Номер 841 — Геометрия 11 класс

Докажите, что из медиан данного треугольника можно построить треугольник, и найдите отношение его площади к площади данного треугольника.

1. Пусть AA₁, BB₁, CC₁ — медианы треугольника ABC. AA₁⃗ = ½(AB⃗ + AC⃗), BB₁⃗ = ½(BA⃗ + BC⃗), CC₁⃗ = ½(CA⃗ + CB⃗); сумма равна ½(AB⃗ + BA⃗ + AC⃗ + CA⃗ + BC⃗ + CB⃗) = 0⃗. Никакие две медианы не параллельны, поэтому три вектора с нулевой суммой, отложенные последовательно, образуют треугольник со сторонами, равными медианам.
2. Найдём площадь такого треугольника. Пусть M — точка пересечения медиан. Продолжим отрезок MB₁ за точку B₁ на его длину до точки E. В треугольнике AME: AM = ⅔m_a, ME = 2MB₁ = ⅔m_b, а AE⃗ = AM⃗ + ME⃗ = ⅔AA₁⃗ + ⅔BB₁⃗ = −⅔CC₁⃗, то есть AE = ⅔m_c. Значит, треугольник AME подобен треугольнику из медиан с коэффициентом ⅔.
3. S(AME) = 2S(AMB₁) (B₁ — середина ME), а S(AMB₁) = S/6 (медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей). Итак, S(AME) = S/3.
4. Площадь треугольника из медиан: (3/2)²·S/3 = ¾S.