Номер 844 — Геометрия 11 класс

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках L, M и N. Докажите, что отношение площади треугольника LMN к площади треугольника ABC равно отношению радиуса окружности, вписанной в треугольник ABC, к диаметру окружности, описанной около этого треугольника.

1. Пусть L, M, N — точки касания на сторонах BC, CA, AB, r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей. Угол MLN — вписанный в окружность радиуса r, опирающийся на дугу MN; центральный угол MIN = 180° − A, поэтому ∠MLN = 90° − A/2. Аналогично ∠LMN = 90° − B/2, ∠LNM = 90° − C/2.
2. Площадь треугольника через радиус описанной окружности: S = 2R²·sin α·sin β·sin γ. Для LMN: S(LMN) = 2r²·cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2). Для ABC: S(ABC) = 2R²·sin A·sin B·sin C = 16R²·sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)·cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2).
3. Отношение: S(LMN)/S(ABC) = r²/(8R²·sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)). Известно, что r = 4R·sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) (задача 850 ж), то есть sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) = r/(4R).
4. S(LMN)/S(ABC) = r²/(8R²·r/(4R)) = r/(2R).