Условие
В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ∠BAA₁ = ∠BAD = ∠DAA₁ = 60°, AB = AA₁ = AD = 1. Вычислите длины векторов AC₁⃗ и BD₁⃗.
Разбор задания
Номер 754 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- Обозначим a⃗ = AB⃗, b⃗ = AD⃗, c⃗ = AA₁⃗: все длины равны 1, все попарные скалярные произведения равны cos 60° = ½.
- AC₁⃗ = a⃗ + b⃗ + c⃗, |AC₁⃗|² = 1 + 1 + 1 + 2(½ + ½ + ½) = 6, |AC₁⃗| = √6.
- BD₁⃗ = −a⃗ + b⃗ + c⃗, |BD₁⃗|² = 3 + 2(−a⃗·b⃗ − a⃗·c⃗ + b⃗·c⃗) = 3 + 2(−½ − ½ + ½) = 2, |BD₁⃗| = √2.
Ответ
|AC₁⃗| = √6; |BD₁⃗| = √2.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →