Условие
Лучи OA, OB и OC расположены так, что ∠BOC = ∠BOA = 45°, ∠AOC = 60°. Прямая OH перпендикулярна к плоскости AOB. Найдите угол между прямыми OH и OC.
Разбор задания
Номер 758 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- Введём координаты: ось Ox по OA, ось Oz по OH, плоскость Oxy — плоскость AOB. Единичные векторы: a⃗{1; 0; 0} вдоль OA, b⃗{√2/2; √2/2; 0} вдоль OB (угол AOB = 45°), h⃗{0; 0; 1} вдоль OH.
- Пусть c⃗{x; y; z} — единичный вектор вдоль OC. Из ∠AOC = 60°: c⃗·a⃗ = x = ½. Из ∠BOC = 45°: c⃗·b⃗ = (x + y)√2/2 = √2/2, откуда x + y = 1, y = ½.
- Тогда z² = 1 − ¼ − ¼ = ½, |z| = √2/2. Косинус угла между прямыми OH и OC равен |c⃗·h⃗| = |z| = √2/2, угол 45°.
Ответ
45°.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →