Олимпиада по физике 11 класс — заключительный этап ВсОШ 2025/2026: задания и ответы

Решения — теор.

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Çàäà÷à 11-1. Âûáîèíà

Ðàññìîòðèì ñêàòûâàíèå øàéáû ïî ãðàíèöå.  ìàëîé îêðåñòíîñòè îáëàñòè ñêàòûâàíèÿ ó÷àñòîê äåôîðìàöèè âûáîèíû ìîæíî ñ÷èòàòü íåêîòîðûì íàêëîííûì ïðîôèëåì. Òîãäà ñèëà ðåàêöèè íà øàéáó äåéñòâóåò òîëüêî â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòðû øàéáû è âûáîèíû (ñì. ðèñ.), à çíà÷èò èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ñëåäóåò, ÷òî ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ýòîìó ñå÷åíèþ êîìïîíåíòà ñêîðîñòè øàéáû ñîõðàíÿåòñÿ.

⃗ N

m⃗g

⃗v∥

Íà ïîâåðõíîñòè âíå âûáîèíû ñêîðîñòü øàéáû v1 è îíà íàïðàâëåíà ïîä óãëîì α ê ïåðïåíäèêóëÿðó ê ãðàíèöå ðàçäåëà. Íà äíå âûáîèíû ñêîðîñòü øàéáû v2 è îíà íàïðàâëåíà ïîä óãëîì β ê ãðàíèöå ðàçäåëà. Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî ïðè ïåðåõîäå øàéáû ñ îäíîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè íà äðóãóþ ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëó, ïîõîæóþ íà çàêîí ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà: v⊥ = v1 sin α = v2 sin β .

⃗v2 ⃗v⊥ ⃗v2∥ β α ⃗v1 α ⃗v1∥

⃗v⊥

Ïóñòü óãîë ïàäåíèÿ ðàâåí α, à óãîë ïðåëîìëåíèÿ β . Èç ïðåäûäóùåãî ðåçóëüsin α v2 òàòà: v1 sin α = v2 sin β ïîëó÷àåì sin β = , ãäå n = . Òåïåðü ïðîàíàëèçèðóåì n v1 ãåîìåòðèþ òðàåêòîðèè. Ïîñòðîèì âñïîìîãàòåëüíûå âûñîòû AH1 è BH2 , äëèíû êîòîðûõ èç óñëîâèÿ ðàâíû x0 è x1 . Òàê êàê AO = OB (ýòî ðàäèóñû, êîòîðûå

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

ðàâíû R) , òî ∠OAB = ∠OBA = β . Òîãäà èç ∆AOB : AB = L = 2R cos β . Èç ãåîìåòðèè äëÿ òðàïåöèè AH1 H2 B âèäíî, ÷òî x0 − x1 = L sin(α − β).

A L

β x0 H1

B β x1

α O

H2

Òîãäà ïîëó÷àåì, ÷òî x1 = x0 −2R cos β(sin α cos β−cos α sin β). Òàêæå èç ∆AOH1 x0 ìû âèäèì, ÷òî sin α = . Òàêèì îáðàçîì ìû ìîæåì ïîëó÷èòü çàâèñèìîñòü: R ! r x1 x0 2  x0 2 2 n 2 + 1  x0 2 1  x0 4 = 1− + + 2 −1 . R R n2 R n n2 R n R Îäíàêî îíà ïîëó÷àåòñÿ ñëîæíîé äëÿ àíàëèçà, ïîýòîìó îáðàòèì âíèìàíèå íà öåíòðàëüíóþ ÷àñòü ãðàôèêà. Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî öåíòðàëüíûé ó÷àñòîê ãðàôèêà x0 ≪ 1. Èñïîëüáëèçîê ê ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè è äëÿ íåãî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå R çóåì åãî è ïðåîáðàçóåì çàâèñèìîñòü äëÿ öåíòðàëüíîãî ó÷àñòêà: ! x1 x0 2 = −1 . R R n Ýòî âûðàæåíèå ìîæíî áûëî ïîëó÷èòü ñðàçó, âîñïîëüçîâàâøèñü ìàëîñòüþ óãëîâ α è β . Ìû âèäèì, ÷òî ïðè ìàëûõ x0 çàâèñèìîñòü ! x1 (x0 )  ëèíåéíàÿ, ïðè÷åì 2 óãëîâîé êîýôôèöèåíò ýòîé ïðÿìîé k = − 1 . Ñòðîèì àïïðîêñèìèðóþùóþ n ïðÿìóþ â öåíòðàëüíîé ÷àñòè ãðàôèêà. v2 2 Èç ãðàôèêà ïîëó÷àåì k ≈ 0,34. Òîãäà n = = ≈ 1,49, îòêóäà v2 = v1 1+k mv22 mv12 1,49v1 . Òîãäà èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè: = + mgh íàõîäèì ãëóáèíó 2 2 2 2 v2 − v1 âûáîèíû: h = . 2g

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

x1 /R 0.2

0.1 x0 /R −1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

−0.1

−0.2

Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëà, ïîëó÷èì èòîãîâûé îòâåò: v12 h ≈ 0,61 g Èññëåäóåì, ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ x1 íå çàâèñèò îò x0 . Ïðè n = 2 íà öåíòðàëüíîì ó÷àñòêå k = 0, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî òðàåêòîðèè ôîêóñèðóþòñÿ â òî÷êå óñòàíîâêè âîðîò. Òîãäà v2 = 2v1 , à äëÿ h ïîëó÷èì: v12 h = 1,5 g Çàäà÷à 11-2. Ìîëåêóëÿðêà

Íà ó÷àñòêàõ 1 − 2 è 3 − 4 äàâëåíèå è îáú¼ì ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíû äðóã äðóãó, ïîýòîìó âäîëü ýòèõ ó÷àñòêîâ îíè îäíîâðåìåííî óâåëè÷èâàþòñÿ èëè óìåíüøàþòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, òåìïåðàòóðà ìîíîòîííî èçìåíÿåòñÿ è äîñòèãàåò ìèíèìàëüíîãî è ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ íà êîíöàõ ýòèõ ó÷àñòêîâ. Ó÷àñòêè öèêëà (2 − 3 è 4 − 1) ÿâëÿþòñÿ èçîòåðìàìè, òàê êàê p = nkT , ïîýòîìó p/n = const òîëüêî ïðè T = const. Òàê êàê òî÷êà 2 èìååò íàèáîëüøóþ îðäèíàòó, òî ó÷àñòîê 2 − 3 ÿâëÿåòñÿ ñ èçîòåðìîé ñ íàèáîëüøåé òåìïåðàòóðîé, à 4 − 1  ñ íàèìåíüøåé. Îáîçíà÷èì ýòè òåìïåðàòóðû Tmax è Tmin ñîîòâåòñòâåííî. Ïî óñëîâèþ ìû çíàåì

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

ÊÏÄ öèêëà Êàðíî, ïîñòðîåííîãî ìåæäó ýòèìè òåìïåðàòóðàìè:

ηK = 0,5 =

Tmax − Tmin . Tmax

Ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå ìåæäó ìàêñèìàëüíîé è ìèíèìàëüíîé òåìïåðàòóðàìè:

Tmax = 2Tmin . Òî÷êà (1,1) ëåæèò íà ó÷àñòêå 4 − 1, ïîýòîìó:

p0 =

N0 kTmin V0

. Âûðàæàÿ òåìïåðàòóðó, ïîëó÷àåì:

Tmin =

p0 V0 p0 2p0 = ; Tmax = . N0 k n0 k n0 k

Íàéä¼ì êîýôôèöèåíò íàêëîíà ãðàôèêà çàâèñèìîñòè p/p0 îò n/n0 äëÿ èçîòåðìû ñ òåìïåðàòóðîé T : p n0 kT n p = nkT, = · p0 p0 n0 Êîýôôèöèåíò íàêëîíà ÿâëÿåòñÿ òàíãåíñîì ñîîòâåòñòâóþùåãî óãëà:

tan β =

n0 kT . p0

Ïîäñòàâèì íàéäåííûå ðàíåå òåìïåðàòóðû è ïîëó÷èì îòâåò. Äëÿ 4 − 1: tan β4−1 = 1 èëè β4−1 = 45◦ . Äëÿ 2 − 3: tan β2−3 = 2 èëè β2−3 = arctan 2 = 63,4◦ . Çàìåòèì, ÷òî íà 4 − 1 èç íàéäåííîãî ðàíåå çíà÷åíèÿ òåìïåðàòóðû ïîëó÷àåì T /T0 = 1, àíàëîãè÷íî íà 2 − 3 èìååì T /T0 = 2. Ñîîòâåòñòâåííî òî÷êà (1,1) ïðèíàäëåæèò ó÷àñòêó 4 − 1 è â òàêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Òåïåðü ïðîàíàëèçèðóåì âèä ó÷àñòêîâ 1 − 2 è 3 − 4. Íà íèõ äàâëåíèå è îáú¼ì ïðîïîðöèîíàëüíû:

V n0 p ∝ = , p0 V0 n òàê êàê nV = n0 V0 = N0 .

V 1 1 p ∝ ∝ , n2 ∝ kT T nT T Òàêèì îáðàçîì íà ýòèõ ó÷àñòêàõ èìååì: r n T0 ∝ . n0 T n=

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Ïîñòðîèì êà÷åñòâåííî ãðàôèê. n n0

1 2 1 4

3 1

T T0

Äëÿ óäîáñòâà íàðèñóåì íàø öèêë â êîîðäèíàòàõ p/p0 − V /V0 . p p0

1 1

3 4

α δ 0

V V0

Çàìåòèì, ÷òî 1 − 2 è 3 − 4 óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ pV −1 = const, òî åñòü ýòî ïîëèòðîïû. Íàéä¼ì òåïëî¼ìêîñòü â òàêîì ïðîöåññå.

δQ = dU + δA = νCV dT + pdV p∝V ⇒

dp dV = p V

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

dT dp dV dV dV dT = + =2 ⇒ = T p V V V 2T pV dT νRT dT νR pdV = = = dT 2T 2T 2   νR R δQ = νCV dT + dT = ν CV + dT 2 2 Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ãàç äâóõàòîìíûé, ïîëó÷àåì, ÷òî â ýòèõ ïðîöåññàõ åãî òåïëî¼ìêîñòü C = 3νR. Òàêèì îáðàçîì ìîæåì íàéòè òåïëîòó â ïðîöåññàõ 1 − 2 è 3 − 4: pV = νRT ⇒

Q1−2 = −Q3−4 = C(2T0 − T0 ) = 3νRT0 . Îáîçíà÷èì óãîë ìåæäó 3 − 4 è îñüþ àáñöèññ δ . Íàéä¼ì çíà÷åíèÿ îáú¼ìà ãàçà â âåðøèíàõ öèêëà. Òî÷êà 4: r  2 1 p4 V4 V4 T4 V4 · = tan δ = = 1, = p0 V0 V0 T0 V0 tan δ Àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì îñòàëüíûå çíà÷åíèÿ. s s r V1 V2 V3 2 1 2 , , = = = V0 tan δ V0 tan(δ + α) V0 tan(δ + α) Íàéä¼ì òåïëîòû íà ó÷àñòêàõ 4 − 1 è 2 − 3. Òàê êàê ýòî èçîòåðìû, òî îíè ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì ðàáîòàì. V Z3

Q2−3 =

V Z3

dV V3 = 2νRT0 ln , V V2

pdV = 2νRT0 V2

V2

r Q2−3 = 2νRT0 ln

tan(δ + α) tan δ

 = νRT0 ln

tan(δ + α) tan δ

 .

Àíàëîãè÷íî äëÿ ó÷àñòêà 4 − 1.

Q4−1 = −

νRT0 ln 2

tan(δ + α) tan δ

 .

Çàìåòèì, ÷òî ðàáîòà â öèêëå A = Q1−2 + Q2−3 + Q3−4 + Q4−1 . Ïðè ýòîì òåïëî ïîäâîäèòñÿ òîëüêî íà ó÷àñòêàõ 1 − 2 è 2 − 3, ïîýòîìó Q+ = Q1−2 + Q2−3 . Òàêèì îáðàçîì ÊÏÄ öèêëà:   tan(δ+α) νRT0 2 ln tan δ 1   . η= =  3 νRT0 ln tan(δ+α) + 3νRT 0 2 1 + tan δ tan(δ+α) ln( tan δ )

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Íàéä¼ì, êàê tan(δ+α) çàâèñèò îò δ . tan δ

d dδ

tan(δ + α) tan δ

 =

tan(δ+α) tan δ cos2 (δ+α) − cos2 δ 2

tan δ

sin δ cos δ − sin(δ + α) cos(δ + α) . sin2 δ cos2 (δ + α)

Çàìåòèì, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ îáðàùàåòñÿ â 0 ïðè:

sin δ cos δ − sin(δ + α) cos(δ + α) = 0. sin 2δ = sin 2(δ + α) 2δ = π − 2(δ + α) π δ = − (δ + α) 2 π α δ= − 4 2 Çàìåòèì, ÷òî ýòî ñîîòâåòñòâóåò ñèòóàöèè, êîãäà 1−2 è 3−4 ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé p/p0 = V /V0 . Òàêèì îáðàçîì, èññëåäóåìàÿ ôóíêöèÿ óìåíüøàåòñÿ îò áåñêîíå÷íîñòè ïðè δ = 0 äî ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ â ýòîò ìîìåíò, à ïîòîì âîçðàñòàåò ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè α + δ = π/2. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ÊÏÄ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ñèììåòðè÷íîì ñëó÷àå δ = π4 − α2 îí ìèíèìàëåí, à ìàêñèìàëåí èëè ïðè ìàêñèìàëüíîì çíà÷åíèè, èëè ïðè ìèíèìàëüíîì çíà÷åíèè δ . Íàéä¼ì îãðàíè÷åíèÿ íà δ . Èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ïîíÿòíî, ÷òî δ > 0 è α + δ < π/2. Òàê æå èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî òî÷êà (1,1) ëåæèò ìåæäó ïðÿìûìè ñîäåðæàùèìè 1 − 2 è 3 − 4, ïîýòîìó α + δ > π/4 è δ < π/4. Ñóììàðíî ïîëó÷àåì:  π π   π , −α . max 0, − α ⩽ δ ⩽ min 4 4 2 Çàìåòèì, ÷òî â ëþáîì ñëó÷àå ñèììåòðè÷íûé ñëó÷àé ðåàëèçóåòñÿ, ïîýòîìó ìèíèìóì ÊÏÄ ïðè δ = π4 − α2 :

η⩾

1  . 3 2 1 + ln 1+sin α ( 1−sin α )

Ìàêñèìóì ÊÏÄ çàâèñèò îò ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé δ . Åñëè α ⩾ π/4, òî îòíîøåíèå òàíãåíñîâ ìîæåò áûòü ñêîëü óãîäíî áîëüøèì è ñîîòâåòñâåííî îãðàíè÷åíèå íà ÊÏÄ: η < 1/2.

