Номер 838 — Геометрия 11 класс

Биссектрисы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC со сторонами AB = c, BC = a и CA = b пересекаются в точке O. а) Найдите отношения AO/OA₁, BO/OB₁, CO/OC₁. б) Докажите, что AO/AA₁ + BO/BB₁ + CO/CC₁ = 2 и A₁O/AA₁ + B₁O/BB₁ + C₁O/CC₁ = 1. в) Может ли хотя бы одна из биссектрис треугольника делиться точкой O пополам? г) Докажите, что одна из биссектрис делится точкой O в отношении 2 : 1, считая от вершины, тогда и только тогда, когда одна из сторон треугольника равна полусумме двух других сторон.

1. а) BO — биссектриса треугольника ABA₁, поэтому AO/OA₁ = AB/BA₁. По свойству биссектрисы AA₁: BA₁ = ac/(b + c). Тогда AO/OA₁ = c·(b + c)/(ac) = (b + c)/a. Аналогично BO/OB₁ = (a + c)/b, CO/OC₁ = (a + b)/c.
2. б) Из п. а) AO/AA₁ = (b + c)/(a + b + c), BO/BB₁ = (a + c)/(a + b + c), CO/CC₁ = (a + b)/(a + b + c); сумма равна 2(a + b + c)/(a + b + c) = 2. Тогда A₁O/AA₁ = 1 − AO/AA₁ и т. д., сумма трёх таких величин равна 3 − 2 = 1.
3. в) AO = OA₁ означало бы (b + c)/a = 1, то есть a = b + c, что противоречит неравенству треугольника. Нет, не может.
4. г) AO/OA₁ = 2 ⇔ (b + c)/a = 2 ⇔ a = (b + c)/2; аналогично для двух других биссектрис.