Олимпиада по математике 7 класс — пригласительный этап ВсОШ 2026/2027: задания и ответы

Разбор заданий пригласительного школьного этапа ВсОШ по математике для 7 класса 2025 — 2026 учебный год Максимальное количество баллов за задачу — 7 Максимальное количество баллов за работу — 56 Задание № 1 Клон 1 Условие: На доске выписаны числа: 44, 123, 99, 10, 333, 57, 81, 24, 100, 3. Выберите те из них, для которых верны ровно два из трёх утверждений: — число двузначное; — число делится на 3; — число больше 30. Решение: проверим истинность утверждений для каждого из чисел: Число 44 123 99 10 333 57 81 24 100 3

Двузначное Делится на 3 Больше 30 Кол-во верных да нет да 2 нет да да 2 да да да 3 да нет нет 1 нет да да 2 да да да 3 да да да 3 да да нет 2 нет нет да 1 нет да нет 1

Ответ: 44, 123, 333, 24. Критерии: • Точное совпадение — 7б. • Выбраны три верных варианта, нет неверных — 5б. • Выбраны два верных варианта, нет неверных — 3б. • Выбран один верный вариант, нет неверных — 1б. • Иначе — 0б.

Задание № 1 Клон 2 Условие: На доске выписаны числа: 93, 303, 27, 52, 231, 3, 200, 66, 13, 54. Выберите те из них, для которых верны ровно два из трёх утверждений: — число двузначное; — число делится на 3; — число больше 40. Решение: аналогично клону 1. Ответ: 303, 27, 52, 231. Критерии: аналогичны клону 1.

Задание № 1 Клон 3 Условие: На доске выписаны числа: 213, 36, 33, 45, 3, 200, 606, 21, 62, 13. Выберите те из них, для которых верны ровно два из трёх утверждений: — число двузначное; — число делится на 3; — число больше 30. Решение: аналогично клону 1. Ответ: 213, 606, 21, 62. Критерии: аналогичны клону 1.

Задание № 1 Клон 4 Условие: На доске выписаны числа: 48, 3, 83, 100, 321, 306, 10, 33, 69, 42. Выберите те из них, для которых верны ровно два из трёх утверждений: — число двузначное; — число делится на 3; — число больше 40. Решение: аналогично клону 1. Ответ: 83, 321, 306, 33. Критерии: аналогичны клону 1.

Задание № 2 Клон 1 Условие: Различные числа 𝑎 и 𝑏 таковы, что 𝑎2 + 7𝑏 = 𝑏2 + 7𝑎. Чему может быть равна сумма 𝑎 + 𝑏? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Решение: перенесём в левую часть и разложим на множители: 𝑎2 − 𝑏2 + 7𝑏 − 7𝑎 = 0 ⇔ (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) − 7(𝑎 − 𝑏) = 0 ⇔ (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏 − 7) = 0. По условию числа различные, поэтому 𝑎 − 𝑏 ̸= 0, следовательно, 𝑎 + 𝑏 − 7 = 0, откуда 𝑎 + 𝑏 = 7. Ответ: 7. Критерии: Точное совпадение — 7б.

Задание № 2 Клон 2 Условие: Различные числа 𝑎 и 𝑏 таковы, что 𝑎2 + 13𝑏 = 𝑏2 + 13𝑎. Чему может быть равна сумма 𝑎 + 𝑏? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Решение: аналогично клону 1. Ответ: 13. Критерии: аналогичны клону 1.

Задание № 2 Клон 3 Условие: Различные числа 𝑎 и 𝑏 таковы, что 𝑎2 + 17𝑏 = 𝑏2 + 17𝑎. Чему может быть равна сумма 𝑎 + 𝑏? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Решение: аналогично клону 1. Ответ: 17. Критерии: аналогичны клону 1.

Задание № 2 Клон 4 Условие: Различные числа 𝑎 и 𝑏 таковы, что 𝑎2 + 23𝑏 = 𝑏2 + 23𝑎. Чему может быть равна сумма 𝑎 + 𝑏? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Решение: аналогично клону 1. Ответ: 23. Критерии: аналогичны клону 1.

Задание № 3 Клон 1 Условие: На доске написаны числа 10, 11, 12, 13, 14. За один ход выбирают любые два числа и заменяют их на модуль разности (например, 10 и 13 заменились бы на 3). Через несколько ходов на доске останется одно число. Какое наибольшее значение оно может принимать? Решение: поскольку после любого хода на доске находятся неотрицательные числа, то наибольшее число не увеличивается. Действительно, пусть наибольшее число равно 𝑎. Рассмотрим ход с какимито двумя числами 𝑐 ⩽ 𝑏 ⩽ 𝑎 (возможно, одно или оба совпадают с 𝑎), тогда вместо них останется число 𝑑 = 𝑏 − 𝑐 ⩽ 𝑏 ⩽ 𝑎, то есть новое число также не превосходит 𝑎. Таким образом, наибольшее значение последнего числа не больше 14. Покажем, как можно получить 14: 10, 11, 12, 13, 14 → 1, 12, 13, 14 → 1, 1, 14 → 0, 14 → 14. Ответ: 14. Критерии: Точное совпадение — 7б.

Задание № 3 Клон 2 Условие: На доске написаны числа 19, 20, 21, 22, 23. За один ход выбирают любые два числа и заменяют их на модуль разности (например, 22 и 19 заменились бы на 3). Через несколько ходов на доске останется одно число. Какое наибольшее значение оно может принимать? Решение: аналогично клону 1. Ответ: 23. Критерии: аналогичны клону 1.

Задание № 3 Клон 3 Условие: На доске написаны числа 28, 29, 30, 31, 32. За один ход выбирают любые два числа и заменяют их на модуль разности (например, 28 и 31 заменились бы на 3). Через несколько ходов на доске останется одно число. Какое наибольшее значение оно может принимать? Решение: аналогично клону 1. Ответ: 32. Критерии: аналогичны клону 1.

Задание № 3 Клон 4 Условие: На доске написаны числа 37, 38, 39, 40, 41. За один ход выбирают любые два числа и заменяют их на модуль разности (например, 40 и 37 заменились бы на 3). Через несколько ходов на доске останется одно число. Какое наибольшее значение оно может принимать? Решение: аналогично клону 1. Ответ: 41. Критерии: аналогичны клону 1.

Задание № 4 Клон 1

Условие: На плоскости расположены 8 различных прямых. Сколько могло получиться точек пересечений между ними? Выберите все подходящие варианты: 30, 28, 25, 13, 7, 2. Решение: наибольшее число точек пересечений равно количеству способов выбрать 2 прямые из 8·7 8 без учёта порядка: = 28, поэтому 30 точек получить невозможно, а 28 — возможно в случае, 2 если среди прямых нет параллельных и никакие три не проходят через одну точку. Для 25 точек достаточно рассмотреть одну пару параллельных прямых и одну тройку прямых, проходящих через одну точку. Для 13 точек рассмотрим 6 попарно параллельных прямых и две пересекающиеся. Для 7 точек — 7 попарно параллельных. Ниже приведены примеры.

Предположим, что возможно получить ровно 2 точки пересечения. Пусть 𝑙1 ∩ 𝑙2 = 𝐴, 𝑙3 ∩ 𝑙4 = 𝐵, тогда 𝑙1 не может быть параллельна обеим пересекающимся прямым 𝑙3 и 𝑙4 , следовательно, хотя бы с одной из них пересекается, но новых точек пересечений нет, значит, 𝑙1 проходит через 𝐵. Аналогично 𝑙2 проходит через 𝐵, тогда 𝑙1 и 𝑙2 совпадают. Противоречие. Ответ: 28, 25, 13, 7. Критерии: • Точное совпадение — 7б. • Выбраны три верных варианта, нет неверных — 5б. • Выбраны два верных варианта, нет неверных — 3б. • Выбран один верный вариант, нет неверных — 1б. • Иначе — 0б.

Задание № 4 Клон 2 Условие: На плоскости расположены 7 различных прямых. Сколько могло получиться точек пересечений между ними? Выберите все подходящие варианты: 24, 21, 18, 11, 6, 2. Решение: аналогично клону 1. Ответ: 21, 18, 11, 6. Критерии: аналогичны клону 1.

Задание № 4 Клон 3

Условие: На плоскости расположены 9 различных прямых. Сколько могло получиться точек пересечений между ними? Выберите все подходящие варианты: 38, 36, 33, 15, 8, 3. Решение: аналогично клону 1. Ответ: 36, 33, 15, 8. Критерии: аналогичны клону 1.

Задание № 4 Клон 4 Условие: На плоскости расположены 10 различных прямых. Сколько могло получиться точек пересечений между ними? Выберите все подходящие варианты: 48, 45, 42, 17, 9, 3. Решение: аналогично клону 1. Ответ: 45, 42, 17, 9. Критерии: аналогичны клону 1.

Задание № 5 Клон 1 Условие: Ася задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 4 и 10. Сумма этих остатков оказалась равна 12. Найдите остаток от деления задуманного числа на 20. Решение: пусть Ася задумала число 𝑛, тогда 𝑛 = 4𝑞1 + 𝑟1 = 10𝑞2 + 𝑟2 , где 𝑞1 , 𝑟1 , 𝑞2 , 𝑟2 — целые числа, причём 0 ⩽ 𝑟1 ⩽ 3, 0 ⩽ 𝑟2 ⩽ 9. Отсюда 𝑟1 + 𝑟2 ⩽ 12, а по условию 𝑟1 + 𝑟2 = 12, значит, такое возможно только в случае 𝑟1 = 3, 𝑟2 = 9. Рассмотрим 𝑛 + 1 = 4𝑞1 + 4 = 10𝑞2 + 10, откуда 𝑛 + 1 делится на 4 и на 10, а значит, и на 20. Запишем 𝑛 + 1 = 20𝑞3 (𝑞3 — целое) или 𝑛 = 20𝑞3 − 1 = 20(𝑞3 − 1) + 19, поэтому 𝑛 даёт остаток 19 при делении на 20. Ответ: 19. Критерии: Точное совпадение — 7б.

Задание № 5 Клон 2 Условие: Аня задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 6 и 10. Сумма этих остатков оказалась равна 14. Найдите остаток от деления задуманного числа на 30. Решение: аналогично клону 1. Ответ: 29. Критерии: аналогичны клону 1.

Задание № 5 Клон 3 Условие: Тася задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 4 и 14. Сумма этих остатков оказалась равна 16. Найдите остаток от деления задуманного числа на 28. Решение: аналогично клону 1. Ответ: 27. Критерии: аналогичны клону 1.

Задание № 5 Клон 4 Условие: Аля задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 6 и 9. Сумма этих остатков оказалась равна 13. Найдите остаток от деления задуманного числа на 18. Решение: аналогично клону 1. Ответ: 17. Критерии: аналогичны клону 1.

Задание № 6 Клон 1 Условие: В базе данных есть несколько статей, каждая содержит не более 100 страниц. Руководитель поручает двум редакторам проверить все статьи, распределив их между собой (каждую статью целиком одному редактору). Оказалось, что при любом распределении хотя бы одному редактору достанется не более 80 страниц. Найдите максимальное общее количество страниц во всех статьях. Решение: рассмотрим два случая: 1) Есть статья длиннее 80 страниц. Тогда отдадим самую большую статью одному редактору, а все остальные — другому. Поскольку у первого в этот момент больше 80 страниц, то у второго должно быть не больше 80. И общее количество страниц в этом случае не превосходит 100 + 80 = 180 страниц. 2) Все статьи не длиннее 80 страниц. Отдадим вначале все статьи первому редактору и будем отдавать по одной статье второму. Вначале у первого редактора страниц больше, но наступит момент, когда у второго редактора страниц будет не меньше, чем у первого. Пусть в этот момент у первого редактора 𝐴 страниц (по условию 𝐴 ≤ 80), у второго редактора — 𝐵 страниц, а последняя статья, которую мы переложили, содержала 𝐶 страниц. До перекладывания суммарное количество страниц 𝐵 − 𝐶 у второго редактора было не больше 80 страниц. Таким образом, общее количество страниц во всех статьях 𝐴 + (𝐵 − 𝐶) + 𝐶 ≤ 3 · 80 = 240 страниц. Покажем, что 240 достигается. Возьмём три статьи по 80 страниц. При любом распределении хотя бы у одного редактора будет одна статья (80 страниц) или ноль (0 страниц), то есть не более 80. Условие выполнено, а общая сумма равна 3 · 80 = 240. Сравнивая два случая, получаем, что максимальное возможное 𝑆 равно 240. Ответ: 240. Критерии: Точное совпадение — 7б.