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

 èíîì ñëó÷àå ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ δ ðàâíû π/4−α è π/4 äàþò îäèíàêîâûé ÊÏÄ, òàê êàê tan(α + π/4) = 1/ tan(π/4 − α), è îãðàíè÷åíèå íà ÊÏÄ:

η⩽

3 2 1 + ln 1+tan ( 1−tan αα )

Ïðè α ⩾ π/4:

.

1 1   ⩽η< . 2 3 2 1 + ln 1+tan ( 1−tan αα )

Ïðè α < π/4:

1 

 ⩽η⩽

2 1 + ln 1+tan α ( 1−tan α )

1 

.

2 1 + ln tan π +α ( ( 4 ))

 ýòîì ñëó÷àå α > π/4. Ïîäñòàâèì çíà÷åíèå óãëà â ñîîòâåòñòâóþùèå ôîðìóëû.

0,234 ⩽ η < 0,5  ýòîì ñëó÷àå α < π/4. Ïîäñòàâèì çíà÷åíèå óãëà â ñîîòâåòñòâóþùèå ôîðìóëû.

0,134 ⩽ η ⩽ 0,153 Çàäà÷à 11-3. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêèé ýòþä

Ðàññìîòðèì îäèí çàðÿä q , ðàñïîëîæåííûé íà îñè ñèììåòðèè öèëèíäðà. Ïîñêîëüêó ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà ïðîâîäÿùàÿ, íà íåé âîçíèêíóò èíäóöèðîâàííûå çàðÿäû, âåëè÷èíà êîòîðûõ ïðîïîðöèîíàëüíà q . Èõ ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íà îñè öèëèíäðà íà ðàññòîÿíèè z äî çàðÿäà ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

Ez(ind) (z) = qf (ind) (z), ãäå f (ind) (z)  íåêîòîðàÿ íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ, çàâèñÿùàÿ îò ðàñïðåäåëåíèÿ èíäóöèðîâàííûõ çàðÿäîâ. Âêëàä â îñåâóþ íàïðÿæ¼ííîñòü âíîñÿò íå òîëüêî èíäóöèðîâàííûå çàðÿäû íà ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà, íî è çàðÿäû, íàõîäÿùèåñÿ íà îñè. Íàïðÿæ¼ííîñòü îò òàêîãî çàðÿäà ìîäóëåì q̃ ìû îáîçíà÷èì çà q̃f (p) (çäåñü ¾p¿ îò àíãëèéñêîãî point). Ðàçóìååòñÿ, å¼ ìîæíî âû÷èñëèòü íàïðÿìóþ:

q qf (p) (z) = k 2 . z

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Òîãäà, ñîãëàñíî ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöèè, ïîëå â òî÷êå, ãäå íàõîäèòñÿ çàðÿä Q:
E1 = q f (L) − f (L + l) , ãäå

f (z) = f (ind) (z) + f (p) (z). Òîãäà ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ l ≪ L ïîëó÷èì äëÿ ñèëû, äåéñòâóþùåé íà çàðÿä,

FQ = QE1 = −qQlf ′ (L) èëè

′ k FQ = −qQl f (ind) (L) + 2qQl 3 . L Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé ïîâåðíóòîãî äèïîëÿ. Çàðÿä Q è èíäóöèðîâàííûå èì çàðÿäû ñîçäàþò íà îñè öèëèíäðà ïîëå Qf (p) (z) + Qf (ind) (z) = Qf (z). Ïðè ñìåùåíèè îò îñè íà ìàëîå ðàññòîÿíèå r ≪ R ó ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ïîÿâëÿåòñÿ ðàäèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ Er . ×òîáû îïðåäåëèòü åå, ðàññìîòðèì öèëèíäð âûñîòû dz ñ ðàäèóñîì îñíîâàíèÿ r, îñü ñèììåòðèè êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ îñüþ âíåøíåãî öèëèíäðà. Ïîñêîëüêó âíóòðè ýòîãî öèëèíäðà íåò çàðÿäîâ, ñîãëàñíî òåîðåìå Ãàóññà, ïîòîê ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÷åðåç åãî ïîâåðõíîñòü ðàâåí íóëþ:
πr2 Q f (z + dz) − f (z) +2πr dz Er = 0,

îòêóäà èëè æå

1 Er (z) = − Qrf ′ (z) 2

′ 1 1 k Er (z) = − Qr f (ind) (z) + Qr 3 . 2 4 z Èç ñèììåòðèè çàäà÷è îòíîñèòåëüíî îñè öèëèíäðà ñëåäóåò, ÷òî îò ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç çàðÿäà Q è èíäóöèðîâàííûõ èì çàðÿäîâ, â òî÷êàõ, ãäå ðàñïîëîæåíû çàðÿäû äèïîëÿ, ñîñòàâëÿþùèå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âäîëü îñè z ðàâíû, à çíà÷èò, ïðîåêöèÿ ñóììàðíîé ñèëû íà îñü z ðàâíà 0. Áîëåå òîãî, èç-çà çåðêàëüíîé ñèììåòðèè ñèñòåìû èíäóöèðîâàííûõ äèïîëåì çàðÿäîâ, îñåâàÿ ïðîåêöèÿ ñèëû íà äèïîëü îò íèõ ðàâíà íóëþ. Ñèëû æå, ñîçäàâàåìûå ðàäèàëüíûìè ñîñòàâëÿþùèìè ïîëÿ îò èíäóöèðîâàííûõ äèïîëåì çàðÿäîâ, óíè÷òîæàþò äðóã äðóãà. Ñóììàðíàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà äèïîëü,   1 l = − qQlf ′ (L). FD = 2qEr 2 2

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Îòñþäà èñêîìîå îòíîøåíèå

FQ =2 FD Çàäà÷à 11-4. Êîëüöî íà ãðàíèöå

Íà ó÷àñòêè êîëüöà, íàõîäÿùèåñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå, äåéñòâóåò ñèëà Ëîðåí⃗ è âåêòîðó ñêîðîñòè ó÷àñòêà êîëüöà. Ìîæíî öà, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ âåêòîðó B ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå êîëüöà êàê íàëîæåíèå ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ â íàïðàâëåíèè âäîëü ãðàíèöû ñî ñêîðîñòüþ vx , ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî ãðàíèöå ñî ñêîðîñòüþ vy è âðàùåíèÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω . Èç-çà ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ â íàïðàâëåíèè y âîçíèêàåò ìîìåíò ñèëû Ëîðåíöà, ðàñêðó÷èâàþùèé êîëüöî. Ýòîò ìîìåíò ñèë èñ÷åçàåò òîëüêî ïîñëå òîãî, êàê êîëüöî ïîëíîñòüþ îêàæåòñÿ â îáëàñòè ïîëÿ. Ñóììà ñèë Ëîðåíöà, äåéñòâóþùèõ íà ó÷àñòêè â îáëàñòè ïîëÿ, ñâÿçàííàÿ ñ äâèæåíèåì âäîëü y , íàïðàâëåíà âäîëü ãðàíèöû è èçìåíÿåò çíà÷åíèå vx . Ñèëû Ëîðåíöà, ñâÿçàííûå ñ ïîñòóïàòåëüíûì äâèæåíèåì âäîëü îñè x, èçìåíÿþò ñêîðîñòü vy , íî íå ñîçäàþò ìîìåíòà ñèë, ðàñêðó÷èâàþùèõ êîëüöî. Ñèëû Ëîðåíöà, âîçíèêàþùèå èç-çà âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ êîëüöà, êàê ëåãêî óáåäèòüñÿ, äåéñòâóþò òîëüêî âäîëü y è íå âëèÿþò íà äâèæåíèå âäîëü x. y ∆l x O φ

∆l cos φ

Ðàññìîòðèì òàíãåíöèàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ ñèëû Ëîðåíöà, äåéñòâóþùóþ íà ó÷àñòîê êîëüöà äëèíû ∆l, ñâÿçàííóþ ñ vy . Îíà ðàâíà λ∆lBvy cos φ, ãäå φ  óãîë ìåæäó ýòèì ó÷àñòêîì è îñüþ x. Âåëè÷èíà ∆l cos φ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîåêöèþ ýòîãî ó÷àñòêà íà x, à ñóììà òàíãåíöèàëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ äëÿ âñåõ ó÷àñòêîâ, íàõîäÿùèõñÿ â îáëàñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, áóäåò ðàâíà λlx Bvy , ãäå lx  äëèíà õîðäû, ñòÿãèâàþùåé êîíöû ó÷àñòêà êîëüöà, íàõîäÿùåãîñÿ â îáëàñòè ïîëÿ. Òîãäà

mR

dω = λBvy lx . dt

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Ïîñëå äîìíîæåíèÿ îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ íà dt, ñ ó÷¼òîì òîãî, ÷òî vy dt = dy , à lx dy = dS , ãäå dS  äîïîëíèòåëüíàÿ ïëîùàäü êîëüöà, êîòîðàÿ îêàçûâàåòñÿ â îáëàñòè ïîëÿ çà âðåìÿ dt, ïîëó÷àåì

mRdω = λ · dÔ, ãäå dÔ  ïðèðîñò ïîòîêà ìàãíèòíîãî ïîëÿ ÷åðåç ïëîñêîñòü êîëüöà. Åñëè êîëüöî ïîëíîñòüþ îêàæåòñÿ â îáëàñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, åãî óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ áóäåò ðàâíà

ω=

πλBR . m

πλBR . Èòàê, îòâåò íà ïåðâûé âîïðîñ çàäà÷è: ω = m Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, âðàùåíèå íå âëèÿåò íà ïðîåêöèþ ñêîðîñòè vx , å¼ èçìåíåíèå öåëèêîì îïðåäåëÿåòñÿ y -ïðîåêöèåé ñêîðîñòè öåíòðà è çàðÿäîì òîé ÷àñòè êîëüöà (äóãè äëèíû l), êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ â ïîëå. m

dvx = λlBvy . dt

Ïóñòü y  êîîðäèíàòà òî÷êè êîëüöà, íàèáîëåå óäàë¼ííîé îò ãðàíèöû. Äðóãèìè ñëîâàìè, ýòî ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîå ñìåñòèëîñü êîëüöî â íàïðàâëåíèè y ! R−y îò íà÷àëà äâèæåíèÿ. Òîãäà l = 2R arccos . Äàëåå R

dvx m = 2λBRvy arccos dt

l y R−y

! R−y . R

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Äîìíîæèâ íà dt, ïåðåõîäèì ê èíòåãðàëó

2λBR vx = m

2R Z

 arccos

R−y R

 dy =

2πλBR2 . m

Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, ó÷èòûâàÿ òîò ôàêò, ÷òî ñèëà Ëîðåíöà ðàáîòû íå ñîâåðøàåò è êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ êîëüöà â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ðàâíà íà÷àëüíîé.

mv0 2 mvx 2 mvy 2 mR2 ω 2 = + + . 2 2 2 2 Äëÿ îòâåòà íà âòîðîé âîïðîñ çàäà÷è ïîëîæèì â ýòîì âûðàæåíèè vy = 0 è âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòîì îòâåòà íà ïåðâûé ïóíêò äëÿ óãëîâîé ñêîðîñòè. Òîãäà  2 πλBR2 2 2 2 2 vmin = vx + R ω = 5 . m √ 5πλBR2 vmin = . m Ïîñêîëüêó vx óæå íàéäåíî, òî äëÿ îòâåòà íà òðåòèé âîïðîñ äîñòàòî÷íî îïðåäåëèòü ïðîåêöèþ vy â ìîìåíò, êîãäà êîëüöî öåëèêîì √ îêàæåòñÿ â ïîëå.√ Èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè íàõîäèì: vy = v0 2 − vx 2 − ω 2 R2 = v0 2 − vmin 2 . Äëÿ òàíãåíñà èñêîìîãî óãëà: tan θ = vy /vx . Ñëåäîâàòåëüíî, r √ v0 2 − vmin 2 mv0 2 5 = − . tan θ = vx 2πλBR2 4 v !2 u u mv 5 0 θ = arctan t − . 2πλBR2 4 Ñ ìîìåíòà, êîãäà êîëüöî öåëèêîì îêàçûâàåòñÿ â îáëàñòè ïîëÿ åãî óãëîâàÿ ñêîðîñòü ïåðåñòà¼ò ìåíÿòüñÿ è öåíòð êîëüöà äâèæåòñÿ êàê òî÷å÷íûé çàðÿä q = 2πRλ ñî ñêîðîñòüþ, ïðîåêöèè êîòîðîé ðàâíû çíà÷åíèÿì vx è vy â ìîìåíò ïåðåñå÷åíèÿ ãðàíèöû îáëàñòè ïîñëåäíåé òî÷êîé êîëüöà. Ñ ýòîãî ìîìåíòà

dvx = 2πλRBvy . dt

Ïîñëå óæå òðàäèöèîííîãî äîìíîæåíèÿ íà dt è èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëó÷àåì

∆y =

m∆vx . 2πλRB

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Çäåñü ∆y  èçìåíåíèå y  êîîðäèíàòû öåíòðà îò ìîìåíòà ïîëíîãî âõîæäåíèÿ â ïîëå äî ìîìåíòà ìàêñèìàëüíîãî óäàëåíèÿ öåíòðà îò ãðàíèöû, ∆vx - ñîîòâåòñòâóþùåå ýòèì ìîìåíòàì âðåìåíè èçìåíåíèå ïðîåêöèè ñêîðîñòè. vx â ìîìåíò ìàêñèìàëüíîãî óäàëåíèÿ ìîæíî íàéòè èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè s  2 πλBR2 v x = v0 2 − . m Òîãäà

s ∆vx =

v0 2 −

πλBR2 m

2 −

2πλBR2 . m

Èñêîìîå ìàêñèìàëüíîå óäàëåíèå:

m∆vx ymax = R + = 2πλRB

 mv 2 R2 0 . − 2πλRB 4

Çàäà÷à 11-5. RLC-ìåòð

Îòíîøåíèå èçìåðåííûõ àìïëèòóä íàïðÿæåíèÿ è òîêà ðàâíî ìîäóëþ èìïåäàíñà |Z| óñòðîéñòâà, ïîäêëþ÷åííîãî âûâîäàì RLC -ìåòðà. Èñïîëüçóÿ èçâåñòíûå ôîðìóëû äëÿ èìïåäàíñîâ èíäóêòèâíîñòè ZL = iωL è åìêîñòè ZC = −i/ωC (ãäå ω  öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà, íà êîòîðîé ïðîâîäÿòñÿ èçìåðåíèÿ) ìîæíî îïðåäåëèòü èçìåðåííûå ïðèáîðîì çíà÷åíèÿ èíäóêòèâíîñòè è åìêîñòè. Èç ôîðìóë äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ èìïåäàíñîâ ïîëó÷èì â ïåðâîì ñëó÷àå

ωL −

1 1 = ωL1 = . ωC ωC1

(1)

Âî âòîðîì ñëó÷àå èñïîëüçóåì ôîðìóëó äëÿ èìïåäàíñà ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ

L/C 1 = ωL2 = . 1 ωC2 ωL − ωC

(2)

Êàêîå áû óñòðîéñòâî íå ïîäêëþ÷àëîñü ê âûâîäàì, ïîêàçàíèÿ ïðèáîðà â ðåæèìàõ èçìåðåíèÿ èíäóêòèâíîñòè è åìêîñòè ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì |Z| = ωL1 = 1/ωC1 , òî åñòü L1 C1 = 1/ω 2 . Òàêèì îáðàçîì L1 C1 = L2 C2 , îòêóäà

C2 =

C2 = C1

L1 C1 . L2

L1 ≈ 0,83 ìêÔ L2

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Çíàìåíàòåëü â óðàâíåíèè (2) äëÿ ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ ñîâïàäàåò ñ èìïåäàíñîì äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ, ïîýòîìó

L = ωL2 . C · ωL1 Ïîäñòàâëÿÿ â ýòî ñîîòíîøåíèå çíà÷åíèå ω 2 = 1/L1 C1 , íàéäåì

L2 L = . C C1 Âûðàæàÿ îòñþäà C1 è ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèå (1), ïîëó÷èì

L− Îòñþäà

1 ω2 C

= L−

L1 L2 = L1 . L

|L2 − L1 L2 | = L1 L,

çíà÷èò L óäîâëåòâîðÿåò îäíîìó èç äâóõ êâàäðàòíûõ óðàâíåíèé

L2 − L1 L2 = ±L1 L, îòêóäà

L2 ∓ L1 L − L1 L2 = 0.

Êîðíè ýòèõ äâóõ óðàâíåíèé èìåþò âèä p ±L1 ± L21 + 4L1 L2 L= , 2 ãäå ïåðâûé çíàê îïðåäåëÿåòñÿ çíàêîì ± â óðàâíåíèè, à âòîðîé  âûáðàííûì êîðíåì êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ. Ïðè ýòîì èíäóêòèâíîñòü äîëæíà áûòü ïîëîæèòåëüíîé, ïîýòîìó ïåðåä êâàäðàòíûì êîðíåì âñåãäà íóæíî âûáèðàòü çíàê +. Èòîãî ïîëó÷àåì, ÷òî âîçìîæíû äâà çíà÷åíèÿ èíäóêòèâíîñòè p L21 + 4L1 L2 ± L1 L= , 2 îòâå÷àþùèå äâóì ðàçíûì ñïîñîáàì ðàñêðûòü ìîäóëü. Îòâå÷àþùèå èì çíà÷åíèÿ åìêîñòè ìîæíî íàéòè êàê q  C1 C1 2C1 L1 C=L = L21 + 4L1 L2 ± L1 = p 2 . L2 2L2 L1 + 4L1 L2 ∓ L1

p L=

L21 + 4L1 L2 + L1 = 15,0 ìÃí; 2

C=

C1 2L2

q  L21 + 4L1 L2 + L1 = 2,00 ìêÔ

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

p L21 + 4L1 L2 − L1 L= = 8,80 ìÃí; 2

C=

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

C1 2L2

q  L21 + 4L1 L2 − L1 = 1,17 ìêÔ

Êîìïëåêñíûé èìïåäàíñ íåèäåàëüíîé êàòóøêè ðàâåí

ZL′ = R + iωL, òîãäà èçìåðåííîå çíà÷åíèå èíäóêòèâíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ r p R2 2 2 2 ωLexp = R + ω L , Lexp = L2 + 2 . ω Âèäèì, ÷òî ýòî çíà÷åíèå âñåãäà áîëüøå çíà÷åíèÿ èíäóêòèâíîñòè êàòóøêè, è â ïðåäåëå áîëüøèõ ÷àñòîò ñòðåìèòñÿ ê íåé. Òîãäà ÷àñòîòà äîëæíà áûòü áîëüøå íåêîòîðîé êðèòè÷åñêîé ÷àñòîòû, êîòîðóþ ìîæíî íàéòè èç óñëîâèÿ, ÷òî Lexp = L(1 + δ), ãäå δ  ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìàÿ ïîãðåøíîñòü: r R2 L2 + 2 < L(1 + δ), ω îòêóäà ñ ó÷åòîì ìàëîñòè δ

R2 = L2 ((1 + δ)2 − 1) ≈ 2δL2 . ωc2 Ïîëó÷àåì êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå öèêëè÷åñêîé ÷àñòîòû

ωñ =

R √ , L 2δ

è êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå ÷àñòîòû

fñ = f > fñ =

R √ . 2πL 2δ

R √ = 1780 Ãö 2πL 2δ

Èìïåäàíñ öåïè ðàâåí

i . ωC Ïðèðàâíèâàÿ åãî ìîäóëü ê ωL1 , íàéäåì èçìåðåííóþ èíäóêòèâíîñòü L1 : s  2 1 ωLexp = R2 + ωL − , ωC Z = R + iωL −

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

îòñþäà

s Lexp =

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

 2 R2 1 + L − . (2πf )2 (2πf )2 C

Ïðîàíàëèçèðóåì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå. Ïðè áîëüøèõ ÷àñòîòàõ ñëàãàåìûå ñ ÷àñòîòîé â çíàìåíàòåëå ñòðåìÿòñÿ ê 0, ïîýòîìó èçìåðåííîå çíà÷åíèå èíäóêòèâíîñòè ñòðåìèòñÿ ê ïîñòîÿííîé Lexp ≈ L. Ïðè ìàëûõ ÷àñòîòàõ íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ó ñëàãàåìîãî ñ íàèáîëüøåé ñòåïåíüþ ÷àñòîòû â çíàìåíàòåëå, ïîýòîìó

Lexp ≈

1 . (2πf )2 C

Ïîêàæåì, ÷òî ó ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ åñòü ìèíèìóì ïðè ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè ÷àñòîòû. Äëÿ óäîáñòâà ââåäåì âñïîìîãàòåëüíóþ ïåðåìåííóþ x = 1/(2πf )2 è ðàññìîòðèì ôóíêöèþ

 x 2 . f (x) = xR2 + L − C Åå ïðîèçâîäíàÿ îáðàùàåòñÿ â 0 ïðè

R2 + îòêóäà

 2 x − L = 0, C C

  R2 C 2 R2 C x = LC − = LC 1 − . 2 2L

Ýòîìó çíà÷åíèþ x îòâå÷àåò çíà÷åíèå ÷àñòîòû

f0 =

2π LC

1 p

1 − R2 C/2L

êîòîðîå ñóùåñòâóåò ïðè R2 C/2L < 1. Ýòî çíà÷åíèå îòâå÷àåò ìèíèìóìó ðàññìàòðèâàåìîé ôóíêöèè, ïîñêîëüêó îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êâàäðàòè÷íóþ çàâèñèìîñòü ñ ïîëîæèòåëüíûì êîýôôèöèåíòîì ïåðåä x2 . Ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå èíäóêòèâíîñòè â ìèíèìóìå r R2 C 2 L0 = R CL − . 4 Äëÿ ÷èñåë, ïðèâåäåííûõ â óñëîâèè

f0 = 1590 Ãö,

L0 = 0,50 ìÃí.

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Òåîðåòè÷åñêèé òóð

Lexp

L0 0

f0

Решения — прак.

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

LIX Âñåðîññèéñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð Âîçìîæíûå ðåøåíèÿ Çàäà÷à 11-E1. Âåðåòåíî

Äëÿ ïèòàíèÿ ìîòîðà áóäåì èñïîëüçîâàòü ðåãóëèðóåìûé áëîê ïèòàíèÿ. Ïîäêëþ÷èì òàêæå àìïåðìåòð è âîëüòìåòð äëÿ òî÷íîãî èçìåðåíèÿ òîêà è íàïðÿæåíèÿ. Çàôèêñèðóåì âàë ìîòîðà. Ïîäàäèì íà íåãî íàïðÿæåíèå è èçìåðèì ïîêàçàíèÿ ïðèáîðîâ. Ðàññ÷èòàåì ñîïðîòèâëåíèå îáìîòîê ìîòîðà:

R=

U I

Ñõåìà ïèòàíèÿ ìîòîðà.

Ïîâòîðèì èçìåðåíèÿ äëÿ ðàçíîãî ïîëîæåíèÿ âàëà ìîòîðà è óñðåäíèì çíà÷åíèÿ. Âèäíî, ÷òî çíà÷åíèÿ ìàëî îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà. Îäíàêî, ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ ïîëîæåíèÿõ ìîòîðà ïîëó÷àþòñÿ ñîâåðøåííî äðóãèå çíà÷åíèÿ.  ýòèõ ïîëîæåíèÿõ êîëëåêòîð ìîòîðà íàõîäèòñÿ â ïîëîæåíèè ïåðåêëþ÷åíèÿ ìåæäó îáìîòêàìè. Ïðèáîðíàÿ ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ íàïðÿæåíèÿ è òîêà ñîñòàâëÿåò 1% îò èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû, òîãäà ïîãðåøíîñòü ñîïðîòèâëåíèÿ ñîñòàâèò 2%. Íà ôîíå ïðèáîðíîé ïîãðåøíîñòè ñëó÷àéíàÿ ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ ñîïðîòèâëåíèÿ ìàëà. Òàêèì îáðàçîì, ñîïðîòèâëåíèå îáìîòîê ìîòîðà ñîñòàâèò:

R = (6,14 ± 0,12) Îì.

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

U, Â

I, ìÀ

R, Îì

0,500

81,6

6,13

0,504

81,9

6,15

0,504

82,0

6,15

0,496

80,6

6,15

0,502

81,7

6,14

Çàêðåïèì ìîòîð ñ ïîäêëþ÷åííûì ðåäóêòîðîì â ëàïêå øòàòèâà. Íà êîëåñå ðåäóêòîðà ñäåëàåì îòìåòêó, íàêëåèâ íåáîëüøîé êóñîê èçîëåíòû. Ïîäàäèì íàïðÿæåíèå íà ìîòîð áîëüøåå Umin , ìîòîð ñòàíåò âðàùàòüñÿ. Èçìåðèì ñèëó òîêà, òåêóùåãî ÷åðåç ìîòîð, è âðåìÿ ñîâåðøåíèÿ êîëåñîì k îáîðîòîâ. Ïîâòîðèì ïðîöåäóðó äëÿ 7 âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ïîäàâàåìîãî íàïðÿæåíèÿ. Çàíåñåì äàííûå â òàáëèöó. t, ñ k I, ìA U,  Uind ,  f, Ãö σUind ,  σf , Ãö 16,94

0,740

50,8

0,43

0,295

0,02

0,005

11,81

1,018

53,2

0,69

0,423

0,02

0,011

14,34

10

1,504

58,5

1,14

0,697

0,03

0,015

9,87

10

2,05

57,7

1,70

1,013

0,03

0,031

15,47

20

2,54

64,8

2,14

1,293

0,04

0,025

11,91

20

3,03

71,2

2,59

1,679

0,04

0,042

19,41

40

3,52

77,3

3,04

2,061

0,05

0,032

Ðàññ÷èòàåì äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ ïîäàííîãî íàïðÿæåíèÿ ÝÄÑ èíäóêöèè â ìîòîðå: Uind = U − IR. Ïîãðåøíîñòü îöåíèì êàê:

σUind = σU + IσR + RσI . Òàêæå ðàññ÷èòàåì ÷àñòîòó âðàùåíèÿ: Ïîãðåøíîñòü ÷àñòîòû ðàññ÷èòàåì êàê:

f=

k . t

σf = f

σt , t

ãäå σt = 0,3 ñ  õàðàêòåðíîå âðåìÿ ðåàêöèè ÷åëîâåêà.

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

Ïîñòðîèì ãðàôèê çàâèñèìîñòè ÷àñòîòû âðàùåíèÿ îò ÝÄÑ èíäóêöèè.

3.0

f , Ãö

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5 Uind , Â 0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

Ãðàôèê çàâèñèìîñòè ÷àñòîòû âðàùåíèÿ êîëåñà îò ÝÄÑ èíäóêöèè ìîòîðà.

Âèäíî, ÷òî ãðàôèê ìîæíî îïèñàòü ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòüþ êàê è ïðåäñêàçûâàåò çàêîí Ôàðàäåÿ. Óãëîâîé êîýôôèöèåíò ãðàôèêà ñîñòàâëÿåò α = (0,65 ± 0,02) Ãö/Â. Èçìåðèì ñèëó òîêà, òåêóùåãî ÷åðåç ìîòîð, êîãäà ê íåìó ïîäêëþ÷åí ðåäóêòîð, íå íàãðóæåííûé ãðóçîì. Ïðèâÿæåì ê êîëåñó ëåñêó, ïîäâåñèì ãðóç è âíîâü èçìåðèì çíà÷åíèå ñèëû òîêà ïðè òîì æå íàïðÿæåíèè íà ìîòîðå. Ðàññ÷èòàåì ðàçíîñòü âåëè÷èí ñèë òîêà ∆I . Ïðîâåäåì èçìåðåíèÿ äëÿ ðàçíûõ çíà÷åíèé íàïðÿæåíèÿ.

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

I, ìÀ

I ′ , ìÀ

∆I, ìÀ

66

136

70

67

155

88

74

146

72

81

154

73

78

147

69

67

157

90

81

168

87

Óñðåäíèì ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå:

∆Iñð = (78 ± 10) ìÀ. Èçìåðèì äèàìåòð êîëåñà D = (6,3 ± 0,1) ñì. Òîãäà äîïîëíèòåëüíûé ìîìåíò ñèë, äåéñòâóþùèé íà êîëåñî áóäåò ðàâåí:

M = mg

D = (1,568 ± 0,025) Í · ñì. 2

Ïîãðåøíîñòü îöåíèì êàê:

σD . D Ðàññ÷èòàåì îòíîøåíèå ìîìåíòà ñèëû, äåéñòâóþùåãî íà êîëåñî, è ïðèðàùåíèÿ ñèëû òîêà: M = (0,20 ± 0,03) Í · ì/À. β= ∆I Ðàññ÷èòàåì ïîãðåøíîñòü êàê: σ σ∆I  M σβ = β + . M ∆I σM = M

Äëÿ âûâîäà ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó α è β çàïèøåì âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà äëÿ ìîòîðà: f U = IR + Uind = IR + . α Óìíîæèì ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå íà ñèëó òîêà:

IU = I 2 R +

If . α

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

Âûðàæåíèå ñëåâà ïðåäñòàâëÿåò ïîëíóþ ìîùíîñòü, ïîñòóïàþùóþ â ìîòîð îò èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ. ×àñòü ìîùíîñòè òðàòèòñÿ íà òåïëîâûäåëåíèå â îáìîòêàõ ìîòîðà è âûðàæàåòñÿ êàê: Nòåïë = I 2 R. Îñòàâøååñÿ âûðàæåíèå ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ìåõàíè÷åñêóþ ìîùíîñòü, êîòîðóþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê: Nìåõ = M ω = 2πf M. Èëè ñ ó÷åòîì ââåäåííîãî êîýôôèöèåíòà β :

Nìåõ = 2πβIf. Îòñþäà òåîðåòè÷åñêàÿ ñâÿçü ìåæäó êîýôôèöèåíòàìè:

If = 2πβIf. α βtheor =

1 = (0,245 ± 0,007) Í · ì/À. 2πα

Ïîãðåøíîñòü îöåíèì êàê:

σα . α Çàìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííîå ýêñïåðèìåíòàëüíî çíà÷åíèå β íå ñîâïàäàåò ñ ïðåäñêàçàííûì òåîðåòè÷åñêè. Ñêîðåå âñåãî ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïðè ïîäâåøèâàíèè ãðóçà ìåíÿåòñÿ ìîìåíò ñèë òðåíèÿ â ðåäóêòîðå. Äëÿ èçìåðåíèÿ êîýôôèöèåíòà ðåäóêöèè îòêëþ÷èì ìîòîð îò èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ, è ïîäñîåäèíèì ê âàëó ìîòîðà, âûñòóïàþùåìó ñ åãî òûëüíîé ñòîðîíû, øêèâ. Áóäåì âðàùàòü øêèâ è íàáëþäàòü çà âðàùåíèåì êîëåñà ðåäóêòîðà. Ïîäñ÷èòàåì, êîëè÷åñòâî îáîðîòîâ øêèâà n = 48, îòâå÷àþùåå ïîëíîìó îáîðîòó êîëåñà ðåäóêòîðà. Èìåííî ýòà âåëè÷èíà è áóäåò ÿâëÿòüñÿ êîýôôèöèåíòîì ðåäóêöèè. Íà ïåðâûé âçãëÿä ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî ïîëíîìó îáîðîòó êîëåñà ñîîòâåòñòâóåò 50 îáîðîòîâ øêèâà. Îäíàêî, åñëè ïðîâåñòè àêêóðàòíûå èçìåðåíèÿ è ïðîâåðíóòü êîëåñî ðåäóêòîðà òàêèì ìåòîäîì íà íåñêîëüêî îáîðîòîâ, òî ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî êîýôôèöèåíò ðåäóêöèè ðàâåí èìåííî 48. Ñíèìåì ðåäóêòîð ñ ìîòîðà, ïîìåíÿåì øåñòåðíþ íà âàëå äâèãàòåëÿ íà øêèâ. Ïðèâÿæåì ê øêèâó ëåñêó, íà êîíöå êîòîðîé çàêðåïèì ãðóç ìàññîé 5 ã. Óñòàíîâèì ìîòîð òàê, ÷òîáû øêèâ îêàçàëñÿ â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè. Çàïóñòèì âðàùåíèå ìîòîðà. Äîáüåìñÿ òîãî, ÷òîáû íà âðàùàþùåéñÿ ëåñêå íàáëþäàëàñü îäíà ïó÷íîñòü. Ïîäáåðåì íàïðÿæåíèå ïèòàíèÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû àìïëèòóäà â ïó÷íîñòè áûëà ìàêñèìàëüíîé. Çàïèøåì çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà ìîòîðå è òîêà òåêóùåãî ÷åðåç íåãî. Ðàññ÷èòàåì ÷àñòîòó âðàùåíèÿ ìîòîðà êàê: σβtheor = βtheor ·

ν = f n = nα(U − IR).

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

Ïîãðåøíîñòü ðàñ÷åòà ÷àñòîòû îöåíèì êàê:   σα σU + IσR + RσI σν = ν + α U − IR Ïîãðåøíîñòü òîêà áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíîé 1 ìÀ, òàê êàê ïîêàçàíèÿ àìïåðìåòðà îòêëîíÿþòñÿ îò ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ïðèáëèçèòåëüíî ñ òàêîé àìïëèòóäîé. Îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ íàïðÿæåíèÿ áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíîé 1%. Ïðîâåäåì ñëåäóþùèå îïûòû òàê, ÷òîáû íà ëåñêå íàáëþäàëîñü íåñêîëüêî ïó÷íîñòåé. Çàíåñåì äàííûå â òàáëèöó.

U, Â

I, A

ν, Ãö

σν , Ãö

0,59

54

8,1

0,9

0,85

54

16,2

1,2

1,23

68

25,3

1,6

1,4

65

31,2

1,9

2,05

106

43,7

2,6

2,46

123

53,2

3,1

Ïîñòðîèì ãðàôèê èçìåðåííîé çàâèñèìîñòè. 60

ν , Ãö

50

40

30

20

10 N

Ãðàôèê çàâèñèìîñòè ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòû îò êîëè÷åñòâà ïó÷íîñòåé.

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

Âèäíî, ÷òî ãðàôèê ëåãêî îïèñàòü ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòüþ. Òî åñòü ÷àñòîòà âðàùåíèÿ ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà êîëè÷åñòâó ïó÷íîñòåé â ôîðìå âðàùåíèÿ, ÷òî ïîäòâåðæäàåò òåîðåòè÷åñêîå ïðåäñêàçàíèå. Èçìåðèì çàâèñèìîñòü äëèíû ñòîÿ÷åé âîëíû îò ÷àñòîòû âðàùåíèÿ âàëà ìîòîðà. Ïðè ýòèõ èçìåðåíèÿõ íå îáÿçàòåëüíî ïîïàäàòü â ðåçîíàíñíûå ÷àñòîòû. Ïåðåñ÷èòàåì ÷àñòîòû â ïåðèîäû âðàùåíèÿ:

T =

1 . ν

Ïîãðåøíîñòè ïåðèîäà ðàññ÷èòàåì êàê:

σT = T

σν . ν

Ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ äëèíû ïîëóâîëíû îöåíèì êàê σλst = 1 ñì. Ïîñòðîèì ãðàôèê çàâèñèìîñòè λ(T ).

λst , ñì

U, Â

I, À

ν, Ãö

σν ,Ãö

T, ìñ

σT , ìñ

λ,ì

106

0,59

54

8,1

0,9

124

13,4

2,12

53

0,85

54

16,2

1,2

62

4,5

1,06

35

1,23

68

25,3

1,6

39

2,6

0,70

27

1,40

65

31,2

1,8

32

1,9

0,54

21

2,05

106

43,7

2,6

23

1,4

0,42

18

2,46

123

53,2

3,1

19

1,1

0,36

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

2.5

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

λ, ì

2.0

1.5

1.0

0.5 T , ìc 0

20

40

60

80

100

120

140

Ãðàôèê çàâèñèìîñòè äëèíû áåãóùåé âîëíû â ëåñêå îò ïåðèîäà âðàùåíèÿ âàëà ìîòîðà.

Âèäíî, ÷òî ãðàôèê îïèñûâàåòñÿ ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòüþ ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì v = (17 ± 1) ì/ñ. Óãëîâîé êîýôôèöèåíò ãðàôèêà èìååò ñìûñë ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïîïåðå÷íûõ âîëí â ëåñêå. Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí çàâèñèò îò ïîãîííîé ïëîòíîñòè ëåñêè è îò ñèëû åå íàòÿæåíèÿ. Çàïèøåì äàííóþ â óñëîâèè ôîðìóëó ñ òî÷êè çðåíèÿ ðàçìåðíîñòåé: êãi êãi êãj ìj ì = i Íj = i · 2j . ñ ì ì ñ Ëåãêî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî j = 0,5 è i = −0,5. Òî åñòü ôîðìóëó ìîæíî çàïèñàòü êàê: s T + T0 v= ρ Ïðîâåäåì èçìåðåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ïóíêòó 2.3, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí ïðè ðàçíûõ ñèëàõ íàòÿæåíèÿ ëåñêè.

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

m, ã

λ/2, ñì U, Â

I, À

ν, Ãö

σν ,Ãö

T, ìñ

σT , ìñ

λ,ì

10

106

0,73

56

12,0

1,0

83,4

7,2

2,12

10

53

1,22

68

24,9

1,6

40,1

2,6

1,06

10

35

1,62

74

36,2

2,1

27,6

1,6

0,70

10

27

2,21

95

50,5

2,8

19,8

1,1

0,54

25

106

1,05

67

19,8

1,4

50,4

3,6

2,12

25

53

2,00

117

39,8

2,5

25,1

1,6

1,06

25

35

2,99

145

65,2

3,7

15,3

0,9

0,70

36

106

1,26

74

25,0

1,7

40,0

2,7

2,12

36

53

2,26

98

51,5

2,9

19,4

1,1

1,06

36

35

3,16

128

73,7

4,0

13,6

0,7

0,70

50

106

1,44

78

29,8

1,9

33,5

2,1

2,12

50

53

2,58

110

59,1

3,3

16,9

0,9

1,06

50

35

3,81

161

87,6

4,7

11,4

0,6

0,70

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

λ, ì

3.0

2.5

2.0

1.5

m = 50 ã m = 36 ã m = 25 ã m = 10 ã

1.0

0.5 T , ìc 0

10

20

30

40

50

60

Ãðàôèê çàâèñèìîñòè äëèíû âîëíû îò ïåðèîäà âðàùåíèÿ âàëà ìîòîðà äëÿ ðàçíûõ ìàññ ïîäâåøåííûõ ãðóçîâ.

Çàíåñåì ïîëó÷åííûå äàííûå â òàáëèöó.

m, ã

v, ì/ñ

σv , ì/ñ

v 2 /103 , (ì/ñ)2

σv2 /103 , (ì/ñ)2

17

0,29

0,03

10

26

0,68

0,05

25

42

1,76

0,17

36

53

2,81

0,21

50

63

3,97

0,38

Ñèëà íàòÿæåíèÿ ëåñêè ðàâíà ñèëå òÿæåñòè ãðóçà T = mg . Òîãäà ôîðìóëà, îïèñûâàþùàÿ ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí, ìîæåò áûòü çàïèñàíà êàê: s mg + T0 v= ρ

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï ÂñÎØ ïî ôèçèêå

Ýêñïåðèìåíòàëüíûé òóð

 ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèâåäåííîé â óñëîâèè ôîðìóëîé èññëåäîâàííàÿ çàâèñèìîñòü äîëæíà îêàçàòüñÿ ëèíåéíîé â êîîðäèíàòàõ v 2 (m). Ðàññ÷èòàåì çíà÷åíèÿ êâàäðàòîâ ñêîðîñòåé. Îöåíèì ïîãðåøíîñòü èõ èçìåðåíèÿ êàê:

σv2 = 2vσv . Ïîñòðîèì ñîîòâåòñòâóþùèé ãðàôèê.

v 2 /1000, (ì/ñ)2 4

1 m, ã 0

10

20

30

40

50

60

Çàâèñèìîñòü êâàäðàòà ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí â ëåñêå îò ìàññû ïîäâåøåííîãî ãðóçà.

Ãðàôèê ëåãêî îïèñàòü ëèíåéíîé ôóíêöèåé ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì γ = 2 (77±3)·103 êãì·ñ2 . Ïðè ýòîì ñâîáîäíûé ÷ëåí ýòîé ëèíåéíîé ôóíêöèè áëèçîê ê íóëþ, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêè ãîâîðèò î ðàâåíñòâå íóëþ êîýôôèöèåíòà T0 . Ôèçè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò ìàëîå âëèÿíèå íà ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí â ëåñêå åå èçãèáíîé æåñòêîñòè ïðè èññëåäîâàííûõ ñèëàõ íàòÿæåíèÿ. Ðàññ÷èòàåì ïîãîííóþ ïëîòíîñòü ëåñêè: g ρ = = (0,127 ± 0,005) ã/ì. γ Ïîãðåøíîñòü îöåíèì êàê:

σρ = ρ

σγ . γ