Условие
На сторонах AC и BC треугольника ABC взяты соответственно точки M и K. Отрезки AK и BM пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника CMK, если площади треугольников OMA, OAB и OBK равны соответственно S₁, S₂, S₃.
Разбор задания
Номер 830 — Геометрия 9 класс
Атанасян Л. С. · § 10. Метод координат · страница 23
Решение
- Обозначим S(OMK) = t, S(MOC) = x, S(KOC) = y. Треугольники с общей высотой относятся как основания: S(OAB)/S(OBK) = AO/OK = S(OMA)/S(OMK), откуда S₂/S₃ = S₁/t, t = S₁S₃/S₂.
- Вдоль BM: BO/OM = S(AOB)/S(AOM) = S₂/S₁, и также BO/OM = S(BOC)/S(MOC) = (S₃ + y)/x. Вдоль AK: AO/OK = S₂/S₃ = S(AOC)/S(KOC) = (S₁ + x)/y.
- Получаем систему: S₂x − S₁y = S₁S₃ и S₂y − S₃x = S₁S₃. Решая её, находим x = S₁S₃(S₁ + S₂)/(S₂² − S₁S₃), y = S₁S₃(S₂ + S₃)/(S₂² − S₁S₃).
- S(CMK) = S(MOCK) − S(OMK) = x + y − t = S₁S₃(S₁ + 2S₂ + S₃)/(S₂² − S₁S₃) − S₁S₃/S₂ = S₁S₃(S₁ + S₂)(S₂ + S₃)/(S₂(S₂² − S₁S₃)).
Ответ
S₁S₃(S₁ + S₂)(S₂ + S₃)/(S₂(S₂² − S₁S₃)).
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 9 класс.
Теоремы синусов и косинусовТеорема синусов, теорема косинусов. Решение произвольных треугольников.Правильные многоугольникиПравильный многоугольник, радиус вписанной и описанной окружностей.Длина окружности и площадь кругаЧисло π, формулы длины окружности и площади круга, кругового сектора.Движения в геометрииОсевая и центральная симметрия, поворот, параллельный перенос.Преобразование подобияГомотетия, свойства. Связь с подобием фигур.Векторный методПрименение векторов для доказательства геометрических утверждений.
Все темы по предмету «Геометрия» за 9 класс →