Условие
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка M лежит на ребре BB₁, причём BM : MB₁ = 3 : 2, а точка N лежит на ребре AD, причём AN : ND = 2 : 3. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани: а) DD₁C₁C; б) A₁B₁C₁D₁.
Разбор задания
Номер 756 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- Пусть ребро равно 1, A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A₁(0; 0; 1). Тогда M(1; 0; 0,6), N(0; 0,4; 0), MN⃗{−1; 0,4; −0,6}, |MN⃗| = √(1 + 0,16 + 0,36) = √1,52 = √38/5.
- Синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и перпендикуляром к плоскости.
- а) Перпендикуляр к грани DD₁C₁C — вектор j⃗: sin = 0,4/(√38/5) = 2/√38 = √38/19.
- б) Перпендикуляр к грани A₁B₁C₁D₁ — вектор k⃗: sin = 0,6/(√38/5) = 3/√38 = 3√38/38.
Ответ
а) √38/19; б) 3√38/38.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →