Условие
Лучи OA, OB, OC и OM расположены так, что ∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 90°, ∠AOM = φ₁, ∠BOM = φ₂, ∠COM = φ₃. Докажите, что cos²φ₁ + cos²φ₂ + cos²φ₃ = 1.
Разбор задания
Номер 757 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- Направим оси координат по лучам OA, OB, OC и рассмотрим единичный вектор m⃗ вдоль луча OM.
- Координаты единичного вектора равны косинусам углов с координатными векторами (задача 701): m⃗{cos φ₁; cos φ₂; cos φ₃}.
- Так как |m⃗| = 1, то cos²φ₁ + cos²φ₂ + cos²φ₃ = 1.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →