,5

9,0

9,5

10,0

13

18

23

28

33

38

10

11

12

13

14

15

16

m, ã

7,17

6,63

6,11

5,20

4,41

4,18

3,46

3,08

|∆P |,ìÍ

129

135

140

149

156

159

166

169

x, ñì

10,5

11,0

11,5

12,0

12,5

13,0

13,5

14,0

43

48

53

58

63

68

73

78

∆x, 10

∆x, 10

−3

−3

17

18

19

20

21

22

23

m, ã

2,42

2,08

1,43

0,64

0,32

0,10

|∆P |, ìÍ

176

179

186

193

196

199

200

x, ñì

14,5

15,0

15,5

16,0

16,5

17,0

17,5

∆x, 10−3 ì

83

88

93

98

103

108

113

Ïóñòü m  ìàññà îäíîãî âèòêà, k  êîýôôèöèåíò æ¼ñòêîñòè îäíîãî âèòêà. Èçìåíåíèå âûñîòû âåðõíåãî âèòêà ∆x1 = mg(n − 1/2)/k , ãäå n  êîëè÷åñòâî

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

âèòêîâ ñ íåíóëåâîé äåôîðìàöèåé. Èçìåíåíèå âûñîòû i-ãî ñâåðõó âèòêà ∆xi = mg(n − i)/k . Ñóììàðíîå èçìåíåíèå äëèíû ïðóæèíû ðàâíî

∆x =

n X

∆xi =

i=1

mgn2 mg X (ni) = . k i=1 2k

Èçìåíåíèå ïîêàçàíèé âåñîâ è âåñà ïðóæèíû: |∆m| = |∆P |/g = mn è |∆P | = mgn. Òîãäà p √ (∆P )2 = 2kmg∆x èëè |∆P | = 2kmg ∆x. 

|∆P |, ìÍ

49

68

78

89

103

113

120

13

18

23

28

33

38

∆P , 10 Í √ ∆x, 10−1 ì1/2

0,00

0,24

0,47

0,61

0,79

1,05

1,28

1,44

0,00

0,89

1,14

1,34

1,52

1,67

1,82

1,95

10

11

12

13

14

15

16

|∆P |, ìÍ

129

135

140

149

156

159

166

169

43

48

53

58

63

68

73

78

1,67

1,81

1,95

2,21

2,45

2,52

2,75

2,87

2,07

2,19

2,30

2,41

2,51

2,61

2,70

2,79

17

18

19

20

21

22

23

|∆P |, ìÍ

176

179

186

193

196

199

200

83

88

93

98

103

108

113

3,09

3,21

3,45

3,74

3,86

3,95

3,99

2,88

2,97

3,05

3,13

3,21

3,29

3,36

∆x, 10−3 ì 2

∆x, 10

−2

−3

∆P 2 , 10−2 Í2 √ ∆x, 10−1 ì1/2 

∆x, 10

−3

∆P 2 , 10−2 Í2 √ ∆x, 10−1 ì1/2

√ Ïîñòðîèì ãðàôèê (∆P )2 (∆x) èëè |∆P |( ∆x) äëÿ ïðîâåðêè ñîîòâåòñòâèÿ òåîðèè è ýêñïåðèìåíòà. Ãðàôèêè ïîëó÷èëèñü ëèíåéíûìè, çíà÷èò ýêñïåðèìåíò ïîäòâåðæäàåò òåîðèþ. Ìàññó îäíîãî âèòêà ïðóæèíû ìîæíî âû÷èñëèòü m = M/n, ãäå M = 20,37 ã  ìàññà âñåé ïðóæèíû, à n = 37  ÷èñëî âèòêîâ.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

(∆P )2 , 10−2 Í2 5 4 3 2 1 ∆x, ìì

0 0

25

250

50

75

100

125

|∆P |, ìÍ

200

150

100

50 √ 00

1,0

2,0

3,0

∆x, 10−1 ì1/2 4,0

Èç óãëîâîãî êîýôôèöèåíòà ãðàôèêà, ïîñòðîåííîãî â ïóíêòå 3, âûðàçèì æ¼ñòêîñòü îäíîãî âèòêà: k = β1 /2mg èëè k = (β2 )2 /2mg , ãäå β1 = (∆P )2 /∆x,

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

√ β2 = |∆P |/ ∆x. ∆β2 ∆m ∆m 1 Ïðîèçâåäåì îöåíêó ïîãðåøíîñòè: k = k( ∆β β1 + m ) èëè k = k(2 β2 + m ). Ïðè ðàñ÷åòàõ ïîëó÷àåì: k = (34,2 ± 1,8) Í/ì. Ïðè ïîìîùè ìàëÿðíîãî ñêîò÷à çàêðåïèì îäèí âèòîê ïðóæèíû ê êîíöó äåðåâÿííîé ëèíåéêè 40 ñì. Ïîìåñòèì ïðóæèíó áîêîâîé ñòîðîíîé íà ñòîë, òàê ÷òîáû ëèíåéêà íàõîäèëàñü â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè, à ñâîáîäíûé êðàé ëèíåéêè ëåæàë íà âåñàõ. Ðàñïîëîæèì áðóñêè ïî îáå ñòîðîíû îò ëèíåéêè íà ðàññòîÿíèè 2-3 ìì. Îáíóëèì ïîêàçàíèÿ âåñîâ è íà÷íåì àêêóðàòíî ñêðó÷èâàòü ñâîáîäíûé êîíåö ïðóæèíû îòíîñèòåëüíî çàêðåïë¼ííîãî íà ëèíåéêå. Ñîçäàâàåìûé ïðóæèíîé ìîìåíò ñèë áóäåò êîìïåíñèðîâàòüñÿ ìîìåíòîì ñèëû ðåàêöèè âåñîâ: M = mgl, ãäå m = 2,51 ã  ïîêàçàíèÿ âåñîâ, à l = 41 ñì  äëèíà ëèíåéêè. Ìîìåíò ñèë, ñîçäàâàåìûé ïðóæèíîé ïðè ïîâîðîòå îäíîãî å¼ êîíöà îòíîñèòåëüíî äðóãîãî íà îäèí îáîðîò: M = 1,0 · 10−2 Í · ì. Ïîñêîëüêó â äàííîì îïûòå ïðîèçâîäèòñÿ îöåíêà èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû, òî ïîãðåøíîñòü íå âû÷èñëÿåòñÿ. Çàäà÷à 10-E2. Îïòè÷åñêèé ¾ñýíäâè÷¿

Çàæì¼ì ëèíçó Ôðåíåëÿ äâóìÿ êàíöåëÿðñêèìè çàæèìàìè, ïîñòàâëåííûìè âåðòèêàëüíî. Òåïåðü å¼ óäîáíî ïåðåäâèãàòü. Òàêèì æå îáðàçîì çàêðåïèì ýêðàí.  òå÷åíèå âñåé ðàáîòû âàæíî ñëåäèòü, ÷òîáû ïëîñêîñòü ýêðàíà è ïëîñêîñòü ëèíçû îñòàâàëèñü ïàðàëëåëüíûìè. Ôîíàðèê ñ ïîìîùüþ êëåÿùèõ ïîäóøå÷åê óñòàíîâèì íà êàíöåëÿðñêèå çàæèìû êàê íà ¾íîæêè¿. Ýêðàí, ëèíçó è ôîíàðèê ðàñïîëîæèì íà ñòîëå òàê, ÷òîáû îñü ôîíàðèêà áûëà ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ëèíçû è ïëîñêîñòè ýêðàíà, è ñâåò îò ôîíàðèêà ôîðìèðîâàë íà ýêðàíå îò÷¼òëèâîå ïÿòíî. Íàêîíåö, ïðèêëåèì ìåðíóþ ëåíòó ê ñòîëó ñ ïîìîùüþ ñêîò÷à äëÿ óäîáñòâà èçìåðåíèÿ ðàññòîÿíèé.

