Условие
В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точка K — середина ребра CC₁. Разложите вектор: а) AK⃗ по векторам AB⃗, AD⃗, AA₁⃗; б) DA₁⃗ по векторам AB₁⃗, BC₁⃗ и CD₁⃗.
Разбор задания
Номер 630 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Векторы в пространстве
Решение
- а) AK⃗ = AB⃗ + BC⃗ + CK⃗ = AB⃗ + AD⃗ + ½CC₁⃗ = AB⃗ + AD⃗ + ½AA₁⃗.
- б) Заметим, что AB₁⃗ = AB⃗ + AA₁⃗, BC₁⃗ = AD⃗ + AA₁⃗, CD₁⃗ = −AB⃗ + AA₁⃗ (все боковые рёбра равны AA₁⃗). Нужный вектор DA₁⃗ = −AD⃗ + AA₁⃗.
- Подберём коэффициенты: AB₁⃗ − BC₁⃗ + CD₁⃗ = (AB⃗ + AA₁⃗) − (AD⃗ + AA₁⃗) + (−AB⃗ + AA₁⃗) = −AD⃗ + AA₁⃗ = DA₁⃗. Геометрически это путь D → C₁ → B → A₁: DC₁⃗ = AB₁⃗, C₁B⃗ = −BC₁⃗, BA₁⃗ = CD₁⃗.
Ответ
а) AK⃗ = AB⃗ + AD⃗ + ½AA₁⃗; б) DA₁⃗ = AB₁⃗ − BC₁⃗ + CD₁⃗.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →