Номер 157 — Геометрия 10 класс

Прямая OK перпендикулярна к плоскости ромба ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. а) Докажите, что расстояния от точки K до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны. б) Найдите это расстояние, если OK = 4,5 дм, AC = 6 дм, BD = 8 дм.

1. а) Точка O — центр вписанной в ромб окружности, она равноудалена от всех сторон: перпендикуляры OP, OQ, OR, OS на стороны равны r. По теореме о трёх перпендикулярах KP, KQ, KR, KS перпендикулярны сторонам, и все они равны √(OK² + r²).
2. б) Половины диагоналей 3 и 4 дм, сторона ромба 5 дм. Расстояние от O до стороны — высота прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4: r = 3·4/5 = 2,4 дм.
3. Искомое расстояние: √(4,5² + 2,4²) = √(20,25 + 5,76) = √26,01 = 5,1 дм.