Номер 956 — Геометрия 9 класс

Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

1. Введём координаты: A(−a; 0), D(a; 0), B(−b; h), C(b; h) (равнобедренная трапеция симметрична относительно оси Oy). AC = √((a + b)² + h²), BD = √((a + b)² + h²): диагонали равны.
2. Обратное утверждение: если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная. Пусть основания AD и BC, A(0; 0), D(d; 0), B(p; h), C(q; h), причём q > p (точка C правее B, как и D правее A). AC² = q² + h², BD² = (d − p)² + h². Из AC = BD получаем q² = (d − p)², а так как оба числа q и d − p положительны, q = d − p.
3. Тогда AB² = p² + h², CD² = (d − q)² + h² = p² + h², AB = CD — трапеция равнобедренная.