Ôîíàðèê íà ¾íîæêàõ¿

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôîêóñíîãî ðàññòîÿíèÿ áóäåì èñïîëüçîâàòü ñèììåòðè÷íûé ìåòîä Áåññåëÿ êàê íàèáîëåå òî÷íûé: ïîäáåð¼ì ðàññòîÿíèå L ìåæäó ôîíàðèêîì è ýêðàíîì òàê, ÷òîáû ðåçêîå èçîáðàæåíèå ôîðìèðîâàëîñü òîãäà, êîãäà ëèíçà íàõîäèòñÿ ðîâíî ïîñåðåäèíå ìåæäó íèìè.  òàêîì ñëó÷àå F0 = L/4. Íà àâòîðñêîé óñòàíîâêå F0 ≈ 21,3 ñì.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

Êàïíåì íà ïëîñêóþ ñòîðîíó îäíîé èç ëèíç íåìíîãî ãëèöåðèíà. Ïîëîæèì ñâåðõó âòîðóþ ëèíçó ïëîñêîé ñòîðîíîé è ïëîòíî ñîæì¼ì ïîëó÷èâøèéñÿ ¾ñýíäâè÷¿ çàæèìàìè ïî êðàÿì. Âàæíî ñëåäèòü, ÷òîáû òîëùèíà ñëîÿ ãëèöåðèíà áûëà âåçäå îäèíàêîâîé, òî åñòü ëèíçû íå áûëè èçîãíóòû. Âûòåêøèé â ïðîöåññå èçãîòîâëåíèÿ ¾ñýíäâè÷à¿ ãëèöåðèí ïðîòð¼ì ñàëôåòêîé. Ïîâòîðèì èçìåðåíèÿ, îïèñàííûå â ïðîøëîì ïóíêòå. Íà àâòîðñêîé óñòàíîâêå F1 ≈ 10,6 ñì. Àêêóðàòíî ïðîòð¼ì ñàëôåòêîé îáå ëèíçû Ôðåíåëÿ. Êàïíåì íà ðåáðèñòóþ ñòîðîíó îäíîé èç ëèíç íåìíîãî ãëèöåðèíà. Ïîëîæèì ñâåðõó âòîðóþ ëèíçó ïëîñêîé ñòîðîíîé è ïëîòíî ñîæì¼ì ïîëó÷èâøèéñÿ ¾ñýíäâè÷¿ çàæèìàìè ïî êðàÿì. Âàæíî ñëåäèòü, ÷òîáû ëèíçû íå áûëè èçîãíóòû. Âûòåêøèé â ïðîöåññå èçãîòîâëåíèÿ ¾ñýíäâè÷à¿ ãëèöåðèí ïðîòð¼ì ñàëôåòêîé. Ïîâòîðèì èçìåðåíèÿ, îïèñàííûå â ïóíêòå 1. Íà àâòîðñêîé óñòàíîâêå F2 ≈ 19,1 ñì. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî îïòè÷åñêèå ñèëû òîíêèõ ëèíç, ðàñïîëîæåííûõ âïëîòíóþ, ñêëàäûâàþòñÿ. Ãëèöåðèí, çàæàòûé ìåæäó ëèíçàìè Ôðåíåëÿ, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê æèäêóþ ëèíçó, èçãîòîâëåííóþ èç ìàòåðèàëà ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ nã .  ñëó÷àå, êîãäà ëèíçû Ôðåíåëÿ ïðèæàòû ïëîñêèìè ñòîðîíàìè, ðàäèóñ êðèâèçíû ýòîé æèäêîé ëèíçû î÷åíü âåëèê, à çíà÷èò îïòè÷åñêàÿ ñèëà ìàëà è ïî÷òè íå âëèÿåò íà ðàñïðîñòðàíåíèå ñâåòà. Ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ òî, ÷òî F1 ≈ F0 /2. Åñëè æå ãëèöåðèí çàæàò ìåæäó îäíîé ãëàäêîé è îäíîé ðåáðèñòîé ñòîðîíîé, òî îí îáðàçóåò ðàññåèâàþùóþ ïëîñêî-âîãíóòóþ ëèíçó, ðàäèóñ êðèâèçíû êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ ðàäèóñîì êðèâèçíû ëèíçû Ôðåíåëÿ R. Îïòè÷åñêàÿ ñèëà òàêîé ñèñòåìû òð¼õ ëèíç 1 nã − 1 1 D2 = =2· − , F2 F0 R îòêóäà  −1 2 1 R = (nã − 1) − . F0 F2 Çíà÷åíèÿ, ïîëó÷åííûå íà àâòîðñêîé óñòàíîâêå, äàþò R ≈ 11,3 ñì. Èç ôîðìóëû äëÿ îïòè÷åñêîé ñèëû ïëîñêî-âûïóêëîé ëèíçû, ïðèâåä¼ííîé  −1 0 â óñëîâèè, ñëåäóåò, ÷òî n = 1 + FR0 = 1 + (nã − 1) 2 − F . F2 Çíà÷åíèÿ, ïîëó÷åííûå íà àâòîðñêîé óñòàíîâêå, äàþò n ≈ 1,53.  ïðåäåëàõ ñòàíäàðòíîé øêîëüíîé ïàðòû íå óäà¼òñÿ ïîäîáðàòü âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ýêðàíà, ëèíçû è ôîíàðèêà, ïðè êîòîðîì òàêîé ¾ñýíäâè÷¿ ôîðìèðîâàë áû ðåçêîå èçîáðàæåíèå. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî åãî ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ñëèøêîì âåëèêî. Îäíàêî ìû ìîæåì âû÷èñëèòü çíà÷åíèå F3 ñ ïîìîùüþ ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ â ïðîøëûõ ïóíêòàõ. Äåéñòâèòåëüíî, ãëèöåðèí, çàæàòûé ìåæäó ðåáðèñòûìè ñòîðîíàìè ëèíç Ôðåíåëÿ, îáðàçóåò ðàññåèâàþùóþ äâîÿêîâîãíóòóþ

