Условие
Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что площади треугольников BAM и BCM равны тогда и только тогда, когда точка M лежит на медиане треугольника ABC, проведённой из вершины B.
Разбор задания
Номер 840 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- У треугольников BAM и BCM общая сторона BM, поэтому S(BAM) = S(BCM) тогда и только тогда, когда точки A и C равноудалены от прямой BM.
- Так как M лежит внутри треугольника, точки A и C находятся по разные стороны от прямой BM, и она пересекает отрезок AC в некоторой точке K. Расстояния от A и C до прямой BM относятся как AK : KC (подобные прямоугольные треугольники).
- Значит, равенство расстояний равносильно AK = KC, то есть тому, что прямая BM проходит через середину AC — M лежит на медиане из B.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →