Номер 182 — Геометрия 10 класс

Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой a. Из точки M проведены перпендикуляры MA и MB к этим плоскостям. Прямая a пересекает плоскость AMB в точке C. а) Докажите, что четырёхугольник ACBM является прямоугольником. б) Найдите расстояние от точки M до прямой a, если AM = m, BM = n.

1. а) По задаче 181 a ⟂ (AMB), значит a ⟂ CA и a ⟂ CB. Отрезки CA ⊂ α и CB ⊂ β перпендикулярны ребру a, поэтому ∠ACB — линейный угол двугранного угла между α и β, равный 90°. Углы MAC и MBC прямые (MA ⟂ α, MB ⟂ β). Четырёхугольник с тремя прямыми углами — прямоугольник.
2. б) MC ⟂ a, значит расстояние от M до a равно диагонали MC прямоугольника: MC = √(m² + n²).