Номер 829 — Геометрия 9 класс

Через точку M, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые, параллельные его сторонам и пересекающие стороны AB, BC, CD и DA соответственно в точках P, Q, R и T. Докажите, что если точка M лежит на диагонали AC, то площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны и, обратно, если площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны, то точка M лежит на диагонали AC.

1. Прямые через M делят ABCD на четыре параллелограмма: APMT (у вершины A), MPBQ, MQCR, MRDT.
2. Пусть M ∈ AC. Диагональ AC делит ABCD на равновеликие треугольники ABC и ACD; диагональ AM делит параллелограмм APMT на равные треугольники APM и ATM; диагональ MC делит MQCR на равные треугольники MQC и MRC. Тогда S(MPBQ) = S(ABC) − S(APM) − S(MQC) = S(ACD) − S(ATM) − S(MRC) = S(MRDT).
3. Обратно. Обозначим AB = a, AD = b, AP = x, AT = y. Тогда BP = a − x, BQ = PM = y, DR = MT = x, DT = b − y, а углы при B и D равны. S(MPBQ) = (a − x)·y·sin B, S(MRDT) = x·(b − y)·sin D. Из равенства площадей (a − x)y = x(b − y), то есть ay = bx, x/a = y/b.
4. Значит, AP/AB = PM/BC (PM = y, BC = b), и треугольники APM и ABC подобны по второму признаку (угол P = угол B). Отсюда ∠PAM = ∠BAC, лучи AM и AC совпадают, и точка M лежит на диагонали AC.