Условие
Прямая MA проходит через точку A плоскости α и образует с этой плоскостью угол φ₀ ≠ 90°. Докажите, что φ₀ является наименьшим из всех углов, которые прямая MA образует с прямыми, проведёнными в плоскости α через точку A.
Разбор задания
Номер 162 — Геометрия 10 класс
Атанасян Л. С. · § 2. Многогранники · страница 35
Решение
- Пусть MO — перпендикуляр к α, тогда φ₀ = ∠MAO и sin φ₀ = MO/MA.
- Для произвольной прямой b плоскости α, проходящей через A, опустим перпендикуляр MH на b; угол φ между MA и b удовлетворяет sin φ = MH/MA. Наклонная MH не короче перпендикуляра MO: MH ≥ MO, значит sin φ ≥ sin φ₀, и так как углы острые (или прямые), φ ≥ φ₀.
- Равенство достигается только для проекции AO (тогда H = O).
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 10 класс.
Аксиомы стереометрии 10 классАксиомы стереометрии: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость; если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней; две плоскости пересекаются по прямой.Параллельность в пространствеПараллельные прямые и плоскости, скрещивающиеся прямые.ПерпендикулярностьПерпендикуляр к плоскости, угол прямой с плоскостью, двугранный угол.МногогранникиПризма, параллелепипед, пирамида. Развёртки, поверхности и объёмы.Тела вращенияЦилиндр, конус, шар. Площади поверхностей и объёмы.Векторы в пространствеПонятие вектора в пространстве, действия над векторами, компланарность и разложение по трём некомпланарным векторам.
Все темы по предмету «Геометрия» за 10 класс →