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

ëèíçó, êîòîðóþ â ñâîþ î÷åðåäü ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñèñòåìó äâóõ ïëîñêîâîãíóòûõ, ñëåäîâàòåëüíî 1 2 2(nã − 1) . = − F3 F0 R Îòñþäà  −1 2 2 F3 = − . F2 F0 Çíà÷åíèÿ, ïîëó÷åííûå íà àâòîðñêîé óñòàíîâêå, äàþò F3 ≈ 92 ñì. Çàäà÷à 11-E1. Ïðóæèíà íà âåñàõ

Ñì. ðåøåíèå çàäà÷è 10-E1. Çàäà÷à 11-E2. R ïëþñ C

1 ?

? ?

Ïîäêëþ÷èì ìóëüòèìåòð â ðåæèìå îììåòðà ïîïàðíî ê âûâîäàì 1 − 2, 1 − 3, 2−3. Ïðè ïîäêëþ÷åíèè ê âûâîäàì 1−3, 2−3 ïîêàçàíèÿ îììåòðà (ñîïðîòèâëåíèå) áóäóò óâåëè÷èâàòüñÿ îò ìàëîãî çíà÷åíèÿ äî áåñêîíå÷íîñòè çà âðåìåíà ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ ñåêóíä, ïðè ïîäêëþ÷åíèè ê âûâîäàì 1 − 2 îììåòð áóäåò ðåãèñòðèðîâàòü óñòîé÷èâîå çíà÷åíèå ñîïðîòèâëåíèÿ 115,4 êÎì. Èçìåíåíèå ïîêàçàíèé ïðè ïîäêëþ÷åíèè îììåòðà ê âûâîäàì ñõåìû ãîâîðèò î òîì, ÷òî ïðîèñõîäèò ïðîöåññ çàðÿäêè èëè ðàçðÿäêè êîíäåíñàòîðà. Ïðè ñîåäèíåíèè ýëåìåíòîâ ïî ñõåìå òèïà ¾òðåóãîëüíèê¿, äëÿ âñåõ âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ ïîäêëþ÷åíèÿ ïîêàçàíèÿ ïðèáîðà ìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì. Íåèçìåííûå çíà÷åíèÿ ìîãóò áûòü çàðåãèñòðèðîâàíû, åñëè ìåæäó êîíòàêòàìè ìóëüòèìåòðà íàõîäÿòñÿ òîëüêî ðåçèñòîðû. Òàêèì îáðàçîì, ïðîâåäåííûå èçìåðåíèÿ ïîçâîëÿþò òî÷íî óñòàíîâèòü ñõåìó â ñåðîì ÿùèêå (ñì. ðèñóíîê), ïðè ýòîì R1 + R2 = 115,4 êÎì. Îòìåòèì ñðàçó, ÷òî õàðàêòåðíîå âðåìÿ çàðÿäà-ðàçðÿäà êîíäåíñàòîðà â ñåðîì ÿùèêå ÷åðåç ðåçèñòîðû R1 è R2 íåâåëèêî, è çà âðåìåíà ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ ñåêóíä êîíäåíñàòîð óñïåâàåò ïîëíîñòüþ ðàçðÿæàòüñÿ èëè çàðÿæàòüñÿ. Ñîáåð¼ì ñõåìó, óêàçàííóþ íà ðèñóíêå, èñïîëüçóÿ â êà÷åñòâå èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèÿ îììåòð â ðåæèìå èçìåðåíèÿ 2000 Îì.

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

R1

C R2 2

R1

R2

2,3

C Ω

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî îììåòð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èñòî÷íèê ïîñòîÿííîé ÝÄÑ E ñ íåêîòîðûì âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì r, îïðåäåëèì íàïðÿæåíèå U2 , äî êîòîðîãî çàðÿäèòñÿ êîíäåíñàòîð: ER2 U2 = . R1 + R2 + r Äàëåå îòêëþ÷èì âûâîä 3 êîíäåíñàòîðà îò öåïè è ñîáåð¼ì ñëåäóþùóþ ñõåìó:

R1 1

V Ïîêàçàíèÿ ïîäêëþ÷åííîãî òàêèì îáðàçîì âîëüòìåòðà áóäóò èçìåíÿòüñÿ (óìåíüøàòüñÿ) âî âðåìåíè, îäíàêî èç-çà ñðàâíèòåëüíî áîëüøîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ìóëüòèìåòðà â ðåæèìå âîëüòìåòðà èçìåíåíèå âî âðåìåíè áóäåò îòíîñèòåëüíî ìåäëåííîå. Ôèêñèðóÿ âòîðîå-òðåòüå ïîêàçàíèå âîëüòìåòðà, ìîæíî ñðàâíèòåëüíî òî÷íî îïðå-

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

äåëèòü íà÷àëüíîå íàïðÿæåíèå íà í¼ì, êîòîðîå ñâÿçàíî ñ íàïðÿæåíèåì çàðÿäêè êîíäåíñàòîðà: U2 RV RV ER2 U2′ = · = . R1 + RV R1 + R2 + r R1 + RV Ïîâòîðèì ýòè èçìåðåíèÿ 5 ðàç, ïîëó÷èì ñåðèþ äëÿ U2′ . 

U2′ , Â

1,60

1,62

1,61

1,64

1,63

Íàéä¼ì ñðåäíåå çíà÷åíèå: ⟨U2′ ⟩ = 1,62 Â. Ïðîâåäåì àíàëîãè÷íûå èçìåðåíèÿ, ïîìåíÿâ ìåñòàìè ðåçèñòîðû R1 è R2 ïðè çàðÿäêå êîíäåíñàòîðà îììåòðîì.  ýòîì ñëó÷àå íàïðÿæåíèå íà âîëüòìåòðå:

U1′ =

RV U1 RV ER1 · = . R1 + RV R1 + R2 + r R1 + RV

Âûïîëíèì àíàëîãè÷íóþ ñåðèþ èçìåðåíèé äëÿ U1′ . 

U1′ , Â

1,10

1,13

1,10

1,12

1,10

Íàéä¼ì ñðåäíåå çíà÷åíèå: ⟨U1′ ⟩ = 1,11 Â. ×åðåç îòíîøåíèå íàïðÿæåíèé U2′ è U1′ íàéä¼ì îòíîøåíèå ñîïðîòèâëåíèé R2 è R1 : R2 U2′ = = 1,46. ′ U1 R1 Çíàÿ ñóììó ñîïðîòèâëåíèé, îïðåäåëèì R2 = 68,5 êÎì, R1 = 46,9 êÎì. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ¼ìêîñòè êîíäåíñàòîðà ïîäêëþ÷èì îììåòð ê âûâîäàì 2 − 3 è ïîäîæä¼ì íåñêîëüêî ìèíóò, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî çà ýòî âðåìÿ íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå óñòàíîâèòñÿ ðàâíûì ÝÄÑ îììåòðà E . Ïåðåêëþ÷èâ ìóëüòèìåòð â ðåæèì âîëüòìåòðà, ïîäêëþ÷èì åãî ê âûâîäàì 2-3 è îïðåäåëèì íàïðÿæåíèå

U3 =

RV E R2 + RV

â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ïîñëå ïîäêëþ÷åíèÿ (âòîðîå-òðåòüå ïîêàçàíèÿ âîëüòìåòðà). Ïîâòîðèâ èçìåðåíèÿ 5 ðàç, ïîëó÷èì ñåðèþ äëÿ U3 . Ïåðåä êàæäûì íîâûì èçìåðåíèåì îáÿçàòåëüíî áóäåì ðàçðÿæàòü êîíäåíñàòîð, çàìûêàÿ âûâîäû 3 è 1. 

U3 , Â

2,68

2,66

2,70

2,65

2,68

Ðåãèîíàëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

Íàéä¼ì ñðåäíåå çíà÷åíèå: ⟨U3′ ⟩ = 2,68 Â. Çàòåì ïîâòîðèì ýêñïåðèìåíò, ïîäêëþ÷èâ ê âûâîäó 3 êîíäåíñàòîð èçâåñòíîé ¼ìêîñòè, è çàðÿäèì öåïî÷êó êîíäåíñàòîðîâ C è C0 îò îììåòðà ÷åðåç ñîïðîòèâëåíèå R2 â òå÷åíèå íåñêîëüêèõ ìèíóò. Óñòàíîâèâøååñÿ íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå C ïðè ýòîì áóäåò ðàâíî EC0 /(C0 +C). Îòêëþ÷èì êîíäåíñàòîð C0 , ñíîâà èçìåðèì íàïðÿæåíèå ìåæäó âûâîäàìè 2−3.  ïåðâûé ìîìåíò âðåìåíè ïîñëå ïîäêëþ÷åíèÿ îíî ðàâíî RV C0 U4 = E. R2 + RV C0 + Ñ Ïðè êàæäîì íîâîì èçìåðåíèè îáÿçàòåëüíî áóäåì ðàçðÿæàòü êîíäåíñàòîðû. Ïîëó÷åííàÿ ñåðèÿ äëÿ U4 ïðèâåäåíà íèæå â òàáëèöå. 

U4 , Â

1,32

1,35

1,34

1,34

1,30

Íàéä¼ì ñðåäíåå çíà÷åíèå: ⟨U4′ ⟩ = 1,33 Â. ×åðåç ðàâåíñòâî îòíîøåíèé íàïðÿæåíèé è ¼ìêîñòåé

U3 C0 + C = ≈ 2,02 U4 C0 âû÷èñëèì çíà÷åíèå èñêîìîé ¼ìêîñòè   U3 − 1 ≈ 10,2 ìêÔ. C = C0 U4