Номер 87 — Геометрия 10 класс

Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки M, N и K лежат соответственно на рёбрах: а) BB₁, AA₁, AD; б) CC₁, AD, BB₁.

1. а) Отрезки MN (грань AA₁B₁B) и NK (грань AA₁D₁D) — стороны сечения. Прямые MN и AB лежат в одной грани; находим точку X = MN ∩ AB (если MN ∦ AB). X и K лежат в плоскости основания и в секущей плоскости, значит прямая XK — след секущей плоскости на основании; она пересекает ребро BC (или DC) в точке L. Отрезок LM лежит в грани BB₁C₁C. Сечение — четырёхугольник MNKL (при попадании следа на DC получается пятиугольник с дополнительной вершиной на CC₁... то есть строим дальше аналогично).
2. б) M ∈ CC₁, K ∈ BB₁ — отрезок MK лежит в грани BB₁C₁C. Находим X = MK ∩ BC (продолжаем в плоскости этой грани); X и N лежат в основании, прямая XN — след на основании, она пересекает AB в точке P и DC в точке Q (или одно из них и AD... N уже на AD). Далее PK в грани AA₁B₁B, QM в грани DD₁C₁C. Сечение — многоугольник N P K M Q.
3. Если MN ∥ AB (или MK ∥ BC), след на основании проводим через K (соответственно N) параллельно AB (BC).