Условие
Найдите площадь треугольника ABC, если: а) ∠A = α, а высоты, проведённые из вершин B и C, соответственно равны h_b и h_c; б) ∠A = α, ∠B = β, а высота, проведённая из вершины B, равна h.
Разбор задания
Номер 1024 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · Повторение · страница 60
Решение
- а) Обозначим AC = b, AB = c. Тогда S = ½b·h_b = ½c·h_c, откуда b = 2S/h_b, c = 2S/h_c. С другой стороны, S = ½bc·sin α = ½·(2S/h_b)(2S/h_c)·sin α = 2S²·sin α/(h_b·h_c). Отсюда S = h_b·h_c/(2 sin α).
- б) Высота h из вершины B опущена на сторону AC; из прямоугольного треугольника с гипотенузой AB: AB = h/sin α. Третий угол ∠C = 180° − α − β. По теореме синусов AC = AB·sin β/sin C = h·sin β/(sin α·sin(α + β)).
- S = ½·AC·h = h²·sin β/(2 sin α·sin(α + β)).
Ответ
а) h_b·h_c/(2 sin α); б) h²·sin β/(2 sin α·sin(α + β)).
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →