Номер 88 — Геометрия 10 класс

Параллельные прямые AC и BD пересекают плоскость α в точках A и B. Точки C и D лежат по одну сторону от плоскости α, AC = 8 см, BD = 6 см, AB = 4 см. а) Докажите, что прямая CD пересекает плоскость α в некоторой точке E. б) Найдите отрезок BE.

1. а) Параллельные прямые AC и BD лежат в одной плоскости β, содержащей и точки A, B, то есть прямую AB = β ∩ α. В плоскости β четырёхугольник ABDC — трапеция (AC ∥ BD, AC ≠ BD), её боковые стороны AB и CD не параллельны и пересекаются в точке E прямой AB. E ∈ α, значит CD пересекает α в точке E.
2. б) Треугольники EBD и EAC подобны (BD ∥ AC): EB/EA = BD/AC = 6/8 = 3/4. Так как BD < AC, точка B лежит между E и A: EA = EB + 4. Из EB/(EB + 4) = 3/4: 4EB = 3EB + 12, EB = 12 см.