Номер 845 — Геометрия 11 класс

Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других сторон, называется вневписанной. Докажите, что: а) площадь S треугольника ABC выражается формулой S = r_a(p − a), где r_a — радиус вневписанной окружности, касающейся стороны BC = a, p — полупериметр треугольника; б) S = √(r·r_a·r_b·r_c), 1/r_a + 1/r_b + 1/r_c = 1/r, где r — радиус окружности, вписанной в треугольник, r_a, r_b, r_c — радиусы вневписанных окружностей.

1. а) Пусть I_a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Она лежит внутри угла A, и треугольник ABC получается из четырёхугольника ABI_aC удалением треугольника BI_aC: S = S(ABI_a) + S(ACI_a) − S(BCI_a) = ½r_a·c + ½r_a·b − ½r_a·a = r_a·(b + c − a)/2 = r_a(p − a).
2. б) Из S = rp, S = r_a(p − a), S = r_b(p − b), S = r_c(p − c): r·r_a·r_b·r_c = S⁴/(p(p − a)(p − b)(p − c)) = S⁴/S² = S² (по формуле Герона), откуда S = √(r·r_a·r_b·r_c).
3. 1/r_a + 1/r_b + 1/r_c = ((p − a) + (p − b) + (p − c))/S = (3p − 2p)/S = p/S = 1/r.