Условие
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что BD : AB = DC : AC. Докажите, что отрезок AD — биссектриса треугольника ABC.
Разбор задания
Номер 836 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пусть AD₁ — биссектриса угла A (D₁ ∈ BC). По свойству биссектрисы BD₁ : D₁C = AB : AC, то есть BD₁ : AB = D₁C : AC.
- По условию BD : AB = DC : AC. Точка отрезка BC, делящая его в данном отношении BD : DC = AB : AC, единственна (при движении точки по отрезку от B к C отношение BD : DC монотонно растёт от 0 до бесконечности).
- Значит, D = D₁, и AD — биссектриса.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →