Условие
Докажите, что в треугольнике сумма трёх медиан меньше периметра, но больше половины периметра.
Разбор задания
Номер 817 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 9. Векторы · страница 20
Решение
- Пусть AA₁, BB₁, CC₁ — медианы треугольника ABC, O — точка их пересечения, P — периметр.
- Оценка сверху. Отложим на продолжении медианы AA₁ отрезок A₁A' = AA₁; ABA'C — параллелограмм, и AA' = 2AA₁ < AB + BA' = AB + AC. Значит, AA₁ < (AB + AC)/2. Аналогично BB₁ < (AB + BC)/2, CC₁ < (BC + AC)/2. Складывая: AA₁ + BB₁ + CC₁ < (2AB + 2BC + 2AC)/2 = P.
- Оценка снизу. Из неравенств треугольника для треугольников AOB, BOC, COA: AO + OB > AB, BO + OC > BC, CO + OA > AC. Складывая: 2(AO + BO + CO) > P. Так как AO = ⅔AA₁, BO = ⅔BB₁, CO = ⅔CC₁, получаем 4/3·(AA₁ + BB₁ + CC₁) > P, то есть AA₁ + BB₁ + CC₁ > ¾P > ½P.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →