Номер 767 — Геометрия 11 класс

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD боковое ребро MA, равное 8 см, наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите: а) площадь боковой поверхности пирамиды; б) объём пирамиды; в) угол между противоположными боковыми гранями; г) угол между боковой гранью и плоскостью основания; д) скалярное произведение векторов ½(MB⃗ + MD⃗)·MK⃗, где K — середина ребра AB; е) радиус описанного около пирамиды шара.

1. Пусть O — центр основания. AO = MA·cos 60° = 4, MO = MA·sin 60° = 4√3, AC = 8, AB = 4√2, OK = 2√2, апофема MK = √(48 + 8) = 2√14.
2. а) S_бок = ½·16√2·2√14 = 16√28 = 32√7 см².
3. б) V = ⅓·32·4√3 = 128√3/3 см³.
4. в) Пусть K и K₁ — середины AB и CD. Угол между гранями MAB и MCD равен ∠KMK₁ = 2∠KMO, где tg ∠KMO = OK/MO = 2√2/(4√3) = 1/√6. cos ∠KMK₁ = (1 − tg²)/(1 + tg²) = (1 − 1/6)/(1 + 1/6) = 5/7, угол arccos(5/7) ≈ 44,4°.
5. г) Линейный угол MKO: tg = MO/OK = 4√3/(2√2) = √6, угол arctg √6 ≈ 67,8°.
6. д) ½(MB⃗ + MD⃗) = MO⃗. Проекция вектора MK⃗ на прямую MO равна MO⃗, поэтому MO⃗·MK⃗ = MO² = 48.
7. е) Центр шара лежит на высоте MO; из подобия R = MA²/(2·MO) = 64/(8√3) = 8/√3 = 8√3/3 см (≈ 4,6 см; центр лежит ниже вершины на 8√3/3 > MO/2).