Олимпиада по математике 9 класс — пригласительный этап ВсОШ 2026/2027: задания и ответы

Разбор заданий пригласительного этапа ВсОШ по математике для 9 класса 2025-2026 учебный год Максимальное количество баллов за задачу — 7 Максимальное количество баллов за работу — 56 Задача 1.1. В школьной библиотеке 89 детских журналов, из которых 15 — с кроссвордами. Сколько ещё журналов с кроссвордами нужно з аказать, чтобы их вклад с оставил ровно т реть от общего числа?

Ответ: 2 2 Решение. Обозначим через

количество журналов, которые нужно з аказать. Тогда полу-

чим, что 15 + 𝑥 = 13(89 + 𝑥), что преобразуется в уравнение 45 + 3𝑥 = 89 + 𝑥, у которого есть единственное решение 𝑥 =

89−45 2

= 22.

Вариант 1.2. В школьной библиотеке 93 детских журнала, из которых 19 — с кроссвордами. Сколько ещё журналов с кроссвордами нужно заказать, чтобы их вклад составил ровно треть от общего числа? Ответ: 18 Вариант 1.3. В школьной библиотеке 85 детских журналов, из которых 11 — с кроссвордами. Сколько ещё журналов с кроссвордами нужно заказать, чтобы их вклад составил ровно треть от общего числа? Ответ: 26 Вариант 1.4. В школьной библиотеке 97 детских журналов, из которых 23 — с кроссвордами. Сколько ещё журналов с кроссвордами нужно заказать, чтобы их вклад составил ровно треть от общего числа? Ответ: 14 Задача 2.1. Отметьте 5 клеток данной таблицы 5×5 так, чтобы в каждой строке, в каждом столбце и в каждой обведенной области была ровно одна отмеченная клетка и чтобы эти клетки не касались друг друга стороной или углом.

Рис. 1: К условию задачи 2.1

Рис. 2: К решению задачи 2.1

Ответ: Можно доказать, что этот пример единственный.

Вариант 2.2. Отметьте 5 клеток данной таблицы 5 × 5 так, чтобы в каждой строке, в каждом столбце и в каждой обведенной области была ровно одна отмеченная клетка и чтобы эти клетки не касались друг друга стороной или углом.

Рис. 3: К условию задачи 2.2

Ответ:

Рис. 4: К решению задачи 2.2

Вариант 2.3. Отметьте 5 клеток данной таблицы 5 × 5 так, чтобы в каждой строке, в каждом столбце и в каждой обведенной области была ровно одна отмеченная клетка и чтобы эти клетки не касались друг друга стороной или углом.

Рис. 5: К условию задачи 2.3

Ответ:

Рис. 6: К решению задачи 2.3

Вариант 2.4. Отметьте 5 клеток данной таблицы 5 × 5 так, чтобы в каждой строке, в каждом столбце и в каждой обведенной области была ровно одна отмеченная клетка и чтобы эти клетки не касались друг друга стороной или углом.

Рис. 7: К условию задачи 2.4

Ответ: Задача 3.1. В первый день лета Петя прочитал одну страницу 227-страничной книги. Каждый следующий день он читал на одну страницу больше, чем в предыдущий, кроме своего дня рождения, когда ему было некогда и он ничего не прочел. 30 июня он дочитал книгу. Сколько страниц он мог прочитать 30 июня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Рис. 8: К решению задачи 2.4

Ответ: 13 или 16. Решение. Пусть Петя непрерывно читал 𝑥 дней, потом у него был день рождения, а потом 𝑥(𝑥+1) он снова непрерывно читал 29 − 𝑥 дней. За первые дни он прочитал 1 + 2 + … + 𝑥 = страниц. За последующие дни он прочитал 1 + 2 + … + (29 − 𝑥) =

(29−𝑥)(30−𝑥) 2

страниц.

Получаем уравнение 𝑥(𝑥 + 1) (29 − 𝑥)(30 − 𝑥) + = 227 2 2 𝑥(𝑥 + 1) + (29 − 𝑥)(30 − 𝑥) = 454 2𝑥2 + (1 − 29 − 30)𝑥+ 29 ⋅ 30= 454 2𝑥2 − 58𝑥 + 416 = 0 𝑥2 − 29𝑥 + 208= 0 (𝑥 − 13)(𝑥 − 16) = 0 Значит есть два варианта: 𝑥 = 13 или 𝑥 = 16. В конце месяца Петя прочитал 29 − 𝑥 страниц, то есть 16 или 13.

Вариант 3.2. В первый день лета Петя прочитал одну страницу 245-страничной книги. Каждый следующий день он читал на одну страницу больше, чем в предыдущий, кроме своего дня рождения, когда ему было некогда и он ничего не прочел. 30 июня он дочитал книгу. Сколько страниц он мог прочитать 30 июня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Ответ: 10 или 19. Вариант 3.3. В первый день лета Петя прочитал одну страницу 267-страничной книги. Каждый следующий день он читал на одну страницу больше, чем в предыдущий, кроме своего дня рождения, когда ему было некогда и он ничего не прочел. 30 июня он дочитал книгу. Сколько страниц он мог прочитать 30 июня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 8 или 21. Вариант 3.4. В первый день лета Петя прочитал одну страницу 237-страничной книги. Каждый следующий день он читал на одну страницу больше, чем в предыдущий, кроме своего дня рождения, когда ему было некогда и он ничего не прочел. 30 июня он дочитал книгу. Сколько страниц он мог прочитать 30 июня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Ответ: 11 или 18. Задача 4.1. На гипотенузе 𝐴𝐵 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 отметили середину 𝑀. Точки 𝑋 и 𝑌 расположены на плоскости так, как на рисунке, причём треугольники 𝐴𝑀𝑋 и 𝐵𝑀𝑌 равносторонние. Найдите углы треугольника 𝐶𝑋𝑌 , если ∠𝐴𝐵𝐶 = 32∘. Ответ выразите в градусах. Порядок ответов не важен.

𝑋 𝐴

𝑌 𝑀

𝐶 Рис. 9: К задаче 4.1

Ответ: 30, 62, 88 Решение. Заметим, что поскольку 𝑀 является серединой гипотенузы прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶, то 𝐴𝑀 = 𝑀𝐵 = 𝑀𝐶, откуда получается, что точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑋 и 𝑌 лежат на окружности с центром 𝑀 и радиусом 𝑀𝐶. Поскольку треугольник 𝐶𝑋𝑌 вписан в эту окружность, то по теореме о вписанном угле ⌢

𝐶𝑋

𝐶𝐴+𝐴𝑋

∠𝐶𝑌 𝑋 = = 2 30∘ = 88∘ .

= ∠𝐴𝐵𝐶 + 30∘ = 62∘ . Аналогично получаем, что ∠𝐶𝑋𝑌 = ∠𝐶𝐴𝐵 +

И, наконец, по сумме углов треугольник 𝐶𝑋𝑌 получаем, что ∠𝑋𝐶𝑌 = 30∘ .

𝑋 𝐴

𝑌 𝑀

Рис. 10: К решению задачи 4.1

Вариант 4.2. На гипотенузе 𝐴𝐵 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 отметили середину 𝑀. Точки 𝑋 и 𝑌 расположены на плоскости так, как на рисунке, причём треугольники 𝐴𝑀𝑋 и 𝐵𝑀𝑌 равносторонние. Найдите углы треугольника 𝐶𝑋𝑌 , если ∠𝐴𝐵𝐶 = 37∘. Ответ выразите в градусах. Порядок ответов не важен.

𝑋 𝐴

𝑌 𝑀

𝐶 Рис. 11: К задаче 4.2

Ответ: 30, 67, 83 Вариант 4.3. На гипотенузе 𝐴𝐵 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 отметили середину 𝑀. Точки 𝑋 и 𝑌 расположены на плоскости так, как на рисунке, причём треугольники 𝐴𝑀𝑋 и 𝐵𝑀𝑌 равносторонние. Найдите углы треугольника 𝐶𝑋𝑌 , если ∠𝐴𝐵𝐶 = 43∘. Ответ выразите в градусах. Порядок ответов не важен.

𝑋 𝐴

𝑌 𝑀

𝐶 Рис. 12: К задаче 4.3

Ответ: 30, 73, 77 Вариант 4.4. На гипотенузе 𝐴𝐵 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 отметили середину 𝑀. Точки 𝑋 и 𝑌 расположены на плоскости так, как на рисунке, причём треугольники 𝐴𝑀𝑋 и 𝐵𝑀𝑌 равносторонние. Найдите углы треугольника 𝐶𝑋𝑌 , если ∠𝐴𝐵𝐶 = 46∘. Ответ выразите в градусах. Порядок ответов не важен. Ответ: 30, 76, 74 Задача 5.1. Сколько существует таких пар натуральных чисел (𝑎, 𝑏), что НОД( a, b) = 1и

12𝑎−11𝑏 𝑎+𝑏

является целым числом?

Ответ: 22 12𝑎−11𝑏

23𝑏

Решение. Заметим, что = 12− , что означает, что 23𝑏 делится на 𝑎+𝑏. Поскольку 𝑎+𝑏 𝑎+𝑏 НОД(𝑎, 𝑏) = 1, 23 делится на 𝑎 + 𝑏. Числа 𝑎 и 𝑏 натуральные, а число 23 является простым, поэтому это возможно только в случае, когда 𝑎 + 𝑏 = 23. Таких пар (𝑎, 𝑏) ровно 22, все они имеют вид (𝑥, 23 − 𝑥) для натурального 𝑥 от 1 до 22.

𝑋 𝐴

𝑌 𝑀

𝐶 Рис. 13: К задаче 4.4

Вариант 5.2. Сколько существует таких пар натуральных чисел (𝑎, 𝑏), что НОД( a, b) = 5𝑎−14𝑏 является целым числом? 1и 𝑎+𝑏

Ответ: 18 Вариант 5.3. Сколько существует таких пар натуральных чисел (𝑎, 𝑏), что НОД( a, b) = 6𝑎−23𝑏 1и является целым числом? 𝑎+𝑏

Ответ: 28 Вариант 5.4. Сколько существует таких пар натуральных чисел (𝑎, 𝑏), что НОД( a, b) = 9𝑎−22𝑏 1и является целым числом? 𝑎+𝑏

Ответ: 30 Задача 6.1. В классе стоит 31 пустой стул. Стулья расставлены по кругу и пронумерованы по порядку по часовой стрелке числами от 1 до 31. Ученики входят в класс по одному и занимают места по следующим правилам: 1. Когда ученик входит в класс, он садится на стул, номер которого соответствует числу месяца, в который он родился, если только этот стул ещё не занят. 2. Если этот стул уже занят, ученик начинает движение от этого стула по часовой стрелке и садится на первый попавшийся свободный стул.

Предположим, шесть учеников вошли в класс и заняли места как показано в таблице: Ученик Андрей Богдан Вадим Глеб Дмитрий Евгений

День рождения 1 мая 1 февраля 3 сентября 3 августа 4 апреля 2 июля

Номер стула 1 2 3 4 5 6

Сколько существует различных вариантов того, в каком порядке они могли заходить в класс?

Ответ: 𝐶52 = 10 Решение. Можно понять, что Евгений должен прийти последним, т.к. иначе он не попадёт на стул 6. Среди остальных людей Богдан должен прийти позже Андрея, а Глеб и Дмитрий – после Вадима, причём Дмитрий – после Глеба. Получается, что если выбрать пару мест для Андрея и Богдана, то места для оставшихся троих (Вадима, Глеба и Дмитрия) будут определены однозначно. Значит, количество различных вариантов равно количеству способов выбрать пару мест для Андрея и Богдана 5⋅4 = 10. среди пятерых, т.е. 𝐶52 = 2

Вариант 6.2. В классе стоит 31 пустой стул. Стулья расставлены по кругу и пронумерованы по порядку по часовой стрелке числами от 1 до 31. Ученики входят в класс по одному и занимают места по следующим правилам: 1. Когда ученик входит в класс, он садится на стул, номер которого соответствует числу месяца, в который он родился, если только этот стул ещё не занят. 2. Если этот стул уже занят, ученик начинает движение от этого стула по часовой стрелке и садится на первый попавшийся свободный стул.

Предположим, семь учеников вошли в класс и заняли места как показано в таблице: Ученик Андрей Богдан Вадим Глеб Дмитрий Евгений Захар

День рождения 1 мая 1 февраля 3 сентября 3 августа 4 апреля 4 января 2 июля

Номер стула 1 2 3 4 5 6 7

Сколько существует различных вариантов того, в каком порядке они могли заходить в класс?

Ответ: 𝐶62 = 15 Вариант 6.3. В классе стоит 31 пустой стул. Стулья расставлены по кругу и пронумерованы по порядку по часовой стрелке числами от 1 до 31. Ученики входят в класс по одному и занимают места по следующим правилам: 1. Когда ученик входит в класс, он садится на стул, номер которого соответствует числу месяца, в который он родился, если только этот стул ещё не занят. 2. Если этот стул уже занят, ученик начинает движение от этого стула по часовой стрелке и садится на первый попавшийся свободный стул.

Предположим, восемь учеников вошли в класс и заняли места как показано в таблице: Ученик Андрей Богдан Вадим Глеб Дмитрий Евгений Захар Игорь

День рождения 1 мая 1 февраля 3 сентября 3 августа 4 апреля 4 января 5 декабря 2 июля

Номер стула 1 2 3 4 5 6 7 8

Сколько существует различных вариантов того, в каком порядке они могли заходить в класс?

Ответ: 𝐶72 = 21 Вариант 6.4. В классе стоит 31 пустой стул. Стулья расставлены по кругу и пронумерованы по порядку по часовой стрелке числами от 1 до 31. Ученики входят в класс по одному и занимают места по следующим правилам: 1. Когда ученик входит в класс, он садится на стул, номер которого соответствует числу месяца, в который он родился, если только этот стул ещё не занят. 2. Если этот стул уже занят, ученик начинает движение от этого стула по часовой стрелке и садится на первый попавшийся свободный стул.

Предположим, девять учеников вошли в класс и заняли места как показано в таблице:

Ученик Андрей Богдан Вадим Глеб Дмитрий Евгений Захар Игорь Кирилл

День рождения 1 мая 1 февраля 3 сентября 3 августа 4 апреля 4 января 5 декабря 5 октября 2 июля

Номер стула 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Сколько существует различных вариантов того, в каком порядке они могли заходить в класс?

Ответ: 𝐶82 = 28 Задача 7.1. Окружность пересекает стороны 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 в точках 𝑃, 𝑄, 𝑋 и 𝑌 так, как показано на рисунке. Найдите длину отрезка 𝐷𝑌 , если известно, что 𝐵𝑃 = 2, 𝑄𝐶 = 5, 𝐴𝑋 = 1.

Рис. 14: К задаче 7.1

Ответ: 4 Решение. Заметим, что четырёхугольник 𝑃𝑄𝑌 𝑋 является равнобокой трапецией, поскольку он вписан в окружность и 𝑃𝑄 ∥ 𝑋𝑌 . Отметим точку 𝑆 — середину 𝑃𝑄 и точку 𝑇 — середину 𝑋𝑌 . Из-за равнобокости трапеции 𝑃𝑄𝑌 𝑋 прямая 𝑆𝑇 является серединным перпендикуляром к отрезкам 𝑃𝑄 и 𝑋𝑌 . Тогда четырёхугольники 𝐴𝐵𝑆𝑇 и 𝑇𝑆𝐶𝐷 являются прямоугольниками. Тогда 𝐵𝑆 = 𝐴𝑇 и 𝑆𝐶 = 𝑇𝐷. 𝐵𝑆 + 𝑇𝐷 = 𝐴𝑇 + 𝑆𝐶 𝐵𝑃 + 𝑃𝑆 + 𝑇𝑌 + 𝑌 𝐷 = 𝐴𝑋 + 𝑋𝑇 + 𝑆𝑄 + 𝑄𝐶 𝐵𝑃 + 𝑌 𝐷 = 𝐴𝑋 + 𝑄𝐶

Рис. 15: К решению задачи 7.1

Откуда следует, что 𝐷𝑌 = 𝐴𝑋 + 𝑄𝐶 − 𝐵𝑃 = 5 + 1 − 2 = 4.

Вариант 7.2. Окружность пересекает стороны 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 в точках 𝑃, 𝑄, 𝑋 и 𝑌 так, как показано на рисунке. Найдите длину отрезка 𝐷𝑌 , если известно, что 𝐵𝑃 = 3, 𝑄𝐶 = 7, 𝐴𝑋 = 2.

Рис. 16: К задаче 7.2

Ответ: 6 Вариант 7.3. Окружность пересекает стороны 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 в точках 𝑃, 𝑄, 𝑋 и 𝑌 так, как показано на рисунке. Найдите длину отрезка 𝐷𝑌 , если известно, что 𝐵𝑃 = 4, 𝑄𝐶 = 7, 𝐴𝑋 = 2. Ответ: 5 Вариант 7.4. Окружность пересекает стороны 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 в точках 𝑃, 𝑄, 𝑋 и 𝑌 так, как показано на рисунке. Найдите длину отрезка 𝐷𝑌 , если известно, что 𝐵𝑃 = 5, 𝑄𝐶 = 9, 𝐴𝑋 = 2.

Рис. 17: К задаче 7.3

Рис. 18: К задаче 7.4

Ответ: 6 Задача 8.1. Последовательность натуральных чисел {𝑎𝑛 } такова, что 𝑎𝑛 равен первой нену1 левой цифре десятичной записи числа . Сколько среди первых 600000 членов этой по√𝑛

следовательности таких, которые равны 1?

Ответ: 357576 Решение. Заметим, что 𝑎1 = 1. Пусть для некоторого 𝑛 > 1 выполнено 𝑎𝑛 = 1, тогда 1 = 0, 0 … 01 … . Предположим, что 1 стоит на 𝑘-ом месте. Тогда выполнено неравенство √𝑛

1 1 2 ⩽ < 𝑘 10𝑘 10 √𝑛 Возведём неравенство в квадрат (используя, что все числа положительные) 1 1 4 ⩽ < 2𝑘 𝑛 102𝑘 10 102𝑘 < 𝑛 ⩽ 102𝑘 4

Получается, что если 𝑛 > 1, то должно находиться в одном из следующих полуинтервалов: (25, 100] (2500, 10000] (250000, 1000000] (25000000, 100000000] … Среди чисел 𝑛 от 1 до 600000 подходящих нам будет ровно 1 + (100 − 25) + (10000 − 2500) + (600000 − 250000) = 1 + 75 + 7500 + 3500000 = 357576

Вариант 8.2. Последовательность натуральных чисел {𝑎𝑛 } такова, что 𝑎𝑛 равен первой 1 ненулевой цифре десятичной записи числа . Сколько среди первых 700000 членов этой √𝑛

последовательности таких, которые равны 1?

Ответ: 457576 Вариант 8.3. Последовательность натуральных чисел {𝑎𝑛 } такова, что 𝑎𝑛 равен первой 1 ненулевой цифре десятичной записи числа . Сколько среди первых 800000 членов этой √𝑛

последовательности таких, которые равны 1?

Ответ: 557576 Вариант 8.4. Последовательность натуральных чисел {𝑎𝑛 } такова, что 𝑎𝑛 равен первой 1 ненулевой цифре десятичной записи числа . Сколько среди первых 900000 членов этой √𝑛

последовательности таких, которые равны 1?

Ответ: 657576