Условие
Биссектриса внешнего угла при вершине A треугольника ABC пересекает прямую BC в точке D. Докажите, что BD : AB = DC : AC.
Разбор задания
Номер 837 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пусть AB > AC (иначе поменяем обозначения; при AB = AC биссектриса внешнего угла параллельна BC и точки D нет). Тогда D лежит на продолжении BC за точку C. Проведём через C прямую, параллельную AD, до пересечения с AB в точке E.
- Пусть AF — луч биссектрисы внешнего угла (F — на продолжении BA за A). ∠FAD = ∠DAC (биссектриса). При параллельных AD и CE: ∠AEC = ∠FAD (соответственные), ∠ACE = ∠DAC (накрест лежащие). Значит, ∠AEC = ∠ACE, и треугольник AEC равнобедренный: AE = AC.
- Из параллельности CE ∥ DA в треугольнике BDA: BD/DC = BA/AE = AB/AC, откуда BD : AB = DC : AC.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →