Номер 186 — Геометрия 10 класс

Докажите, что существует, и притом только одна, прямая, пересекающая две данные скрещивающиеся прямые a и b и перпендикулярная к каждой из них.

1. Существование. Через прямую b проведём плоскость β ∥ a. Спроектируем a на β: получим прямую a′ ∥ a, которая пересекает b в точке N (a′ и b не параллельны, иначе a ∥ b). Через N проведём прямую, перпендикулярную β; она лежит в плоскости, проходящей через a и a′ (перпендикуляры к β из точек a лежат в ней), и пересекает a в точке M. MN ⟂ β, значит MN ⟂ b и MN ⟂ a′, а с ней и MN ⟂ a.
2. Единственность. Пусть M₁N₁ — другая прямая, перпендикулярная a и b и пересекающая их. Она перпендикулярна прямым b и a′ (a′ ∥ a), лежащим в β, значит M₁N₁ ⟂ β, и M₁N₁ ∥ MN. Тогда прямые a и b лежат в плоскости, содержащей параллельные прямые MN и M₁N₁ (точки M, M₁ ∈ a, N, N₁ ∈ b), — противоречие со скрещиваемостью.