Номер 83 — Геометрия 10 класс

Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро CC₁ и точку пересечения диагоналей грани AA₁D₁D; б) точку пересечения диагоналей грани ABCD параллельно плоскости AB₁C₁.

1. а) Пусть O — точка пересечения диагоналей грани AA₁D₁D. Плоскость через CC₁ и O параллельна AA₁ (CC₁ ∥ AA₁), поэтому пересекает грань AA₁D₁D по прямой через O, параллельной AA₁, — это отрезок MM₁, где M и M₁ — середины AD и A₁D₁. Сечение — параллелограмм MCC₁M₁.
2. б) Плоскость AB₁C₁ содержит и точку D (AD ∥ B₁C₁), с основанием ABCD она пересекается по прямой AD, с гранями AA₁B₁B и DD₁C₁C — по AB₁ и DC₁. Секущая плоскость параллельна ей и проходит через центр O основания, поэтому пересекает основание по прямой через O, параллельной AD, — это отрезок KL, где K и L — середины AB и CD. В грани AA₁B₁B через K проводим KP ∥ AB₁ (P — середина BB₁), в грани DD₁C₁C через L проводим LQ ∥ DC₁ (Q — середина CC₁). Сечение — параллелограмм KPQL.