Номер 86 — Геометрия 10 класс

Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через диагональ AC основания параллельно диагонали BD₁. Докажите, что если основание параллелепипеда — ромб и углы ABB₁ и CBB₁ прямые, то построенное сечение — равнобедренный треугольник.

1. Пусть O = AC ∩ BD. Плоскость BB₁D₁D содержит прямую BD₁ и точку O секущей плоскости, поэтому пересекает секущую плоскость по прямой, проходящей через O параллельно BD₁. В треугольнике BDD₁ эта прямая проходит через середину O стороны BD, значит по теореме Фалеса пересекает сторону DD₁ в её середине M.
2. Сечение — треугольник ACM (AM и CM лежат в гранях AA₁D₁D и DD₁C₁C).
3. Если ABCD — ромб и ∠ABB₁ = ∠CBB₁ = 90°, то DD₁ ⟂ DA и DD₁ ⟂ DC (DD₁ ∥ BB₁, DA ∥ CB, DC ∥ AB), и прямоугольные треугольники ADM и CDM равны по двум катетам (AD = CD, DM общий): MA = MC. Треугольник ACM равнобедренный.