Условие
Докажите, что если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то прямые, по которым они пересекаются, либо параллельны, либо имеют общую точку.
Разбор задания
Номер 33 — Геометрия 10 класс
Атанасян Л. С. · § 1. Прямые и плоскости в пространстве · страница 11
Решение
- Пусть α ∩ β = a, β ∩ γ = b, α ∩ γ = c. Прямые a и b лежат в одной плоскости β и различны (иначе все три плоскости проходили бы через одну прямую), значит они либо пересекаются, либо параллельны.
- Если a и b пересекаются в точке M, то M принадлежит α, β и γ, значит лежит и на прямой c: все три прямые имеют общую точку.
- Если a ∥ b, то a параллельна плоскости γ (a ⊄ γ, иначе a = c... a параллельна прямой b плоскости γ). Плоскость α проходит через a и пересекает γ по прямой c, поэтому c ∥ a. Итак, a ∥ b ∥ c.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 10 класс.
Аксиомы стереометрии 10 классАксиомы стереометрии: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость; если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней; две плоскости пересекаются по прямой.Параллельность в пространствеПараллельные прямые и плоскости, скрещивающиеся прямые.ПерпендикулярностьПерпендикуляр к плоскости, угол прямой с плоскостью, двугранный угол.МногогранникиПризма, параллелепипед, пирамида. Развёртки, поверхности и объёмы.Тела вращенияЦилиндр, конус, шар. Площади поверхностей и объёмы.Векторы в пространствеПонятие вектора в пространстве, действия над векторами, компланарность и разложение по трём некомпланарным векторам.
Все темы по предмету «Геометрия» за 10 класс →