Условие
Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках A₁, B₁ и C₁, а другую — в точках A₂, B₂ и C₂. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.
Разбор задания
Номер 64 — Геометрия 10 класс
Атанасян Л. С. · § 1. Прямые и плоскости в пространстве · страница 17
Решение
- Пусть прямые проходят через точку O. Плоскость OA₁B₁ пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым A₁B₁ ∥ A₂B₂, поэтому треугольники OA₁B₁ и OA₂B₂ подобны: A₁B₁/A₂B₂ = OA₁/OA₂ = OB₁/OB₂.
- Аналогично B₁C₁/B₂C₂ = OB₁/OB₂ = OC₁/OC₂ и A₁C₁/A₂C₂ = OA₁/OA₂. Все три отношения равны одному числу k = OA₁/OA₂.
- Стороны треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ пропорциональны, значит треугольники подобны (третий признак).
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 10 класс.
Аксиомы стереометрии 10 классАксиомы стереометрии: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость; если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней; две плоскости пересекаются по прямой.Параллельность в пространствеПараллельные прямые и плоскости, скрещивающиеся прямые.ПерпендикулярностьПерпендикуляр к плоскости, угол прямой с плоскостью, двугранный угол.МногогранникиПризма, параллелепипед, пирамида. Развёртки, поверхности и объёмы.Тела вращенияЦилиндр, конус, шар. Площади поверхностей и объёмы.Векторы в пространствеПонятие вектора в пространстве, действия над векторами, компланарность и разложение по трём некомпланарным векторам.
Все темы по предмету «Геометрия» за 10 класс →