Условие
Проекция точки M на плоскость ромба ABCD совпадает с точкой O пересечения его диагоналей. Точка N — середина стороны BC, AC = 8, DB = MO = 6. Вычислите косинус угла между прямой MN и прямой: а) BC; б) DC; в) AC; г) DB.
Разбор задания
Номер 755 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- Введём координаты: O — начало, ось Ox по OC, ось Oy по OB, ось Oz по OM. Тогда A(−4; 0; 0), C(4; 0; 0), B(0; 3; 0), D(0; −3; 0), M(0; 0; 6), N(2; 1,5; 0).
- MN⃗{2; 1,5; −6}, |MN⃗| = √(4 + 2,25 + 36) = √42,25 = 6,5.
- а) BC⃗{4; −3; 0}, |BC⃗| = 5: произведение 8 − 4,5 = 3,5, cos = 3,5/(6,5·5) = 7/65.
- б) DC⃗{4; 3; 0}, |DC⃗| = 5: произведение 8 + 4,5 = 12,5, cos = 12,5/32,5 = 5/13.
- в) AC⃗{8; 0; 0}: произведение 16, cos = 16/(6,5·8) = 4/13.
- г) DB⃗{0; 6; 0}: произведение 9, cos = 9/(6,5·6) = 3/13.
Ответ
а) 7/65; б) 5/13; в) 4/13; г) 3/13.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →