Условие
Луч BA не лежит в плоскости неразвёрнутого угла CBD. Докажите, что если ∠ABC = ∠ABD, причём ∠ABC < 90°, то проекцией луча BA на плоскость CBD является биссектриса угла CBD.
Разбор задания
Номер 161 — Геометрия 10 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Многогранники · страница 35
Решение
- Пусть O — проекция точки A на плоскость CBD, AK и AL — перпендикуляры из A на прямые BC и BD (K, L лежат на лучах, так как углы острые).
- Прямоугольные треугольники ABK и ABL равны по гипотенузе и острому углу, поэтому AK = AL и BK = BL. По теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах, OK ⟂ BC и OL ⟂ BD; прямоугольные треугольники AOK и AOL равны по гипотенузе и катету, значит OK = OL.
- Точка O равноудалена от сторон угла CBD и лежит внутри него, значит лежит на биссектрисе; луч BO — проекция луча BA — и есть биссектриса.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 10 класс.
Аксиомы стереометрии 10 классАксиомы стереометрии: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость; если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней; две плоскости пересекаются по прямой.Параллельность в пространствеПараллельные прямые и плоскости, скрещивающиеся прямые.ПерпендикулярностьПерпендикуляр к плоскости, угол прямой с плоскостью, двугранный угол.МногогранникиПризма, параллелепипед, пирамида. Развёртки, поверхности и объёмы.Тела вращенияЦилиндр, конус, шар. Площади поверхностей и объёмы.Векторы в пространствеПонятие вектора в пространстве, действия над векторами, компланарность и разложение по трём некомпланарным векторам.
Все темы по предмету «Геометрия» за 10 класс →