Задание № 6 Клон 2 Условие: В базе данных есть несколько статей, каждая содержит не более 100 страниц. Руководитель поручает двум редакторам проверить все статьи, распределив их между собой (каждую статью целиком одному редактору). Оказалось, что при любом распределении хотя бы одному редактору достанется не более 90 страниц. Найдите максимальное общее количество страниц во всех статьях. Решение: аналогично клону 1. Ответ: 270. Критерии: аналогичны клону 1.

Задание № 6 Клон 3 Условие: В базе данных есть несколько статей, каждая содержит не более 80 страниц. Руководитель поручает двум редакторам проверить все статьи, распределив их между собой (каждую статью целиком одному редактору). Оказалось, что при любом распределении хотя бы одному редактору достанется не более 60 страниц. Найдите максимальное общее количество страниц во всех статьях. Решение: аналогично клону 1. Ответ: 180. Критерии: аналогичны клону 1.

Задание № 6 Клон 4 Условие: В базе данных есть несколько статей, каждая содержит не более 80 страниц. Руководитель поручает двум редакторам проверить все статьи, распределив их между собой (каждую статью целиком одному редактору). Оказалось, что при любом распределении хотя бы одному редактору достанется не более 70 страниц.

Найдите максимальное общее количество страниц во всех статьях. Решение: аналогично клону 1. Ответ: 210. Критерии: аналогичны клону 1.

Задание № 7 Клон 1 Условие: В пятиугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 известно, что 𝐴𝐵 = 6, 𝐵𝐶 = 3, 𝐷𝐸 = 4, ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐶𝐷𝐸 = 120∘ , ∠𝐸𝐴𝐵 = ∠𝐷𝐸𝐴 = 90∘ . Найдите: а) длину перпендикуляра, опущенного из вершины 𝐶 на прямую 𝐴𝐸; б) длину стороны 𝐶𝐷. Решение: а) Из точки 𝐶 опустим перпендикуляр 𝐶𝐹 на 𝐴𝐸, из точки 𝐵 опустим перпендикуляр 𝐵𝐺 на 𝐶𝐹 . Тогда ∠𝐵𝐴𝐹 + ∠𝐶𝐹 𝐴 = 90∘ + 90∘ = 180∘ . Значит, 𝐴𝐵||𝐶𝐹 и ∠𝐴𝐵𝐺 равен 180∘ − ∠𝐹 𝐺𝐵 = 180∘ − 90∘ = 90∘ . ∠𝐺𝐵𝐶 = 120∘ − ∠𝐴𝐵𝐺 = 120∘ − 90∘ = 30∘ . Тогда 𝐶𝐺 = 𝐵𝐶 : 2 = 3 : 2 = 1,5 как катет против угла 30∘ в треугольнике 𝐵𝐶𝐺. 𝐹 𝐺 = 𝐴𝐵 = 6 как противоположные стороны в прямоугольнике 𝐴𝐵𝐺𝐹 . Таким образом, длина перпендикуляра из точки 𝐶 на прямую 𝐴𝐸 равна 𝐶𝐹 = 𝐶𝐺 + 𝐺𝐹 = 1,5 + 6 = 7,5. б) Из точки 𝐷 опустим перпендикуляр 𝐷𝐻 на 𝐶𝐹 . Аналогично пункту а) ∠𝐸𝐷𝐻 = 90∘ , угол ∠𝐶𝐺𝐻 = 30∘ , 𝐹 𝐻 = 𝐷𝐸 = 4. Тогда 𝐶𝐻 = 𝐶𝐹 − 𝐹 𝐻 = 7,5 − 4 = 3,5. 𝐶𝐷 = 2 · 𝐶𝐻 = 2 · 3,5 = 7 (так как 𝐶𝐻 — катет против угла в 30∘ в треугольнике 𝐶𝐷𝐻).

Ответ: а) 7,5; б) 7. Критерии: • Точное совпадение — 7б. • Верный ответ в пункте а) — 3б. • Верный ответ в пункте б) — 4б.

Задание № 7 Клон 2 Условие: В пятиугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 известно, что 𝐴𝐵 = 7, 𝐵𝐶 = 5, 𝐷𝐸 = 3, ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐶𝐷𝐸 = 120∘ , ∠𝐸𝐴𝐵 = ∠𝐷𝐸𝐴 = 90∘ . Найдите: а) длину перпендикуляра, опущенного из вершины 𝐶 на прямую 𝐴𝐸; б) длину стороны 𝐶𝐷. Решение: аналогично клону 1. Ответ: а) 9,5; б) 13. Критерии: аналогичны клону 1.

Задание № 7 Клон 3

Условие: В пятиугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 известно, что 𝐴𝐵 = 8, 𝐵𝐶 = 9, 𝐷𝐸 = 5, ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐶𝐷𝐸 = 120∘ , ∠𝐸𝐴𝐵 = ∠𝐷𝐸𝐴 = 90∘ . Найдите: а) длину перпендикуляра, опущенного из вершины 𝐶 на прямую 𝐴𝐸; б) длину стороны 𝐶𝐷. Решение: аналогично клону 1. Ответ: а) 12,5; б) 15. Критерии: аналогичны клону 1.

Задание № 7 Клон 4 Условие: В пятиугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 известно, что 𝐴𝐵 = 9, 𝐵𝐶 = 11, 𝐷𝐸 = 6, ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐶𝐷𝐸 = 120∘ , ∠𝐸𝐴𝐵 = ∠𝐷𝐸𝐴 = 90∘ . Найдите: а) длину перпендикуляра, опущенного из вершины 𝐶 на прямую 𝐴𝐸; б) длину стороны 𝐶𝐷. Решение: аналогично клону 1. Ответ: а) 14,5; б) 17. Критерии: аналогичны клону 1.

Задание № 8 Клон 1 Условие: Илья выписал на доску все делители числа 210 · 55 , затем соединил линией каждые два числа, наибольший общий делитель которых больше 1. Сколько линий нарисовал Илья? Решение: каждый делитель выписанного числа имеет вид 2𝑎 · 5𝑏 , где 𝑎 принимает значения от 0 до 10 (всего 11 вариантов), а 𝑏 — от 0 до 5 (всего 6 вариантов). Значит, всего делителей 11 · 6 = 66. = 2145 линий. Если бы Илья соединил линией каждые два различных делителя, получилось бы 66·65 2 Чтобы найти только те пары, у которых наибольший общий делитель (НОД) больше 1, найдём, сколько пар имеют НОД, равный 1, и вычтем их из общего количества. НОД двух чисел равен 1 тогда и только тогда, когда у них нет ни одного общего простого делителя. Это происходит только в двух случаях: 1) одно из чисел равно 1 (то есть 20 · 50 ). Таких пар 65 (единица соединяется с каждым из остальных 65 чисел). 2) одно число является степенью двойки (кроме 20 ), а другое — степенью пятёрки (кроме 50 ). Степени двойки: 21 , 22 , . . . , 210 — всего 10 чисел. Степени пятёрки: 51 , 52 , 53 , 54 , 55 — всего 5 чисел. Количество таких пар равно 10 · 5 = 50. Следовательно, количество линий, которые нарисовал Илья, равно 2145 − 65 − 50 = 2030. Ответ: 2030. Критерии: Точное совпадение — 7б.

Задание № 8 Клон 2 Условие: Коля выписал на доску все делители числа 28 · 36 , затем соединил линией каждые два числа, наибольший общий делитель которых больше 1. Сколько линий нарисовал Коля? Решение: аналогично клону 1. Ответ: 1843. Критерии: аналогичны клону 1.

Задание № 8 Клон 3 Условие: Никита выписал на доску все делители числа 38 · 57 , затем соединил линией каждые два числа, наибольший общий делитель которых больше 1. Сколько линий нарисовал Никита? Решение: аналогично клону 1. Ответ: 2429. Критерии: аналогичны клону 1.

Задание № 8 Клон 4

Условие: Петя выписал на доску все делители числа 29 · 76 , затем соединил линией каждые два числа, наибольший общий делитель которых больше 1. Сколько линий нарисовал Петя? Решение: аналогично клону 1. Ответ: 2292. Критерии: аналогичны клону 1.